Costruzione di numeri reali
In matematica esistono diverse costruzioni di numeri reali , le due più famose delle quali sono:
Storico
Fu a partire dagli anni Sessanta dell'Ottocento che si fece sempre più pressante l'esigenza di presentare una costruzione di numeri reali, con l'obiettivo di fondare l' analisi su basi rigorose. Fino a questa data l'esistenza dei reali e delle loro proprietà era ammessa, ad esempio da Cauchy nel corso del 1821. Nel 1817 Bolzano stabilì che una parte non vuota aumentata di reali ammette un limite superiore, in una memoria che purtroppo non rimane molto diffuso e che ebbe poca influenza fino all'opera di Weierstrass intorno al 1865. Le prime costruzioni, basate sulle suite di Cauchy, si devono a Méray nel 1869, ea Cantor le cui idee furono presentate nel 1872 da Heine . Dedekind pubblica la sua costruzione dei reali per tagli nel 1872. Nel 1878 Dini pubblica un trattato che fornisce le principali dimostrazioni sui numeri reali.
Costruzione intuitiva da decimali
Un numero reale è una quantità che ha per rappresentazione decimale , dove è un intero, ciascuno è un numero compreso tra 0 e 9, e la sequenza non termina con un infinito di 9. La definizione di è quindi il numero che soddisfa questa doppia disuguaglianza per tutti k :
X=non+0,d1d2d3...{\ displaystyle x = n + 0 {,} d_ {1} d_ {2} d_ {3} \ punto}non{\ stile di visualizzazione n}dio{\ displaystyle d_ {i}}X{\ stile di visualizzazione x}
non+d110+d2100+⋯+dK10K≤X<non+d110+d2100+⋯+dK10K+110K{\ displaystyle n + {\ dfrac {d_ {1}} {10}} + {\ dfrac {d_ {2}} {100}} + \ puntib + {\ dfrac {d_ {k}} {10 ^ {k } }} \ leq x <n + {\ dfrac {d_ {1}} {10}} + {\ dfrac {d_ {2}} {100}} + \ dotsb + {\ dfrac {d_ {k}} { 10 ^ {k}}} + {\ dfrac {1} {10 ^ {k}}}}.
Questa costruzione, oltre alla mancanza di rigore in questa forma, presenta vari inconvenienti, il più importante dei quali è la difficoltà di fornire algoritmi semplici per la moltiplicazione, e anche per l'addizione in casi come . Terence Tao fa notare che può essere reso più naturale interpretandolo (come per la costruzione di numeri p -adici ) come limite proiettivo di insiemi di decimali con n cifre dopo la virgola, muniti di opportune regole di calcolo arrotondate.
0,333...+0,666...{\ displaystyle 0 {,} 333 \ punto +0 {,} 666 \ punto}
Costruzione da tagli Dedekind
Definizione nel suo insieme
Questa è la costruzione immaginata da Richard Dedekind il quale nota che ogni razionale si divide in due insiemi: l'insieme dei razionali come e l'insieme dei razionali come . Quindi chiama un cutoff . Si accorge poi che può anche dividersi in due insiemi: l'insieme dei razionali come e l'insieme dei razionali come . Gli venne quindi l'idea di definire l'insieme dei reali come l'insieme dei tagli di . Resta ora da definire un taglio senza utilizzare la nozione intuitiva di un numero reale. Dedekind offre la seguente definizione:
r{\ stile di visualizzazione r}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Ar{\ displaystyle A_ {r}}a{\ stile di visualizzazione a}a<r{\ displaystyle a <r}Br{\ displaystyle B_ {r}}b{\ stile di visualizzazione b}b≥r{\ displaystyle b \ geq r}(Ar,Br){\ stile di visualizzazione (A_ {r}, B_ {r})}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}A{\ stile di visualizzazione A}a{\ stile di visualizzazione a}a<2{\ displaystyle a <{\ sqrt {2}}}B{\ stile di visualizzazione B}b{\ stile di visualizzazione b}b>2{\ displaystyle b> {\ sqrt {2}}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
Un
taglio di Dedekind nel corpo del
suono è una coppia di due sottoinsiemi non vuoti A e B tali che
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}-
A∩B=∅{\ displaystyle A \ cap B = \ set vuoto} ;
-
A∪B=Q{\ displaystyle A \ cup B = \ mathbb {Q}} ;
-
∀a∈A,∀b∈B,a<b{\ displaystyle \ forall a \ in A, \ forall b \ in B, a <b}.
Vediamo quindi che ogni numero razionale r definisce due tagli:
- ( A , B ) tale che A è l'insieme dei numeri razionali strettamente minori di r e B l'insieme dei razionali maggiori o uguali a r ;
- ( A ' B' ) tale che A ' è l'insieme dei numeri razionali inferiore o uguale a R e B' l'insieme di logiche strettamente maggiore di r .
Per risolvere questa ambiguità, utilizziamo quindi la seguente definizione di taglio:
Un taglio di
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}} è una parte A di tale che
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}-
A è non vuoto e diverso da ;Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
- per tutto di A , per tutto , se poi appartiene ad A ;a{\ stile di visualizzazione a}a'∈Q{\ displaystyle a '\ in \ mathbb {Q}}a'<a{\ displaystyle a '<a}a'{\ displaystyle a '}
-
A non ha un elemento più grande.
Definiamo quindi come l'insieme di questi tagli (per una generalizzazione, vedere la sezione "Uso dei numeri surreali" di seguito ). Si può notare che questa seconda definizione permette di assicurare una corrispondenza univoca tra ogni razionale r e il taglio definito come l'insieme di tutte le razionali a tale che . Notiamo poi che è diviso in due insiemi, uno comprendente i tagli il cui complementare ammette un elemento più piccolo, taglio della forma , e l'altro comprendente i tagli il cui complementare non ha un elemento più piccolo.
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Ar{\ displaystyle A_ {r}}a<r{\ displaystyle a <r}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Ar{\ displaystyle A_ {r}}
Ad esempio l'irrazionale è rappresentato dal taglio .
2{\ displaystyle {\ sqrt {2}}}{a∈Q|a<0 o a2<2}{\ displaystyle \ {a \ in \ mathbb {Q} \ mid a <0 {\ mbox {o}} a ^ {2} <2 \}}
Ci si immerge naturalmente nell'applicazione iniettiva che associa il taglio ad ogni r razionale .
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}Ar{\ displaystyle A_ {r}}
Ordine e operazioni
Relazione d'ordine : L'insieme dei tagli, provvisto della relazione di inclusione è quindi un insieme totalmente ordinato .
Addizione : Definiamo un'aggiunta su da:
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
vs∈A+B⇔∃a∈A∃b∈Bvs=a+b{\ displaystyle c \ in A + B \ Leftrightarrow \ esiste a \ in A \ quad \ esiste b \ in B \ quad c = a + b}.
Questa addizione conferisce una struttura di gruppo commutativa . L'unica difficoltà sta nel definire l'opposto di A : (se ) o (se ).
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}A-r{\ stile di visualizzazione A _ {- r}}A=Ar{\ stile di visualizzazione A = A_ {r}}-A¯{\ displaystyle - {\ overline {A}}}A≠Ar{\ displaystyle A \ neq A_ {r}}
Moltiplicazione : La moltiplicazione viene prima definita su reali positivi da:
vs∈A×B⇔∃a∈A∩Q+∃b∈B∩Q+vs≤ab{\ displaystyle c \ in A \ times B \ Leftrightarrow \ esiste a \ in A \ cap \ mathbb {Q} ^ {+} \ quad \ esiste b \ in B \ cap \ mathbb {Q} ^ {+} \ quad c \ leq ab}.
La regola dei segni permette poi di definire la moltiplicazione su tutto .
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Proprietà
L'insieme dei tagli, provvisto di questo ordine e di queste due leggi è quindi un campo totalmente ordinato , verificando inoltre la proprietà del limite superiore (qualsiasi insieme non vuoto plus ha un limite superiore ).R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Costruzione tramite le suite Cauchy
Questa costruzione è più difficile da avvicinare, ma la costruzione delle operazioni è più naturale. Questo metodo è formalmente analogo al metodo di costruzione che permette, da uno spazio metrico E , di ottenere uno spazio metrico completo E' tale che E sia denso in E' .
Non si potrebbe discutere, pena un argomento circolare , di definire a priori , su un campo totalmente ordinato K , una distanza con valori in , poiché quest'ultima non è stata ancora definita. Le due nozioni di successione di Cauchy e di successione convergente sono quindi da intendersi (qui, ma soprattutto nel paragrafo "Equivalenza delle due costruzioni") non nel senso consueto di successione di Cauchy e di successione convergente in uno spazio metrico, ma in il senso comune seguente direzione: una successione ( a n ) in K
∀ε∈K+*∃NON∈NON∀m,non≥NON|anon-am|<ε{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in K _ {+} ^ {*} \ quad \ esiste N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall m, n \ geq N \ quad | a_ {n} -a_ { m } | <\ varepsilon} ;
- converge a un elemento a (che si nota :) seliminon→∞anon=a{\ displaystyle \ lim _ {n \ a \ infty} a_ {n} = a}
∀ε∈K+*∃NON∈NON∀non≥NON,|anon-a|<ε{\ displaystyle \ forall \ varepsilon \ in K _ {+} ^ {*} \ quad \ esiste N \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ geq N, \ quad | a_ {n} -a | < \ varepsilon}
dove per ogni x ∈ K , l'elemento | x | ∈ K denota il maggiore dei due elementi x e - x .
Queste due definizioni di successioni di Cauchy e successioni convergenti - che d'altra parte corrisponderanno a posteriori alle definizioni usuali - sono quelle legate rispettivamente alla struttura uniforme sul gruppo ordinato ( K , +, ≤) e alla topologia dell'ordine qu ' lei induce. La completezza di uno spazio uniforme implica la convergenza delle sue successioni di Cauchy. Il contrario, falso in generale, è vero se il campo K è Archimedeo (e ℝ lo sarà). Ciò fornirà un semplice criterio per dimostrare che è completo (come spazio uniforme) anche prima di avergli fornito la sua consueta struttura spaziale metrica. Inoltre, verranno costantemente utilizzare che se K è Archimede allora il ε che intervengono in queste definizioni può sempre essere preso da ℚ + *.
Definizione nel suo insieme
L'idea di Cantor (e qualche anno prima di Méray ) sta nel fatto che si può raggiungere qualsiasi numero reale per una sequenza di Cauchy di . L' elemento limitante a cui sarà necessario dare un significato sarà quindi definito come un numero reale. L'insieme delle suite di Cauchy , che noteremo , appare però fin troppo vasto. Infatti, ad esempio per un dato razionale, esiste un'infinità di successioni di Cauchy convergenti verso questo limite. Occorre quoziente questo insieme con una relazione di equivalenza tra le successioni: due successioni di Cauchy di numeri razionali si diranno equivalenti se la loro differenza converge verso 0 (la convergenza di una successione nell'avere il significato sopra definito, così come la proprietà dell'essere di Cauchy):
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}} R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
(tunon)R(vnon)⇔liminon→∞(tunon-vnon)=0.{\ displaystyle (u_ {n}) {\ mathcal {R}} (v_ {n}) \ Leftrightarrow \ lim _ {n \ a \ infty} (u_ {n} -v_ {n}) = 0.}
Questa relazione è infatti una relazione di equivalenza, poiché è:
R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}
-
riflessiva perché la successione nulla converge infatti verso 0;
-
simmetrica perché se una successione converge a 0, allora converge a 0 anche la successione opposta;
-
transitiva per la disuguaglianza triangolare sul valore assoluto in . Se , e sono tre sequenze di razionali, abbiamo infatti:Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}(tunon){\ displaystyle (u_ {n})}(vnon){\ stile di visualizzazione (v_ {n})}(wnon){\ stile di visualizzazione (w_ {n})}
∀non∈NON, |tunon-wnon|≤|tunon-vnon|+|vnon-wnon|.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ | u_ {n} -w_ {n} | \ leq | u_ {n} -v_ {n} | + | v_ {n} -w_ {n} |.}
Definiamo quindi come l'insieme delle classi di equivalenza delle successioni di Cauchy di razionali (per questa relazione di equivalenza su ).
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
operazioni
L'insieme delle sequenze in è naturalmente provvisto di una struttura commutativa ad anello con addizione e moltiplicazione ereditata dalla struttura di campo di . Se e sono due sequenze, allora queste operazioni sono definite da:
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}(tunon){\ displaystyle (u_ {n})}(vnon){\ stile di visualizzazione (v_ {n})}
∀non∈NON(tu+v)non=tunon+vnon{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}} ;
∀non∈NON(tu⋅v)non=tunon⋅vnon{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad (u \ cdot v) _ {n} = u_ {n} \ cdot v_ {n}}.
Queste operazioni mantengono il criterio di Cauchy, vale a dire che la somma e il prodotto di due successioni di Cauchy sono ancora successioni di Cauchy. Nell'anello delle successioni a valori razionali, il sottoinsieme è quindi un sottoanello.
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}
In questo anello , il sottoinsieme delle successioni che convergono a 0 è un ideale (cioè la somma di due successioni che convergono a 0, e il prodotto di una successione che converge a 0 per una successione di Cauchy, converge a 0). La relazione di equivalenza appare quindi come quella associata a questo ideale, che permette di fornire una struttura ad anello quoziente (ancora commutativa e unitaria).
VS{\ displaystyle {\ mathcal {C}}}R{\ displaystyle {\ mathcal {R}}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Ci immergiamo in via suite stazionarie. Indicheremo la classe contenente la sequenza costante uguale a .
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}(a){\ stile di visualizzazione (a)}a∈Q{\ displaystyle a \ in \ mathbb {Q}}
L'anello quoziente è un corpo.R=VS/R{\ displaystyle \ mathbb {R} = {\ mathcal {C}} / {\ mathcal {R}}}
Dimostrazione
Si tratta di mostrare che ogni numero reale diverso da zero ammette un inverso. Sia un elemento diverso da (0) e una sequenza di questa classe . Dire che la classe è diversa dalla classe (0) significa dire che la successione non converge a 0, che si scrive:
a{\ stile di visualizzazione a}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}(anon){\ displaystyle (a_ {n}) \;}a{\ stile di visualizzazione a}a{\ stile di visualizzazione a}(anon){\ displaystyle (a_ {n}) \;}
(1)∃ε∈Q+* ∀NON∈NON ∃non≥NON, |anon|≥ε,{\ displaystyle (1) \ qquad \ esiste \ varepsilon \ in \ mathbb {Q} _ {+} ^ {*} \ \ forall N \ in \ mathbb {N} \ \ esiste n \ geq N, \ | a_ { n} | \ geq \ varepsilon,}
o ancora: per un certo , c'è un'infinità di termini della successione che hanno valore assoluto maggiore di . Poiché questa sequenza è di Cauchy, da un certo rango N , il valore assoluto della differenza di due termini è minore di . Deduciamo, usando (1):
ε∈Q+*{\ displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {Q} _ {+} ^ {*}}ε{\ displaystyle \ varepsilon}ε/2{\ displaystyle \ varepsilon / 2}
(2)∀non≥NON, |anon|≥ε/2.{\ displaystyle (2) \ qquad \ forall n \ geq N, \ | a_ {n} | \ geq \ varepsilon / 2.}
Lascia che la sequenza sia definita da if e (ad esempio) if not. Questa sequenza di razionali è di Cauchy, perché secondo (2),
(bnon){\ stile di visualizzazione (b_ {n})}bnon=1anon{\ displaystyle b_ {n} = {\ dfrac {1} {a_ {n}}}}non≥NON{\ displaystyle n \ geq N}bnon=0{\ displaystyle b_ {n} = 0}
∀m,non≥NON, |bnon-bm|=|am-anon||amanon|≤4ε2|am-anon|.{\ displaystyle \ forall m, n \ geq N, \ | b_ {n} -b_ {m} | = {\ frac {| a_ {m} -a_ {n} |} {| a_ {m} a_ {n } |}} \ leq {\ frac {4} {\ varepsilon ^ {2}}} | a_ {m} -a_ {n} |.}
Possiamo quindi considerare la sua classe in , e abbiamo
b{\ stile di visualizzazione b}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
ab=(anonbnon)=(1).{\ displaystyle ab = (a_ {n} b_ {n}) = (1).}
Ordine
Definiamo come il sottoinsieme delle classi contenente almeno una sequenza di Cauchy con valori in (l'insieme dei razionali positivi o nulli), quindi definiamo una relazione di ordine totale su ponendo
R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}Q+{\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {+}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
X≤sì⇔sì-X∈R+.{\ displaystyle x \ leq y \ Leftrightarrow yx \ in \ mathbb {R} _ {+}.}Il fatto che questa relazione sia riflessiva e transitiva è immediato. Che sia anche antisimmetrico (quindi definisce bene un ordine) deriva dal fatto che . Che questo ordine sia totale deriva da .
R+∩-R+={(0)}{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cap - \ mathbb {R} _ {+} = \ {(0) \}}R+∪-R+=R{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cup - \ mathbb {R} _ {+} = \ mathbb {R}}
Il corpo è stato così dotato di una struttura corporea totalmente ordinata . Infatti, questo ordine è compatibile con l'addizione (per costruzione) ma anche con la moltiplicazione (perché è chiaramente stabile per prodotti). Notiamo che questa relazione d'ordine coincide, on (immersa come già accennato), con la consueta relazione d'ordine.
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Dimostriamo ulteriormente che è Archimedeo . Possiamo quindi concludere:
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
(R,≤){\ displaystyle (\ mathbb {R}, \ leq)} è un corpo di Archimede totalmente ordinato.
Dimostrazioni
- ≤{\ displaystyle \ leq} è antisimmetrico:
Questo per dimostrarlo . Sia tale che , dimostriamolo . Ci sono due sequenze di Cauchy , di razionali positivi o nulli che rappresentano rispettivamente e . Quindi si traduce in: converge a 0 in , che (poiché ) risulta in che
converge anche a 0, in modo che .
R+∩-R+={(0)}{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cap - \ mathbb {R} _ {+} = \ {(0) \}}a,b∈R+{\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {R} _ {+}}a=-b{\ stile di visualizzazione a = -b}a=(0){\ stile di visualizzazione a = (0)}(anon){\ displaystyle (a_ {n})}(bnon){\ stile di visualizzazione (b_ {n})}a{\ stile di visualizzazione a}b{\ stile di visualizzazione b}a+b=(0){\ stile di visualizzazione a + b = (0)}(anon+bnon){\ stile di visualizzazione (a_ {n} + b_ {n})}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}0≤anon≤anon+bnon{\ displaystyle 0 \ leq a_ {n} \ leq a_ {n} + b_ {n}}(anon){\ displaystyle (a_ {n})}a=(0){\ stile di visualizzazione a = (0)}
- L'ordine è totale:≤{\ displaystyle \ leq}
Questo per dimostrarlo . Sia e sia una sequenza di Cauchy di razionali che rappresentano questa classe. Se questa successione ammette un'infinità di termini positivi o nulli, poiché la corrispondente sottosequenza rappresenta la stessa classe ,. Stessa cosa sostituendo "positivo" con "negativo" e con . Tuttavia, questi due casi (non esclusivi) coprono tutte le possibilità.
R+∪-R+=R{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} \ cup - \ mathbb {R} _ {+} = \ mathbb {R}}a∈R{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}(anon){\ displaystyle (a_ {n})}a∈R+{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} ^ {+}}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}-R+{\ displaystyle - \ mathbb {R} _ {+}}
- R{\ displaystyle \ mathbb {R}} è Archimede:
Si tratta di mostrare che, per tutti i reali e , esiste un intero tale che . Basta chiedere . Il reale ha per la sequenza di Cauchy razionale rappresentativa quindi aumentato. Prendiamo un intero limite superiore di questa sequenza. Per l'insieme , abbiamo quindi dunque dunque .
a>0{\ stile di visualizzazione a> 0 \,}b≥0{\ displaystyle b \ geq 0}NON{\ stile di visualizzazione N \,}NONa≥b{\ displaystyle Na \ geq b}X=ba{\ displaystyle x = {\ dfrac {b} {a}}}X{\ stile di visualizzazione x}(Xnon){\ stile di visualizzazione (x_ {n})}NON{\ stile di visualizzazione N}non{\ stile di visualizzazione n}NON-Xnon∈Q+{\ displaystyle N-x_ {n} \ in \ mathbb {Q} _ {+}}(NON)-X∈R+{\ displaystyle (N) -x \ in \ mathbb {R} _ {+}}NON≥X{\ displaystyle N \ geq x}NONa≥b{\ displaystyle Na \ geq b}
Completezza
Su , l'ordine appena definito dà significato alle nozioni di successione di Cauchy e successione convergente. Mostreremo che ogni reale è limitato a una serie di razionali. Più precisamente: se una successione di razionali di Cauchy rappresenta un reale allora la successione di reali converge in a . Quindi, tutte le successioni di Cauchy di razionali convergono in . Mostreremo che questo vale anche per qualsiasi sequenza di reali di Cauchy:
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}(anon){\ displaystyle (a_ {n})}a{\ stile di visualizzazione a}((anon)){\ stile di visualizzazione ((a_ {n}))}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}a{\ stile di visualizzazione a}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}è denso ed è completo.R{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Dimostrazione
- Ogni sequenza di Cauchy di razionali converge verso la sua classe:R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Useremo le lettere maiuscole per designare i reali e le minuscole per designare quelli razionali. Sia una successione di Cauchy di numeri razionali , la sua classe e (per ogni intero n ) il reale rappresentato dalla successione costante . Cerchiamo, per un razionale fisso , di dimostrare l'esistenza di un intero N tale che
(anon){\ displaystyle (a_ {n})}A{\ stile di visualizzazione A}Anon{\ displaystyle A_ {n}}anon{\ displaystyle a_ {n}}ε>0{\ displaystyle \ varepsilon> 0}
∀non≥NON, ε-|Anon-A|∈R+.{\ displaystyle \ forall n \ geq N, \ \ varepsilon - | A_ {n} -A | \ in \ mathbb {R} _ {+}.}
Per questo basta applicare il criterio di Cauchy alla sequenza , notando che se poi per tutti
, la sequenza razionale è positiva o nulla di rango N quindi la classe che rappresenta è in .
(anon){\ displaystyle (a_ {n})}∀m,non≥NON, |anon-am|≤ε{\ displaystyle \ forall m, n \ geq N, \ | a_ {n} -a_ {m} | \ leq \ varepsilon}non≥NON{\ displaystyle n \ geq N}(ε-|anon-am|)m{\ displaystyle (\ varepsilon - | a_ {n} -a_ {m} |) _ {m}}ε-|Anon-A|{\ displaystyle \ varepsilon - | A_ {n} -A |}R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}
- In , ogni successione di Cauchy converge:R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Sia una successione di Cauchy di numeri reali, si tratta di provare che questa successione converge in . Abbiamo visto in precedenza che tutto il reale è limite dei razionali. Possiamo quindi scegliere, per ogni intero n > 0, un razionale tale che . La successione converge quindi a 0. La successione è quindi, come , di Cauchy. Possiamo quindi considerare la sua classe: indichiamo con U questo reale. Poiché converge a U e che converge a 0, la successione converge a U .
(tunon){\ stile di visualizzazione (U_ {n})}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}anon{\ displaystyle a_ {n}}|tunon-anon|≤1/non{\ displaystyle | U_ {n} -a_ {n} | \ leq 1 / n}(tunon-anon){\ displaystyle (U_ {n} -a_ {n})}(anon){\ displaystyle (a_ {n})}(tunon){\ stile di visualizzazione (U_ {n})}(anon){\ displaystyle (a_ {n})}(tunon-anon){\ displaystyle (U_ {n} -a_ {n})}(tunon){\ stile di visualizzazione (U_ {n})}
Equivalenza delle due costruzioni
La costruzione per tagli di Dedekind fornisce un campo totalmente ordinato che verifica la proprietà del limite superiore: ogni sottoinsieme non vuoto con un limite superiore ha un limite superiore. Quella delle suite di Cauchy fornisce un corpo Archimedeo completo e totalmente ordinato. Queste due proprietà sono infatti equivalenti. Inoltre, ogni campo che li soddisfa è isomorfo al campo costruito con il metodo delle successioni di Cauchy. Possiamo quindi enunciare il seguente teorema parlando di “il” corpo ℝ senza specificare “quale” è. Una conseguenza di questo teorema è che le caratterizzazioni 1), 2), 3) implicano tutte che il campo è commutativo e che il sottocampo è denso (come è il caso del campo ℝ costruito dalle successioni di Cauchy).
Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
Sia K un campo totalmente ordinato. Le seguenti proprietà sono equivalenti:
-
K controlla la proprietà del limite superiore;
-
K soddisfa il teorema del limite monotono per le successioni ;
-
K è Archimede e completo;
-
K è di Archimede e soddisfa il teorema delle successioni adiacenti ;
-
K è isomorfo a .
Dimostrazione
-
(3)⇒(4){\ stile di visualizzazione (3) \ Freccia destra (4)} perché due suite adiacenti sono di Cauchy.
- (4)⇒(1){\ stile di visualizzazione (4) \ Freccia destra (1)}
Oppure E un insieme contenente un elemento e delimitato da M .
X{\ stile di visualizzazione x}
Se è un limite superiore di E, allora è il limite superiore di E .
X{\ stile di visualizzazione x}X{\ stile di visualizzazione x}
Altrimenti, procediamo per dicotomia per dimostrare che E ha un limite superiore (il più piccolo del limite superiore). Creiamo due sequenze e definiamo per induzione come segue:
(anon){\ displaystyle (a_ {n}) \,}(bnon){\ displaystyle (b_ {n}) \,}
a0=X{\ stile di visualizzazione a_ {0} = x \,} e
b0=M{\ stile di visualizzazione b_ {0} = M \,}
per tutti ,
non{\ stile di visualizzazione n \,}se è un limite superiore, e
anon+bnon2{\ displaystyle a_ {n} + b_ {n} \ over 2}anon+1=anon{\ displaystyle a_ {n + 1} = a_ {n} \,}bnon+1=anon+bnon2{\ displaystyle b_ {n + 1} = {a_ {n} + b_ {n} \ su 2}}
se non è un limite superiore, e
anon+bnon2{\ displaystyle a_ {n} + b_ {n} \ over 2}anon+1=anon+bnon2{\ displaystyle a_ {n + 1} = {a_ {n} + b_ {n} \ su 2}}bnon+1=bnon{\ displaystyle b_ {n + 1} = b_ {n} \,}
Il principio costruttivo garantisce che:
la sequenza ( ) è una sequenza crescente di cui nessun termine è limite superiore di E ;
anon{\ displaystyle a_ {n}}
la successione ( ) è una successione decrescente di cui tutti i termini sono limite superiore di E ;
bnon{\ displaystyle b_ {n}}
per ogni intero n , quindi la successione ( ) converge a 0 (qui usiamo che K è Archimedeo).
|bnon-anon|=2-non(M-X){\ displaystyle | b_ {n} -a_ {n} | = 2 ^ {- n} (Mx) \,}bnon-anon{\ displaystyle b_ {n} -a_ {n}}
Le suite sono quindi adiacenti. Secondo (4) convergono verso un limite comune .
ℓ{\ displaystyle \ ell}
Resta da dimostrare che il limite superiore è effettivamente.
ℓ{\ displaystyle \ ell}
Per ogni reale di E , perché è un limite superiore. Quindi passando al limite, per davvero all in , . è quindi un limite superiore di E .
sì{\ stile di visualizzazione y \,}sì≤bnon{\ displaystyle y \ leq b_ {n}}bnon{\ displaystyle b_ {n} \,}sì{\ stile di visualizzazione y \,}E{\ stile di visualizzazione E \,}sì≤ℓ{\ displaystyle y \ leq \ ell}ℓ{\ displaystyle \ ell}
Per ogni M reale maggiore di E , perché non è mai un limite superiore. Passando al limite, per ogni limite superiore M di E , . è il più piccolo del limite superiore.
anon<M'{\ displaystyle a_ {n} <M '\,}anon{\ displaystyle a_ {n} \,}ℓ≤M'{\ displaystyle \ ell \ leq M '}ℓ{\ displaystyle \ ell}
-
(1)⇒(2){\ stile di visualizzazione (1) \ Freccia destra (2)} : vedi Teorema del Limite Monotonico .
- (2)⇒(3){\ stile di visualizzazione (2) \ Freccia destra (3)}
(2)⇒{\ stile di visualizzazione (2) \ Freccia destra} K è
Archimedeo (in altre parole: la successione (1/ n ) converge) perché decrescente e sottostimata.
(2)⇒{\ stile di visualizzazione (2) \ Freccia destra}in K , ogni successione di Cauchy converge:
O è una sequenza di Cauchy in K . Possiamo estrarre una successione sub-
monotonica ( vedi
proprietà delle sottosuite ), che è limitata (come lo era l'Oriente), così che converge in K . Poiché a è di Cauchy, converge quindi (verso lo stesso limite).
-
(3)⇔(5){\ displaystyle (3) \ Leftrightarrow (5)} :
Scegliamo qui come corpo quello costruito dalle sequenze di Cauchy. Per costruzione . Viceversa, supponiamo K completo di Archimede, e definiamo una mappa per: se è la classe di una successione di razionali di Cauchy allora, in K , (questo limite esiste e non dipende dalla scelta del rappresentante ). Per costruzione, è compatibile con le operazioni e strettamente crescente. Infine, è suriettiva, grazie al fatto che K è di Archimede: per tutti e tutti , esiste un razionale tra e :, dove è il più piccolo intero superiore . Tale seguito è di Cauchy, e la sua classe è un antecedente del par .
(5)⇒(3){\ stile di visualizzazione (5) \ Freccia destra (3)}f:R→K{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ a K}a∈R{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}(anon){\ displaystyle (a_ {n})}f(a)=limi(anon){\ displaystyle f (a) = \ lim (a_ {n})}(anon){\ displaystyle (a_ {n})}f{\ stile di visualizzazione f}f{\ stile di visualizzazione f}b∈K+{\ stile di visualizzazione b \ in K _ {+}}non>0{\ stile di visualizzazione n> 0}anon{\ displaystyle a_ {n}}b{\ stile di visualizzazione b}b+1/non{\ stile di visualizzazione b + 1 / n}anon=p/non{\ displaystyle a_ {n} = p / n}p{\ stile di visualizzazione p}nonb{\ stile di visualizzazione nb}(anon){\ displaystyle (a_ {n})}a∈R{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}}b{\ stile di visualizzazione b}f{\ stile di visualizzazione f}
Nota. Queste equivalenze mostrano in particolare che ogni corpo L totalmente ordinato e di Archimede è isomorfo ad un sottocampo del corpo ordinato R . Infatti, il completamento di L (costruito dallo stesso processo Cauchy sequenzia l' R completatodi Q ) porterà (per gli stessi argomenti) un corpo K contenente L , e quindi completo di Archimede isomorfo a R .
Altre costruzioni
Sono state proposte altre costruzioni rigorose, ma in genere presentano solo un interesse di curiosità, perché si prestano meno a generalizzazioni, o di fatto richiedono una conoscenza preliminare approfondita per poter essere giustificate.
Contrariamente a quanto potrebbe suggerire il loro nome, qui non esiste un circolo vizioso: è infatti possibile definire direttamente gli iperrazionali * Q (per ultraprodotto , cioè per quoziente Q N per ultrafiltro non banale su N ); l'anello B degli elementi "finiti" a * Q (l'insieme degli elementi aumentato di un intero standard) è l'ideale massimale I tutto infinitesimale, e il quoziente B/I è isomorfo a R . Oltre al suo carattere piuttosto artificiale, questa costruzione richiede l' assioma della scelta , che può sembrare inutilmente restrittivo.
Usando numeri surreali
La costruzione dei tagli di Dedekind sembra difficile da generalizzare e le leggi (soprattutto la moltiplicazione) sembrano un po' artificiali. Tuttavia, nel 1974, John Horton Conway riuscì a dimostrare che una costruzione simile poteva estendersi ad una classe di nuovi numeri, detti numeri surreali , generalizzando sia reali che ordinali , e per i quali la definizione di operazioni può essere fatta in maniera del tutto naturale modo.
Sappiamo che il campo On dei numeri surreali ( Corpo scritto con la maiuscola, perché è una classe propria ) contiene tutti i campi ordinati (tranne l'isomorfismo); possiamo quindi definire R come il più grande sottocampo di Archimede di On . Conway dà una costruzione intrinseca più complicata e fa anche notare che i numeri creati nel giorno ω contengono R , ± ω, ei numeri della forma , e che è quindi sufficiente trovare R per eliminare quest'ultimo; quest'ultima costruzione, sebbene rigorosa, sembra altamente artificiale, cosa che lo stesso autore riconosce.
p/2non ± 1/ω{\ displaystyle p / 2 ^ {n} \ \ pm \ 1 / \ omega}
Per quasi-morfismi
La seguente costruzione sembra poco conosciuta; pubblicato nel 1975, utilizza solo il gruppo additivo di interi relativi Z e si basa sulla nozione di quasi-morfismo. Questa costruzione è stata rigorosamente (e automaticamente ) verificata dal progetto IsarMathLib. Uno dei suoi vantaggi è che non usa l' assioma della scelta .
Diciamo che un'applicazione è un quasi-morfismo se l'insieme è finito, o se la funzione è limitata. La funzione g misura il difetto che f è un morfismo di gruppo. L'insieme dei quasi-morfismi è stabile per addizione e composizione. Due quasi-morfismi si dicono quasi uguali se l'insieme è finito. Questa relazione è una relazione di equivalenza sull'insieme dei quasi-morfismi, compatibile con addizione e composizione; l'insieme quoziente, provvisto dell'addizione e della corrispondente moltiplicazione, è un campo isomorfo a R ; per definire l'ordine, diciamo che (dove rappresenta la classe di equivalenza di ) si è limitato o assume un'infinità di valori positivi su N , e possiamo dimostrare che il campo è quindi completamente ordinato, il che dimostra l'isomorfismo. È infatti possibile esplicitarlo: se ammettiamo a priori l'esistenza di R (costruito con uno dei metodi precedenti), allora per ogni quasi-morfismo , la successione converge in R verso un limite , e la funzione è limitata su Z . Dalla seconda affermazione segue che il limite c ( f ) dipende solo dalla classe di equivalenza [ f ] di f ; notando ancora c ([ f ]), c è l'isomorfismo cercato.
f:Z→Z{\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ a \ mathbb {Z}}{f(non+m)-f(m)-f(non)|non,m∈Z}{\ displaystyle \ {f (n + m) -f (m) -f (n) \ mid n, m \ in \ mathbb {Z} \}}g(non,m)=f(non+m)-f(non)-f(m){\ displaystyle g (n, m) = f (n + m) -f (n) -f (m)}{f(non)-g(non)|non∈Z}{\ displaystyle \ {f (n) -g (n) \ mid n \ in \ mathbb {Z} \}}[f]≤[g]{\ displaystyle [f] \ leq [g]}[f]{\ stile di visualizzazione [f]}f{\ stile di visualizzazione f}g-f{\ displaystyle gf}f:Z→Z{\ displaystyle f: \ mathbb {Z} \ a \ mathbb {Z}}f(non)/non{\ stile di visualizzazione f (n) / n}vs(f){\ stile di visualizzazione c (f)}non↦f(non)-vs(f)non{\ displaystyle n \ mapsto f (n) -c (f) n}
Note e riferimenti
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(De) Georg Cantor, " Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen " , Math. Anna. , vol. 5,1872, pag. 123-132 ( leggi online ).
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Hélène Gispert-Chambaz, Camille Jordan e i fondamenti dell'analisi , Università di Paris-Sud , Pubblicazioni matematiche di Orsay,1982( leggi in linea ) , p. 13.
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Roger Godement ha presentato una versione più completa, ma ancora insufficientemente formalizzata, e non spiegando gli algoritmi di calcolo, nell'articolo Calcul infinitesimal da lui scritto per l' Encyclopædia Universalis ; una costruzione completamente rigorosa è data in (in) Barbara Burke Hubbard e John H. Hubbard , Calcolo vettoriale, Algebra lineare e forme differenziali, un approccio unificato , c. 0, sezione 0.4.
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(in) Terence Tao, compattezza e contraddizione , American Mathematical Society, 2013 ( leggi online ), c. 1, pag. 14.
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(it) John H. Conway, Sui numeri e sui giochi , p. 25 e seguenti.
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Un reale è un elemento x di On limitato (esiste n intero tale che - n <x <n ) tale cheX={X-(1/non)non∈NON|X+(1/non)non∈NON}.{\ displaystyle x = \ {x- (1 / n) _ {n \ in \ mathbb {N}} | x + (1 / n) _ {n \ in \ mathbb {N}} \}.}
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Troviamo diverse versioni, ad esempio in [1] , [2] e [3] (en) , nonché una precisa descrizione in Xavier Caruso, " Un'incarnazione poco conosciuta del corpo dei numeri reali " ,settembre 2008.
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Caruso 2008 .
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(in) Reuben Hersh (in) , Che cos'è la matematica, davvero? , New York, Oxford University Press ,1997( leggi in linea ) , p. 274 .
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Nel caso generale, un quasi-morfismo da un gruppo G a R è una mappa tale che l'insieme di f (xy) -f (x) -f (y) è limitato; vedi [4] (it) .
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meglio perché notando che se è un reale, la mappa (l'intera parte di ) è un quasi-morfismo la cui classe sarà identificata con .a{\ stile di visualizzazione a}non↦E(nona){\ displaystyle n \ mapsto E (na)}nona{\ displaystyle na}a{\ stile di visualizzazione a}
Vedi anche
Articoli Correlati
link esterno
Bibliografia
- (it) Holger Teismann, " Verso un elenco più completo di assiomi di completezza " , Amer. Matematica. Mensile , vol. 120, n . 22013, pag. 99-114 ( DOI 10.4169 / amer.math.mensile.120.02.099 )
- (it) James Propp (it) , " Analisi reale al contrario " , Amer. Matematica. Mensile , vol. 120, n . 5,2013, pag. 392-408 ( arXiv 1204.4483 )
-
(it) Arnold Knopfmacher e John Knopfmacher, " Due nuove costruzioni concrete dei numeri reali " , Rocky Mountain J. Math. , vol. 18, n ° 4,1988, pag. 813-824 ( leggi in linea )- Costruzioni della serie di Engel e Sylvester .
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