Parità di una funzione

In matematica , la parità di una funzione di una variabile reale , complessa o vettoriale è una proprietà che prima richiede la simmetria del dominio di definizione rispetto all'origine , poi è espressa dall'una o dall'altra delle seguenti relazioni:

funzione pari : per ogni x del dominio di definizione, $f (- x ) = f ( x )$ ;
funzione dispari : per ogni x del dominio di definizione, $f (- x ) = - f ( x )$ .

In analisi reale , anche funzioni sono funzioni quali la curva rappresentativa è simmetrica rispetto all'asse y, ad esempio funzioni costanti , la funzione quadrato e più in generale le funzioni di potenza con anche esponenti , il coseno e coseno iperbolici funzioni. ... dispari le funzioni sono quelle la cui curva rappresentativa è simmetrica rispetto all'origine, come identità , cubo e più in generale funzioni di potenza con funzioni esponente dispari , inversa , seno , tangente , seno iperbolico e tangente iperbolica e loro reciproci .

Le uniche funzioni che possono essere sia pari che dispari sono le funzioni zero su un dominio simmetrico.

Una funzione non specificata è in generale né pari né dispari, anche se il suo dominio di definizione è simmetrico rispetto all'origine. Qualsiasi funzione definita su un tale dominio viene invece scritta in modo univoco come la somma di una funzione pari e di una funzione dispari.

La dimostrazione della parità di una funzione di una variabile reale (sia essa pari o dispari) consente in particolare di limitarne lo studio a reali positivi.

uso

La parità delle funzioni viene utilizzata, ad esempio, per studiare le funzioni solo oltre la metà del loro intervallo di definizione, l'altra metà viene dedotta dalla simmetria. Si noti che una funzione dispari, definita a 0, è zero a questo punto (anzi, poiché è dispari, per tutto , e quindi ; quindi . $f$ $f (-x) = - f (x)$ $X$ $f (0) = - f (0)$ $f (0) = 0$

Possiamo anche semplificare il calcolo dell'integrale nel caso di una funzione pari o dispari, poiché per pari è uguale a , che può essere visto con la rappresentazione grafica dell'area sotto la curva, e rispettivamente per dispari è uguale a . In effetti, l'area positiva di to sarà tanto ampia quanto l' area negativa di to . $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x$ $f$ ${\ Displaystyle 2 \ times \ int _ {0} ^ {n} f (x) dx \,}$ $\ int _ {{- n}} ^ {n} f (x) \, {\ mathrm d} x,$ $f$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ $non$ $-non$ ${\ displaystyle 0}$

Questa definizione di parità e imparità può essere resa esplicita anche con la nozione di simmetrizzazione di una funzione: la funzione simmetrizzata di una funzione s è la funzione š che si associa a un dato e, ad esempio, s è pari se è uguale al suo simmetrizzato. ${\ displaystyle s (-x)}$ $X$

Parte pari e dispari di una funzione

Se è un sottoinsieme di simmetrico rispetto a 0 (cioè se appartiene a allora appartiene a ), qualsiasi funzione può decomporsi in modo univoco come la somma di una funzione pari e una funzione dispari: $E$ $\ mathbb {R}$ $X$ $E$ $-X$ $E$ $f: E \ to \ mathbb {R}$

{\ displaystyle f (x) = f _ {\ text {p}} (x) + f _ {\ text {i}} (x)}

, dove si trova la funzione pari

{\ displaystyle f _ {\ text {p}} (x) = {\ frac {f (x) + f (-x)} {2}}}

e la funzione dispari è

{\ displaystyle f _ {\ text {i}} (x) = {\ frac {f (x) -f (-x)} {2}}}

Infatti, il sottospazio vettoriale delle funzioni pari e quello delle funzioni dispari sono addizionali nello spazio delle funzioni di in . $E$ $\ mathbb {R}$

Pertanto, possiamo parlare della parte pari e della sua parte dispari. Ad esempio, la funzione esponenziale è come somma di funzioni coseno iperbolico , e seno iperbolico , . $f$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} + \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {\ mathrm {e} ^ {x} - \ mathrm {e} ^ {- x}} {2}}}$

Rappresentazione grafica

Sia una funzione definita su e il suo grafico, in un sistema di coordinate di asse . $f$ $E$ $(C_ {f})$ $(Bue), (Oy)$

$f$ è una funzione pari se e solo se è simmetrica rispetto all'asse , parallela all'asse . $(C_ {f})$ $(Oy)$ $(Bue)$
$f$ è una funzione dispari se e solo se è simmetrica rispetto all'origine . $(C_ {f})$ $O$

La funzione è pari. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {4}}$
La funzione è strana. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {3} -3x}$

Ma una funzione la cui curva rappresentativa ha un asse o un centro di simmetria non è necessariamente pari o dispari: è necessario che il centro sia o l'asse sia . $O$ $(Oy)$

Alcune proprietà

Ogni funzione costante è pari.
Qualsiasi funzione uniforme e monotona rispetto al suo insieme di definizioni è costante.
L'unica funzione che è sia pari che dispari è la funzione nulla (funzione costante uguale a zero).
In generale, la somma di una funzione pari e di una funzione dispari non è né pari né dispari; es: 1 + x .
La somma o la differenza di due funzioni pari è pari.
La somma o la differenza di due funzioni dispari è dispari.
La parità segue, per il prodotto o il quoziente , la regola dei segni : qualsiasi prodotto o quoziente di due funzioni pari è una funzione pari, qualsiasi prodotto o quoziente di due funzioni dispari è anche una funzione pari, qualsiasi prodotto o quoziente di una funzione pari per funzione dispari è una funzione dispari.
La derivata di una funzione pari è una funzione dispari; la derivata di una funzione dispari è una funzione pari.
Una primitiva di una funzione dispari su E non è necessariamente pari, a meno che E non sia un intervallo.
Una primitiva di una funzione pari su E non è necessariamente dispari, tranne se E è un intervallo e se inoltre la primitiva considerata è quella che svanisce a 0.
Il composto di due funzioni dispari è dispari; il composto g ∘ f di una funzione pari g con una funzione dispari f è una funzione pari.
Il composto g ∘ f di qualsiasi funzione g con una funzione pari f è una funzione pari.

Vedi anche

Note e riferimenti

Che è probabilmente uno dei motivi di questa scelta del vocabolario.
La prova con l'analisi-sintesi è classico ed è solo un caso particolare di diagonalizzazione di simmetria : si veda ad esempio X. Oudot e Mr. Allano Chevalier Matematica HPIC - PTSI 1 ° anno: Tutto in un , Hatchet ,2008( leggi in linea ) , cap. 11 ("Spazi vettoriali"), p. 203e questo esercizio è stato corretto su Wikiversità .