Minkowski funzionale

In geometria , la nozione di gauge generalizza quella di semi-standard . In qualsiasi parte $C$ di ℝ - lo spazio vettoriale $E$ è associato al gauge, o funzionale di Minkowski $p C$ , che è un'implementazione di $E$ nella misurazione $[0, \infty]$ , per ogni vettore, il cui rapporto deve espandere $C$ per comprendere questo vettore . Non appena $C$ contiene l'origine, $C$ è positivamente omogenea ; se $C$ èstellato rispetto a $0$ , $p C$ ha altre proprietà elementari. Se $C$ è convesso - il caso più spesso studiato - $p C$ è anche sublineare , ma non è necessariamente simmetrico e può assumere valori infiniti. Sotto certe ipotesi aggiuntive, $p C$ è una semi-norma di cui $C$ è la palla unitaria .

Questa nozione entra in gioco nell'analisi funzionale (dimostrazione della forma analitica del teorema di Hahn-Banach ), nell'ottimizzazione (problema di sovrapposizione di gauge , ottimizzazione conica ), nell'apprendimento automatico , nella geometria dei numeri ( secondo teorema di Minkowski ), ecc.

In questo articolo, $E$ denota uno spazio vettoriale reale, che sarà considerato topologico ogni volta che sarà necessario.

Calibro di qualsiasi parte

Definizione - Il "gauge, o funzionale Minkowski" di una parte di è l'applicazione definita da: $A$ $E$ ${\ displaystyle p_ {A}: E \ to \ left [0, + \ infty \ right]}$

{\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad p_ {A} (x): = \ inf {\ {\ lambda> 0 \ mid x \ in \ lambda A \}}}

. Esempio Lascia e tale che . Per ogni cosa , e per ogni cosa ,

inf (\emptyset) = + \infty

{\ displaystyle E = \ mathbb {R}}

{\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}}

{\ displaystyle \ sup (A) = 1}

x> 0

{\ displaystyle p_ {A} (x) = x}

{\ displaystyle x \ leq 0}

{\ displaystyle p_ {A} (x) =}

Prime osservazioni

${\ Displaystyle A \ subset p_ {A} ^ {- 1} (\ left [0,1 \ right]) \ subset \ operatorname {dom} {p_ {A}} = \ cup _ {\ lambda> 0} \ , \ lambda A}$ . In particolare, se , e abbiamo: ${\ displaystyle p_ {A} (0) = + \ infty}$ ${\ displaystyle 0 \ notin A}$

Condizione di finitezza sufficiente - Si è assorbente, quindi è a valori finiti. $A$ $papà}$

${\ displaystyle A \ mapsto p_ {A}}$ sta diminuendo: per tutte le parti e , $A$ $B$ ${\ displaystyle A \ subset B \ Rightarrow p_ {A} \ geq p_ {B}}$ .
Gli insiemi di sottolivelli di sono omotetici : $papà}$ ${\ displaystyle \ forall t> 0 \ quad p_ {A} ^ {- 1} (\ left [0, t \ right]) = t \, p_ {A} ^ {- 1} (\ left [0,1 \ giusto])}$ o, il che è equivalente, per ogni vettore , . $X$ ${\ displaystyle \ forall t> 0 \ quad p_ {A} (tx) = t \, p_ {A} (x)}$
Pertanto, è: pA{\ displaystyle p_ {A}} $papà}$
- "Chiuso" (ovvero semicontinuo di seguito ) se e solo se è chiuso , ${\ displaystyle p_ {A} ^ {- 1} (\ sinistra [0,1 \ destra])}$
- semicontinuo più alto se e solo se è aperto . ${\ displaystyle p_ {A} ^ {- 1} (\ sinistra [0,1 \ destra [)}$
${\ displaystyle p _ {- A} (x) = p_ {A} (- x)}$ (quindi se è simmetrico rispetto a $0$ allora ). $A$ ${\ displaystyle \ forall t \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ quad p_ {A} (tx) = | t | \, p_ {A} (x)}$
${\ displaystyle \ forall t> 0 \ quad p_ {tA} = t ^ {- 1} \, p_ {A}}$ .
Se poi pertanto è positivamente omogenea , cioè la precedente equazione funzionale vale non solo per , ma anche : ${\ displaystyle 0 \ in A}$ ${\ displaystyle p_ {A} (0) = 0}$ $papà}$ $t> 0$ $t = 0$
${\ displaystyle \ forall t \ geq 0 \ quad \ forall x \ in E \ qquad p_ {A} (tx) = t \, p_ {A} (x)}$ .

La sezione successiva mostra che, al contrario, qualsiasi funzione positivamente omogenea di in è un indicatore (cioè: è l'indicatore di una parte di ). $E$ ${\ displaystyle \ sinistra [0, + \ infty \ right]}$ $E$

Indicatore di una parte stellata

Prima di affinare lo studio nel caso particolare più utile di un convesso contenente $0$ , consideriamo una parte stellata (rispetto a $0$ , che ora sarà implicita), cioè una parte contenente $0$ e tale di $S \ sottoinsieme E$

{\ displaystyle \ forall x \ in S \ quad \ left [0, x \ right] \ subset S}

Proprietà algebriche

Lo sappiamo già e questo è positivamente omogeneo. La nuova ipotesi permette di chiarire la situazione: ${\ displaystyle S \ subset p_ {S} ^ {- 1} (\ left [0,1 \ right])}$ $p_ {S}$

Caratterizzazione - La sagoma di una parte stellata controlla:

S

{\ displaystyle \ {x \ in E \ mid p_ {S} (x) <1 \} \ subset S \ subset \ {x \ in E \ mid p_ {S} (x) \ leq 1 \}}

Al contrario, per qualsiasi funzione positivamente omogenea (nel senso definito sopra ), le parti di gauge stellari sono gli insiemi compresi tra e . ${\ displaystyle p: E \ to \ left [0, + \ infty \ right]}$ $p$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (\ sinistra [0,1 \ destra [)}$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (\ sinistra [0,1 \ destra])}$

Inoltre :

per tutte le parti stellate e , (che è più preciso della semplice crescita di ); $S_1$ $S_2$ ${\ displaystyle p_ {S_ {1} \ cap S_ {2}} (x) = \ max {\ left (p_ {S_ {1}} (x), p_ {S_ {2}} (x) \ right) }}$ ${\ displaystyle S \ mapsto p_ {S}}$
${\ displaystyle p_ {S} ^ {- 1} (\ {0 \}) = \ cap _ {\ varepsilon> 0} \ varepsilon S}$ quindi , che fornisce la prima delle due equivalenze di seguito; ${\ displaystyle p_ {S} (x) = 0 \ Leftrightarrow \ mathbb {R} _ {+} x \ subset S}$
diventa necessaria la condizione di finitezza sufficiente trovata in precedenza per qualsiasi parte (seconda equivalenza).

Condizioni necessarie e sufficienti di non degenerazione e finitezza - O una parte stellata. $S$

$p_ {S}$ viene cancellato solo in $0$ se e solo se non contiene alcuna semiretta risultante dall'origine. $S$
$p_ {S}$ è a valori finiti se e solo se è assorbente. $S$

Queste due condizioni verranno riformulate in seguito, nel caso di un convesso di dimensione finita.

A volte una delle due inclusioni della caratterizzazione di cui sopra è un'uguaglianza:

se $S$ è aperto allora ; ${\ displaystyle S = p_ {S} ^ {- 1} (\ sinistra [0,1 \ destra [)}$
se $S$ è chiuso allora . ${\ displaystyle S = p_ {S} ^ {- 1} (\ sinistra [0,1 \ destra])}$

Calibro di un convesso

Se un calibro zero a $0$ è convesso, i due insiemi e non sono solo stellati ma convessi , ed è il calibro di questi due convessi. Gli indicatori di questo tipo sono caratterizzati dalla seguente proprietà. $p$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (\ sinistra [0,1 \ destra])}$ ${\ displaystyle p ^ {- 1} (\ sinistra [0,1 \ destra [)}$ $p$

Si dice che un'applicazione sia sub-lineare se è: ${\ displaystyle p: E \ to \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}$

positivamente omogeneo ( vedi sopra ) e
sub-additivo : . ${\ Displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad p (x + y) \ leq p (x) + p (y)}$

Qualsiasi mappa sublineare è convessa e per uno zero gauge a $0$ , queste due nozioni sono equivalenti:

Scartamento di un convesso : se una parte contenente $0$ è convesso, il suo indicatore è sublineare.

Dimostrazione

L'omogeneità positiva è immediata e per la subadditività, se , basta notare che se e allora , perché appartiene al convesso , come combinazione convessa di due elementi di . Altrimenti il risultato è immediato. ${\ displaystyle p_ {C} (x), p_ {C} (y) \ neq + \ infty}$ ${\ displaystyle p_ {C} (x) <a}$ ${\ displaystyle p_ {C} (y) <b}$ ${\ displaystyle p_ {C} (x + y) \ leq a + b}$ ${\ displaystyle {\ frac {x + y} {a + b}} = {\ frac {a {\ frac {x} {a}} + b {\ frac {x} {b}}} {a + b }}}$ $VS$ $VS$

Il contrario è falso, come mostra il seguente esempio.

Esempio

La funzione sublineare su cui, in , vale se e se , è il gauge dei due convessi e , oltre che di tutti gli insiemi intermedi (tutti stellati, ma non tutti convessi). $p$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ ${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}) \ neq (0,0)}$ $x_ {2}$ ${\ displaystyle x_ {2}> 0}$ $+ \ infty$ ${\ displaystyle x_ {2} \ leq 0}$ ${\ Displaystyle p ^ {- 1} (\ left [0,1 \ right [) = \ left (\ mathbb {R} \ times \ left] 0,1 \ right [\ right) \ cup \ {(0, 0) \}}$ ${\ Displaystyle p ^ {- 1} (\ left [0,1 \ right]) = \ left (\ mathbb {R} \ times \ left] 0,1 \ right] \ right) \ cup \ {(0, 0) \}}$

Indicatori sublineari che non assumono il valore $+ \infty$

Abbiamo già notato che il calibro di una parte stellata ha valori finiti se e solo se è assorbente. $S$ $S$

Qualsiasi intorno di 0 è assorbente; in dimensione finita , possiamo facilmente verificare che al contrario, ogni convesso assorbente $C$ è un intorno di 0 - possiamo farlo in modo abbastanza elegante notando che come funzione convessa con valori finiti e definita ovunque, è quindi continua, e che il set (contenente $0$ e compreso in $C$ ) è quindi aperto. In sintesi : ${\ displaystyle p_ {C}}$ ${\ displaystyle \ {x \ in E \ mid p_ {C} (x) <1 \}}$

Proposizione - Sia $C$ un convesso contenente $0$ in uno spazio di dimensione finita. Così il suo calibro è valori finiti se e solo se $0$ è interno a $C$ .

Quando $0$ è all'interno di $C$ , possiamo ottenere una semplice immagine mentale dell'indicatore attraverso le sue superfici di livello: l'insieme di punti in cui assume il valore $1$ è esattamente il bordo del convesso; le superfici piane per gli altri valori strettamente positivi sono l'omotetica di questo confine; negli eventuali punti rimanenti non coperti dall'incontro di queste superfici piane l'indicatore assume il valore 0.

Infine, possiamo notare che (per uno spazio vettoriale reale), se $C$ è simmetrico rispetto a 0 con un gauge che evita il valore $+ \infty$ , allora il gauge è una semi-norma ; è lo stesso per uno spazio vettoriale complesso se si richiede una versione migliorata della simmetria , vale a dire l'invarianza sotto moltiplicazione per qualsiasi complesso di modulo $1$ .

Calibri sublineari che si annullano solo all'origine

Abbiamo già notato che la sagoma di una parte stellata viene annullata solo all'origine se e solo se non contiene alcuna semiretta risultante dall'origine. $S$ $S$

Se è limitato (in uno spazio vettoriale normalizzato o più in generale, in uno spazio vettoriale topologico separato ) allora non contiene tale semiretta. $S$

Il contrario è vero per un convesso chiuso di dimensione finita, e sarebbe dimostrato sfruttando la compattezza della sfera di raggio 1 (l'unica ipotesi “convessa” qui non è sufficiente: cfr. § “Esempio” sopra ):

Proposizione - Sia $C$ un convesso chiuso contenente $0$ in uno spazio di dimensione finita. Quindi, il suo indicatore svanisce all'origine solo se e solo se $C$ è limitato .

Esempi di utilizzo

Nella teoria degli spazi vettoriali topologici, è attraverso l'introduzione di un'opportuna raccolta di calibri che si possono caratterizzare gli spazi localmente convessi in termini di semi-norme.
Nella geometria convessa, il misuratore è uno strumento interessante per ridurre un problema puramente geometrico (ricerca di un iperpiano ) a un problema analitico (ricerca di un'equazione dell'iperpiano). Così nella prova della “forma geometrica” del teorema di Hahn-Banach - alla base di tutta la teoria della separazione dei convessa e iperpiani di supporto - un passo essenziale è l'osservazione che l'iperpiano di equazione $f ( x ) = 1$ it evita un dato convesso $C$ (aperto e contiene 0) è la stessa cosa come chiedere $f$ per aumentare $p C$ .

Aspetti computazionali

In questa sezione, si tratterà esclusivamente di misuratori sub-lineari su uno spazio euclideo , di cui si nota il prodotto scalare . $E$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$

Per un tale indicatore , indicheremo il suo insieme di sottolivelli : $p$ $C_p$ $1$

{\ displaystyle C_ {p}: = \ {x \ in E \ mid p (x) \ leq 1 \}}

Ricordiamo che si nota l' adesione di una parte di e che il polare di è il convesso chiuso contenente l'origine, annotato e definito da $P$ $E$ ${\ displaystyle {\ overline {P}}}$ $P$

{\ displaystyle P ^ {\ circ}: = \ {y \ in E \ mid \ forall x \ in P \ quad \ langle y, x \ rangle \ leq 1 \}.}

Possiamo dare un'altra espressione della polare di : $C_p$

{\ displaystyle {C_ {p}} ^ {\ circ} = \ {y \ in E \ mid \ forall x \ in E \ quad \ langle y, x \ rangle \ leq p (x) \}}

Adesione

La presa o la chiusura di è il calibro come . $p$ ${\ displaystyle {\ overline {p}}}$ ${\ displaystyle C _ {\ overline {p}} = {\ overline {C_ {p}}}}$

Perciò :

${\ displaystyle {\ overline {p}}}$ è la più grande sagoma di abbassamento chiusa ; $p$
le epigrafi di e sono collegate da . $p$ ${\ displaystyle {\ overline {p}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {epi} ({\ overline {p}}) = {\ overline {\ operatorname {epi} p}}}$

Polare

La polare di è l'indicatore tale che . $p$ ${\ displaystyle p ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle C_ {p ^ {\ circ}} = {C_ {p}} ^ {\ circ}}$

Proprietà

${\ displaystyle p ^ {\ circ}}$ è chiuso.
${\ Displaystyle \ forall y \ in E \ quad p ^ {\ circ} (y) = \ inf {\ {s> 0 \ mid \ forall x \ in E \ quad \ langle x, y \ rangle \ leq s \ , p (x) \}}}$ .
Il bipolare di è uguale alla sua adesione: (perché , secondo le proprietà del gruppo bipolare ). $p$ ${\ displaystyle p ^ {\ circ \ circ} = {\ overline {p}}}$ ${\ displaystyle {C_ {p}} ^ {\ circ \ circ} = {\ overline {C_ {p}}}}$
La polare di è uguale alla funzione di supporto di , quindi al coniugato della funzione indicatore di . ${\ displaystyle p_ {C}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {C}}$ $VS$ $VS$
Se è una norma, è la sua doppia norma (in particolare se è la norma euclidea, ). $p$ ${\ displaystyle p ^ {\ circ}}$ $p$ ${\ displaystyle p ^ {\ circ} = p}$
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz generalizzata: ${\ Displaystyle \ forall x \ in \ operatorname {dom} p \ quad \ forall y \ in \ operatorname {dom} p ^ {\ circ} \ quad \ langle x, y \ rangle \ leq p (x) p ^ { \ circ} (y)}$ quindi (sostituendo con ) $p$ ${\ displaystyle p ^ {\ circ}}$ ${\ Displaystyle \ forall x \ in \ operatorname {dom} p ^ {\ circ \ circ} \ quad \ forall y \ in \ operatorname {dom} p ^ {\ circ} \ quad \ langle x, y \ rangle \ leq p ^ {\ circ \ circ} (x) p ^ {\ circ} (y)}$ ,che rafforza la precedente disuguaglianza da allora . ${\ displaystyle p ^ {\ circ \ circ} = {\ overline {p}} \ leq p}$

Subdifferenziale

Il sottodifferenziale di in un punto soddisfa ${\ displaystyle \ partial p (x)}$ $p$ $x \ in E$

{\ Displaystyle \ partial p (x) = \ {y \ in {C_ {p}} ^ {\ circ} \ mid \ langle y, x \ rangle = p (x) \}}

(in particolare, e se , ). ${\ displaystyle \ partial p (0) = {C_ {p}} ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle p (x) = + \ infty}$ ${\ displaystyle \ partial p (x) = \ varnothing}$

Possiamo dedurre:

{\ Displaystyle \ partial p (x) \ subset}

argmax

, con uguaglianza seè chiuso.

{\ displaystyle {} _ {y \ in {C_ {p}} ^ {\ circ}} \ langle y, x \ rangle}

p

Alcune osservazioni sul risultato di cui sopra.

Ci sono indicatori e punti per i quali l'inclusione di cui sopra è rigorosa. Questo è il caso, nel piano euclideo , della sagoma in § “Esempio” sopra e del punto :, mentre dunque . $p$ $X$
$p$ ${\ displaystyle x: = (1,0)}$ ${\ displaystyle \ partial p (x) = \ varnothing}$ ${\ displaystyle {C_ {p}} ^ {\ circ} = \ left (\ mathbb {R} \ times \ left] 0,1 \ right] \ right) ^ {\ circ} = \ {0 \} \ times \ left] - \ infty, 1 \ right]}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {argmax} _ {y \ in {C_ {p}} ^ {\ circ}} \ langle y, x \ rangle = {C_ {p}} ^ {\ circ}}$
$p$ è sub-differenziabili in qualsiasi punto se e solo se $0$ è interno a . Infatti ( vedi sopra ) $0$ è dentro se e solo se prende solo valori finiti. Ora, se prende solo valori finiti, allora è sottodifferenziabile in tutti i punti (poiché è convesso) e viceversa (poiché ). $E$ $C_p$
$C_p$ $p$ $p$ ${\ Displaystyle \ partial p (x) \ neq \ varnothing \ Rightarrow p (x) \ neq + \ infty}$

Note e riferimenti

Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo intitolato “ Gauge (convex analysis) ” (vedi l'elenco degli autori ) .

Appunti

L' effettiva dominio di una funzione a valori in ℝ è l'insieme di punti in cui non prende il valore . ${\ Displaystyle \ operatorname {dom} p}$ $p$ $+ \ infty$
Per convenzione, (cfr. Ad esempio Rockafellar 1970 , p. 24 o Schechter 1997 , p. 313). ${\ displaystyle 0 \ times \ infty = 0}$
Questa precisione, ridondante in questo articolo, d'ora in poi sarà implicita. Si noti tuttavia che (in) HG Eggleston Convexity , Cambridge University Press ,1958( leggi in linea ) , p. 47chiamate “funzioni di gauge” le mappature sublineari (con valori in ); (en) A. Wayne Roberts e Dale E. Varberg, Convex Functions , Academic Press, ${\ displaystyle p: E \ to \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}$ 1974( leggi in linea ) , p. 216, così denominati quelli con valori in ; e Rockafellar 1970 , p. 128, quelli con valori in , perché ha escluso dal suo studio i calibri degli insiemi non convessi. $\ mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ sinistra [0, + \ infty \ right]}$
Questo cono è indicato nell'articolo " Cono asintotico ", dove si presume sia convesso. ${\ displaystyle S ^ {\ infty} (0)}$ $S$
La funzione di supporto di una parte di è definita da . $P$ $E$ ${\ displaystyle \ forall y \ in E \ quad \ sigma _ {P} (y): = \ sup {\ {\ langle y, x \ rangle \ mid x \ in P \}}}$
Il coniugato di una funzione è definito da . $f ^ {*}$ ${\ displaystyle f: E \ to {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ ${\ displaystyle \ forall y \ in E \ quad f ^ {*} (y): = \ sup {\ {\ langle y, x \ rangle -f (x) \ mid x \ in E \}}}$
Nell'analisi convessa, la funzione indicatore di una parte di una parte di è la funzione che svanisce e assume il valore sul complemento di . $P$ $E$ $P$ $+ \ infty$ $P$
Per vederlo, possiamo ad esempio usare la relazione precedente. ${\ displaystyle p ^ {\ circ} = \ sigma _ {C_ {p}}}$
Diciamo che è sotto-differenziabili in si . $p$ $X$ ${\ Displaystyle \ partial p (x) \ neq \ varnothing}$

Riferimenti

Aliprantis e Border 2006 . Molti autori lo definiscono solo per un convesso contenente 0 :
- Claude Berge , Spazi topologici: funzioni multivocali , Dunod ,1959, cap. VII, § 5 ;
- Laurent Schwartz , analisi di Hilbert , Hermann ,1979, p. 44 ;
- A. Badrikian, “Osservazioni sui teoremi di Bochner e P. Lévy” , in Symposium on Probability Methods in Analysis , Springer, coll. "Appunti delle lezioni in matematica. "( N o 31),1967, p. 1-19, p. 3 : “ V un intorno convesso bilanciato aperto di zero e P V il suo gauge (o“ funzionale di Minkowski ”)” ;
- Gilbert Demengel e Françoise Demengel, Spazi funzionali: uso nella risoluzione di equazioni alle derivate parziali , EDP Sciences ( leggi online ) , p. 51, esercizio 1. 7: “un insieme convesso, equilibrato e assorbente di uno spazio vettoriale topologico X , contenente 0. Definiamo il funzionale di Minkowski p , o anche il gauge convesso” ;
- eccetera.
Nel caso di un stellato parte rispetto a $0$ , questo è equivalente alla definizione da Schechter 1997 della sua "Minkowski funzionale" : è il limite inferiore del dell'intervallo che contiene . $S$ ${\ displaystyle p_ {S} (x)}$ ${\ displaystyle \ {\ lambda \ in \ left] 0, + \ infty \ right] \ mid \ lambda ^ {- 1} x \ in S \}}$ $+ \ infty$
Schechter 1997 , Aliprantis and Border 2006 .
Nawfal El Hage Hassan, Topologia generale e spazi standardizzati , Dunod,2018( 1 a ed. 2011) ( leggi online ) , p. 428.
Cédric Villani , " Analisi II: corso tenuto all'École normale supérieure de Lyon " , 2003-2004 , § I.2.
I risultati di questa sezione sono tratti da Rockafellar 1970 , Hiriart-Urruty e Lemaréchal 2004 , Friedlander, Macêdo e Pong 2014 e Gilbert 2016 .
Questa proprietà prende il posto della definizione di in Rockafellar 1970 , p. 128. ${\ displaystyle p ^ {\ circ}}$
Rockafellar 1970 , p. 130.

Bibliografia

(en) Charalambos D.Aliprantis e Kim C.Bordino , Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , Springer ,2006, 3 e ed. ( 1 a ed. 1994) ( leggi in linea ) , cap. 5.8 (“Funzioni e indicatori sublineari”) , p. 190-194
(en) M. Friedlander, I. Macêdo e TK Pong, " Gauge optimization and duality " , SIAM Journal on Optimization , vol. 24, n o 4,2014, p. 1999-2022 ( DOI 10.1137 / 130940785 , arXiv 1310.2639 )
(en) J. Ch. Gilbert , " Sulla caratterizzazione di unicità della soluzione nella norma L1 e recupero di gauge poliedrico " , Journal of Optimization Theory and Applications , vol. 1, n o 1,2016, p. 1-32 ( DOI 10.1007 / s10957-016-1004-0 )
(en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty e Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis , Berlin Heidelberg New York, Springer, coll. "Grundlehren Text",2004( 1 a ed. 2001) ( leggi in linea ) , p. 128-130
(en) R. Tyrrell Rockafellar , Convex Analysis , Princeton, New Jersey, Princeton University Press , coll. "Princeton Mathematical Series" ( n . 28),1970( leggi online )
(en) Eric Schechter (en) , Handbook of Analysis and Its Foundations , Academic Press ,1997( leggi in linea ) , "Minkowski Functionals" , p. 315-317