Rappresentazione X.

In meccanica quantistica e in uno spazio monodimensionale, la rappresentazione X o X -realizzazione è la rappresentazione in cui la posizione di operatore applicato alla autovettore di questa rappresentazione è scritto: X^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}

X^|X⟩=X|X⟩{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}} \ left | x \ right \ rangle = x \ left | x \ right \ rangle}

Poiché l'operatore è hermitiano , possiamo mostrare per un vettore di stato che: X^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}

X^|ψ⟩=X|ψ⟩{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}} \ left | \ psi \ right \ rangle = x \ left | \ psi \ right \ rangle}

In questa rappresentazione, l'operatore dell'impulso lungo il singolo asse è tale che: p^X{\ displaystyle \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}}}

⟨X|p^X|ψ⟩=⟨X|-ioℏ∂∂X|ψ⟩{\ displaystyle \ langle x | \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}} \ left | \ psi \ right \ rangle = \ langle x | -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ sinistra | \ psi \ destra \ rangle}

Cosa viene riscritto in modo semplificato in letteratura:

p^X|ψ⟩=-ioℏ∂∂X|ψ⟩{\ displaystyle \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}} \ left | \ psi \ right \ rangle = -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left | \ psi \ right \ rangle}

Dobbiamo distinguere questa rappresentazione dalla rappresentazione P in cui è semplicemente scritto l'operatore dell'impulso . pX{\ displaystyle p_ {x}}

Cambia [X, P]

L' interruttore di e è definito da: X^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}p^X{\ displaystyle \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}}}

[X^,p^X]=X^p^X-p^XX^{\ displaystyle [{\ hat {\ mathbf {x}}}, \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}}] = {\ hat {\ mathbf {x}}} \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}} - \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}} {\ hat {\ mathbf {x}}}}

Possiamo calcolarne il valore applicandolo a un vettore di stato:

[X^,p^X]|ψ⟩=X^p^X|ψ⟩-p^XX^|ψ⟩{\ displaystyle [{\ hat {\ mathbf {x}}}, \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}}] \ left | \ psi \ right \ rangle = {\ hat {\ mathbf {x }}} \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}} \ left | \ psi \ right \ rangle - \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}} {\ hat {\ mathbf { x}}} \ sinistra | \ psi \ right \ rangle}

Nella realizzazione X, questo è scritto:

[X^,p^X]|ψ⟩=-ioℏX∂∂X|ψ⟩+ioℏ∂∂X(X|ψ⟩){\ displaystyle [{\ hat {\ mathbf {x}}}, \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}}] \ left | \ psi \ right \ rangle = -i \ hbar x {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left | \ psi \ right \ rangle + i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} (x \ left | \ psi \ right \ rangle)}

Il derivato di un prodotto è , questo dà: uv{\ displaystyle uv}(uv)′=u′v+uv′{\ displaystyle (uv) '= u'v + uv'}

[X^,p^X]|ψ⟩=-ioℏ(X∂∂X|ψ⟩-(∂∂XX)|ψ⟩-X∂∂X|ψ⟩){\ displaystyle [{\ hat {\ mathbf {x}}}, \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}}] \ left | \ psi \ right \ rangle = -i \ hbar (x {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left | \ psi \ right \ rangle - ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} x) \ left | \ psi \ right \ rangle -x {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ left | \ psi \ right \ rangle)}

[X^,p^X]|ψ⟩=-ioℏ(-1)|ψ⟩=ioℏ|ψ⟩{\ displaystyle [{\ hat {\ mathbf {x}}}, \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}}] \ left | \ psi \ right \ rangle = -i \ hbar (-1) \ left | \ psi \ right \ rangle = i \ hbar \ left | \ psi \ right \ rangle}

Il valore dell'interruttore di e è quindi: X^{\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}}p^X{\ displaystyle \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}}}

[X^,p^X]=ioℏ{\ displaystyle [{\ hat {\ mathbf {x}}}, \ mathbf {{\ hat {p}} _ {x}}] = i \ hbar}

Questo valore è indipendente dalla base, è correlato al principio di indeterminazione di Heisenberg .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">