Hardy Space

Gli spazi Hardy nel campo matematica di analisi funzionale , sono spazi di funzioni analitiche sul disco dell'unità ? il piano complesso .

Il caso di Hilbert: lo spazio H 2 (?)

Definizione

Sia f una funzione olomorfa su ?, sappiamo che f ammette un'espansione in serie di Taylor a 0 sul disco unitario:

∀z∈Df(z)=∑non=0+∞f^(non) znonconf^(non): =f(non)(0)non!.{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {D} \ qquad f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, {\ hat {f}} (n) \ z ^ { n} \ qquad {\ text {con}} \ qquad {\ hat {f}} (n): = {\ frac {f ^ {(n)} (0)} {n!}}.}

Diciamo quindi che f è nello spazio Hardy H 2 (?) se la sequenza appartiene a ℓ 2 . In altre parole, abbiamo: (f^(non)){\ displaystyle ({\ hat {f}} (n))}

H2(D)={f∈Hol(D) | ∑non=0+∞|f^(non)|2<+∞}{\ displaystyle H ^ {2} (\ mathbb {D}) = \ left \ lbrace f \ in Hol (\ mathbb {D}) ~ \ left | ~ \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \, | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} <+ \ infty \ right. \ right \ rbrace}

Definiamo quindi la norma di f con:

‖f‖2: =(∑non=0+∞|f^(non)|2)12.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}: = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} | {\ hat {f}} (n) | ^ {2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

Esempio

La funzione appartiene a H 2 (?), per convergenza della serie ( serie di Riemann convergente ). z↦log⁡(1-z)=-∑non=1∞znonnon{\ displaystyle z \ mapsto \ log (1-z) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n}}}∑non≥11non2{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {2}}}}

Un'altra espressione dello standard

Per f olomorfo su ? e per 0 ≤ r <1 , definiamo:

M2(f,r): =(12π∫-ππ|f(reiot)|2 dt)12.{\ displaystyle M_ {2} (f, r): = \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}

• la funzione r ↦ M 2 ( f , r ) aumenta di [0, 1 [ .
• f ∈ H 2 (?) se e solo see abbiamo:limr→1-M2(f,r)<+∞{\ displaystyle \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} M_ {2} (f, r) <+ \ infty}

‖f‖22=limr→1-12π∫-ππ|f(reiot)|2 dt=sup0≤r<112π∫-ππ|f(reiot)|2 dt.{\ displaystyle \ | f \ | _ {2} ^ {2} = \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} {{\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi } ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t} = \ sup _ {0 \ leq r < 1} {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ vert f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) \ vert ^ {2} ~ \ mathrm {d} t.} Dimostrazione

• Mettiamo dove e . Abbiamo :z=reiot{\ Displaystyle z = r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}}r∈[0,1[{\ displaystyle r \ in [0,1 [}t∈[-π,π]{\ displaystyle t \ in [- \ pi, \ pi]}f(z)=∑non=0+∞f^(non)znon pertanto f(reiot)=∑non=0+∞f^(non)rnoneionont{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) z ^ {n} {\ hbox {quindi}} f (r \ mathrm { e} ^ {\ mathrm {i} t}) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ hat {f}} (n) r ^ {n} \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} nt}}Quindi, secondo la formula di Parseval , abbiamo:M2(f,r)2=∑non=0+∞|f^(non)|2r2non{\ displaystyle M_ {2} (f, r) ^ {2} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n}}Questa formula dimostra la prima affermazione.
• Se f ∈ H 2 (?), la formula precedente mostra che è una funzione crescente, limitata quindi esiste e secondo il teorema di convergenza monotona questo limite è uguale . Viceversa se , per ciascuno , si ha, per crescita di  :M2(f,.){\ displaystyle M_ {2} (f,.)}limr→1-M2(f,r){\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r)}}‖f‖2{\ displaystyle \ | f \ | _ {2}}limr→1-M2(f,r)=M<+∞{\ displaystyle \ displaystyle {\ lim _ {r \ rightarrow 1-} M_ {2} (f, r) = M <+ \ infty}}NON≥0{\ displaystyle N \ geq 0}M2(f,r){\ displaystyle M_ {2} (f, r)}∑non=0NON|f^(non)|2r2non≤∑non=0+∞|f^(non)|2r2non≤M2{\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {N} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq \ sum _ {n = 0} ^ { + \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert ^ {2} r ^ {2n} \ leq M ^ {2}}Passando al limite quando tende verso poi quando tende verso , si ottiene la seconda affermazione.r{\ displaystyle r}1-{\ displaystyle 1 ^ {-}}NON{\ displaystyle N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

Alcune proprietà dello spazio H 2 (?)

• Lo spazio Hardy H 2 (?) è isometrico isomorfo (come spazio vettoriale normalizzato ) a ℓ 2 . È quindi uno spazio di Hilbert .

Dimostrazione

Consideriamo l'applicazione definita da . Questo è ben definito dalla definizione di H 2 (?), è chiaramente lineare. Per l'unicità dello sviluppo in tutta la serie è iniettivo , resta da dimostrare che è suriettivo . T:H2(D)→ℓ2{\ displaystyle T: H ^ {2} (\ mathbb {D}) \ rightarrow \ ell _ {2}}T(f)=(f^(non)){\ displaystyle T (f) = ({\ hat {f}} (n))}

Sia , quindi , delimitata l'intera serie f definita da un raggio di convergenza maggiore o uguale a 1, in particolare e . è quindi suriettivo. (anon)∈ℓ2{\ displaystyle (a_ {n}) \ in \ ell _ {2}}(anon){\ displaystyle (a_ {n})}f(z)=∑non=0+∞anonznon{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} z ^ {n}}f∈Hol(D){\ displaystyle f \ in Hol (\ mathbb {D})}T(f)=(anon){\ displaystyle T (f) = (a_ {n})}T{\ displaystyle T}

• Per ogni f ∈ H 2 (?) e per ogni z in ?, abbiamo:

|f(z)|≤‖f‖21-|z|2.{\ Displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.} Dimostrazione

Applichiamo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz all'espansione in serie di Taylor di f a 0. Abbiamo quindi, per ogni z in ?:

|f(z)|≤∑non=0+∞|f^(non)||z|non≤‖f‖2(∑non=0+∞|z|2non)12=‖f‖21-|z|2{\ Displaystyle \ vert f (z) \ vert \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert {\ hat {f}} (n) \ vert \ vert z \ vert ^ {n} \ leq \ | f \ | _ {2} \, {(\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ vert z \ vert ^ {2n})} ^ {\ frac {1} {2} } = {\ frac {\ | f \ | _ {2}} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}}.

Ciò significa che la mappa lineare di valutazione f ↦ f ( z ) , da H 2 (?) a ℂ, è continua per ogni z in ? e la sua norma è minore di:

11-|z|2.{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ vert z \ vert ^ {2}}}}.}

In effetti, possiamo dimostrare che la norma è esattamente uguale a questa costante.

• La topologia debole della sfera unitaria di H 2 (?) coincide con la topologia di convergenza uniforme su qualsiasi compatto .

Le due proprietà successive sono quindi conseguenze dirette di queste ultime.

• Sia ( f n ) una successione di elementi di H 2 (?) che converge di norma verso f allora ( f n ) converge uniformemente su qualsiasi compatto di ? verso f .
• Sia ( f n ) una successione di elementi di H 2 (?) inclusi nell'unità palla. Quindi possiamo estrarre una sottosequenza che converge uniformemente su qualsiasi compatto di ?.

Il caso generale

Definizione

Per 0 < p <+ ∞ , si definisce lo spazio Hardy H p (?) come lo spazio delle funzioni analitiche f sul disco unitario come:

sup0<r<1(∫02π|f(reiot)|p dt2π)<+∞.{\ displaystyle \ sup _ {0 <r <1} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ { p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) <+ \ infty.}

Definiamo quindi:

‖f‖p=sup0<r<1(∫02π|f(reiot)|p dt2π)1p.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ sup _ {0 <r <1} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} ~ {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Alcune proprietà

• Per p ≥ 1 , H p (?) è uno spazio di Banach .
• Sia f ∈ H p (?) per p ≥ 1 . Quindi per quasi tutti i t (nel senso della misura di Lebesgue ):f∗(eiot): =limr→1-f(reiot){\ displaystyle f ^ {*} (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}): = \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t})}esiste e la mappa f ↦ f * è un'isometria di H p (?) nel sottospazio di dove:H∗p{\ displaystyle H _ {*} ^ {p}}Lp([0,2π],dt2π){\ displaystyle L ^ {p} \ sinistra ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right)}H∗p={f∈Lp([0,2π],dt2π) | ∀non≤-1, f^(non)=0}.{\ displaystyle H _ {*} ^ {p} = \ sinistra \ {\ sinistra.f \ in L ^ {p} \ sinistra ([0,2 \ pi], {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ~ \ right | ~ \ forall n \ leq -1, ~ {\ hat {f}} (n) = 0 \ right \}.}
• Abbiamo un'altra caratterizzazione della norma grazie alle proprietà delle funzioni subarmoniche  : per ogni f ∈ H p (?), abbiamo:

‖f‖p=limr→1-(∫02π|f(reiot)|pdt2π)1p.{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} \ left (\ int _ {0} ^ {2 \ pi} | f (r \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} t}) | ^ {p} {\ frac {\ mathrm {d} t} {2 \ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Fattorizzazione di Beurling

Bibliografia

• (it) Peter L. Duren , Theory of H p Spaces , Dover ,2000, 292  p. ( ISBN  978-0-486-41184-2 , leggi online )
• Nikolaï Nikolski, Elementi di analisi avanzata T.1 - Spaces of Hardy , Belin ,novembre 2012, ( ISBN  978-2701163482 )

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