Identità di Eulero

In matematica , l'identità di Eulero è una relazione tra diverse costanti fondamentali e utilizza le tre operazioni aritmetiche di addizione , moltiplicazione ed esponenziazione :

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ pi} + 1 = 0}

dove la base $e$ del logaritmo naturale è l' analisi , l' unità immaginaria $i$ rappresenta l' algebra , la costante di Archimede $π$ rappresenta la geometria , l'intero 1 l' aritmetica e il numero 0 la matematica .

Prende il nome dal matematico Leonhard Euler che lo fa apparire nella sua Introductio , pubblicata a Losanna nel 1748 . Prima di essere citata da Eulero, questa formula era nota al matematico inglese Roger Cotes , morto nel 1716.

Dimostrazione

Per analisi complessa

Poiché $cos π = -1$ e $sin π = 0$ , questa formula è il caso speciale $x = π$ della formula di Eulero in analisi complessa (per qualsiasi numero reale $x , e i x = cos x + i sin x$ ).

È anche il caso speciale n = 2 della nullità della somma delle n - esime radici dell'unità .

Dalla geometria

Giustapposizione di 8 triangoli rettangoli
Giustapposizione di 16 triangoli rettangoli
Illustrazione del risultato

L'interpretazione geometrica che fornisce una traccia dimostrativa di una sequenza si basa sulla giustapposizione di triangoli rettangoli .

\ forall z \, \ in {\ mathbb {C}} \ quad {\ mathrm e} ^ {z} = \ lim _ {{n \ to \ infty}} \ left (1 + {\ dfrac {z} { n}} \ destra) ^ {n}

tuttavia, le moltiplicazioni complesse risultanti in rotazioni, il punto di coordinate si ottiene giustapponendo N triangoli rettangoli. $\ left (1 + {\ dfrac {{\ mathrm i} \ pi} N} \ right) ^ {N}$

Bellezza matematica

L'identità di Eulero è spesso citata come esempio di bellezza matematica .

Infatti, oltre all'uguaglianza, qui vengono utilizzate tre delle operazioni fondamentali dell'aritmetica, ciascuna una volta: addizione , moltiplicazione ed esponenziazione . L'identità coinvolge anche cinque costanti matematiche fondamentali:

0 , l'elemento neutro di addizione.
1 , l'elemento neutro della moltiplicazione.
$π$ , onnipresente in trigonometria , geometria nello spazio euclideo e analisi matematica ( $π$ = 3,14159265 ...)
$e$ , base dei logaritmi che spesso compare in analisi, calcolo differenziale e matematica finanziaria ( $e$ = 2,718281828 ...). Proprio come $π$ , è un numero trascendente .
$i$ , l'unità immaginaria alla base dei numeri complessi , che ha permesso lo studio della risoluzione di equazioni polinomiali prima di vederne esteso l'uso.

L'inventario di questi diversi elementi è meglio dimostrato dalla notazione polacca inversa della formula di Eulero:

0; 1; e ; i ; π; *; ^; +; =

Inoltre, in questa forma, l'identità è scritta come un'espressione uguale a zero, una pratica comune in matematica.

Deduciamo che l' esponenziale complesso è $2πi$ - periodico .

Tributi

Paul Nahin, professore emerito all'Università del New Hampshire , scrive nel suo lavoro sull'identità di Eulero e le sue applicazioni nell'analisi di Fourier che la formula definisce "il gold standard della bellezza matematica " .

Quando l'identità di Eulero è stata rivelata a Benjamin Peirce , ha dichiarato: “Signori, è certamente vero, è assolutamente paradossale; non possiamo capirlo e non sappiamo cosa significhi, ma lo abbiamo dimostrato e quindi sappiamo che deve essere la verità. " .

L'identità di Eulero appare anche nel romanzo The Housekeeper and the Professor of Yoko Ogawa .

Storia

Il matematico inglese Roger Cotes (morto nel 1716, quando Eulero aveva solo 9 anni) conosceva questa identità. Eulero potrebbe aver appreso della sua esistenza dal suo connazionale svizzero Johann Bernoulli .

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " L'identità di Eulero " ( vedi la lista degli autori ) .

" Elementi neutri _ neutralizzazione delle proprietà di un fattore_ o di un termine_ delle 4 operazioni con numeri interi e decimali " , su warmaths.fr (consultato il 22 settembre 2017 )
trovare su Math Stack Exchange un'analisi dettagliata di questa dimostrazione (in) .
(in) James Gallagher , " Matematica: Perché il cervello vede la bellezza dell'asso della matematica " , BBC News Online ,13 febbraio 2014( leggi online ).
(in) John Allen Paulos , Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics , Penguin , 1992 ( ISBN 0-14-014574-5 ) , p. 117.
( entra ) Robert P. Crease ( entra ) , "Le equazioni hanno icone " PhysicsWeb , marzo 2007 ( iscrizione all'accesso ).
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