Autonombre

In aritmetica, un autonombre o numero colombiano è un numero naturale che, in una data base, non può essere scritto come un numero aggiunto alla somma delle cifre di quel numero.

Esempi 15 non è un autonomo, poiché può essere generato dalla somma di 12 e delle sue cifre: 15 = 12 + 1 + 2. 20 è un autonomo perché non esiste tale somma per 20.

Digitaddition

La nozione di autonombre fu introdotta nel 1949 dal matematico indiano Dattatreya Ramachandra Kaprekar quando si interessò a una trasformazione sui numeri che chiamò aggiunta di cifre : aggiungendo al numero la somma delle sue cifre.

Ad esempio S (21) = 21 + 1 + 2 = 24.

Diciamo che 24 è generato da 21.

Il risultato che ogni numero naturale combina il numero di generatori è successivamente A230093 di OEIS .

La sequenza di interi strettamente positivi che hanno almeno un generatore è la sequenza A176995 ; il numero intero più piccolo che ha più generatori è 101 = 100 + 1 + 0 + 0 = 91 + 9 + 1.

Kaprekar chiama gli interi della sequenza complementare autonombres : quelli che non hanno generatore.

Il fatto di essere un autonomo o meno è legato alla base in cui è scritto il numero. Ad esempio, il numero 11, scritto in base dieci , è un numero generato da 10 mentre scritto in base 5 ( 21 5 ), è un autonomo.

Autonombras in base dieci

La sequenza degli autonombres in base dieci è 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 20 , 31 , ecc. (seguito A003052 del OEIS ). Gli unici minori di 100 sono gli interi dispari minori di 10 e gli interi congruenti a 9 modulo 11 .

La sottosequenza di primi autonombres è 3 , 5 , 7 , 31 , 53 , 97 , 211 , etc. (continuazione A006378 ).

Autonombras in base 2

La seguente relazione di ricorrenza permette di costruire un'infinità di autonombre in base 2 (ma non tutte).

Partendo dal numero 1, aggiungi il numero 1 a sinistra nella scritta del numero quindi aggiungi 1 al numero ottenuto. Successivamente otteniamo 1, 11 + 1 = 110, 1110 + 1 = 1111, 11111 + 1 = 100000.

I primi nove autonombres in base 2 sono 1, 100, 110, 1101, 1111, 10010, 10101, 10111 e 11110.

Nel 1982 Umberto Zannier (de) ha dimostrato che la densità asintotica degli autonombras in base 2 esiste ed è strettamente positiva quindi, con G. Troi, che è uguale a

{\ displaystyle {\ frac {1} {8}} \ left (\ sum _ {n \ in S} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ right) ^ {2} \ circa 0, 25266026}

dove S è l'insieme di numeri che può essere scritto come la somma di termini distinti della forma 2 k + 1 con k intero naturale.

Concludono che questa densità è un numero irrazionale e persino - usando il teorema del sottospazio (in) di Wolfgang Schmidt - trascendente .

Autonombras in qualsiasi base

Continuazione ricorrente

In ogni base b > 2, la sequenza definita dall'induzione di seguito produce un'infinità di autonombre in base b (ma non tutte):

{\ displaystyle C_ {1} = {\ begin {case} b-1 & {\ text {si}} b {\ text {even}} \\ b-2 & {\ text {si}} b {\ text {odd}} \ end {case}} \ quad {\ text {et}} C_ {k} = (b-2) b ^ {k-1} + C_ {k-1} + (b-2). }

Autonombras in base dispari

Nel 1973, Joshi ha dimostrato che n è una base dispari b autonombre se e solo se n è dispari. È facile mostrare che se n è dispari allora n è un autonomo ma il contrario è più delicato.

Autonombras in coppia

Nel 1991 Patel ha dimostrato che in base b anche maggiore o uguale a 4, gli interi 2 b , 4 b + 2 e ( b + 1) 2 sono sempre autonomi.

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Self number " ( vedere la lista degli autori ) .

(en) Eric W. Weisstein , " Self Number " , su MathWorld .
(in) U. Zannier, " Sulla distribuzione dei numeri di sé " , Proc. Amaro. Matematica. Soc. , vol. 85,1982, p. 10-14 ( leggi online ).
(in) G. Troi e U. Zannier, " Densità costante sulla Nota nella distribuzione dei numeri di sé " , Bollettino UMI , vol. 7, n o 9-A,1995, p. 143-148.
(a) G. Troi e U. Zannier, " Densità costante sulla Nota nella distribuzione dei numeri di sé - II " , Bollettino UMI , vol. 8, n o 2-B,1999, p. 397-399 ( leggi in linea ).

Link esterno

(it) " Self - Numbers Density Constant " ( Archive • Wikiwix • Archive.is • Google • Cosa fare? ) , su mathsoft.com