Vettore di Poynting

unità SI	watt per metro quadrato ( W m -2 )
Dimensione	M · V  -3
Natura	Dimensione vettoriale intensivo
Simbolo abituale	S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}, , OrΠ→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}NON→{\ displaystyle {\ vec {N}}}
Link ad altre dimensioni	Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}} = 1μ0{\ displaystyle {\ frac {1} {\ mu _ {0}}}} E→{\ displaystyle {\ vec {E}}} ∧{\ displaystyle \ cuneo}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}} Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}} ⋅ dS→{\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {d} S}}} =d{\ displaystyle = \ mathrm {d}}Φe{\ displaystyle \ Phi _ {\ mathrm {e}}}

In fisica , il Poynting vettore è il flusso densità relativa alla propagazione della dell'onda elettromagnetica . La sua direzione è la direzione di propagazione. Notare , , o . Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}S→{\ displaystyle {\ vec {S}}}R→{\ displaystyle {\ vec {R}}}NON→{\ displaystyle {\ vec {N}}}

Il flusso del vettore di Poynting attraverso una superficie (chiusa o meno) è uguale alla potenza trasportata dall'onda attraverso questa superficie. Il modulo di questo vettore è quindi una potenza per unità di area , cioè un flusso di densità di energia  ; è omogenea con un illuminamento energetico e un exitance energico  ; e, nel Sistema Internazionale (SI) di unità , è espresso in watt per metro quadrato .

Espressione generale del vettore di Poynting

Sia e sia il campo elettrico e il campo magnetico . La conservazione dell'energia elettromagnetica attraverso una superficie è espressa, nella sua forma locale (spesso chiamata teorema di Poynting ), come equazione di conservazione  : E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}

∂e(t)∂t+∇→⋅Π→(t)=S(t){\ displaystyle {\ frac {\ parziale e (t)} {\ parziale t}} + {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {\ Pi}} (t) = s (t)}

con il tempo, la densità di volume di energia del campo elettromagnetico, il flusso in uscita dall'energia superficiale e il termine sorgente: la densità di volume di energia guadagnata o persa. t{\ stile di visualizzazione t}e{\ stile di visualizzazione e}Π→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}}}S{\ stile di visualizzazione}S>0{\ displaystyle s> 0}

Dalle equazioni di Maxwell nel vuoto, deriviamo l'espressione per il vettore di Poynting nel vuoto:

Π→(t)=E→(t)∧B→(t)μ0{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ frac {{\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {B}} (t)} {\ mu _ {0}} }}

dove μ 0 è la permeabilità del vuoto .

In un materiale lineare , di permeabilità magnetica μ ed in cui si possono trascurare le dispersioni e le perdite, è opportuno tener conto dell'eccitazione magnetica definita dalla relazione . Otteniamo quindi un'espressione più generale del vettore di Poynting: H→(t){\ displaystyle {\ vec {H}} (t)}B→(t)=μH→(t){\ displaystyle {\ vec {B}} (t) = \ mu \, {\ vec {H}} (t)}

Π→(t)=E→(t)∧H→(t){\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} (t) = {\ vec {E}} (t) \ wedge {\ vec {H}} (t)}

In un mezzo lineare dispersivo con perdita, l'espressione del vettore di Poynting viene mantenuta , ma il teorema di Poynting non è più espresso con e include termini di dissipazione aggiuntivi. Π→=E→∧H→{\ displaystyle {\ vec {\ Pi}} = {\ vec {E}} \ wedge {\ vec {H}}}e{\ stile di visualizzazione e}

Tempo medio in notazione complessa

Nel caso di un'onda elettromagnetica piana progressiva armonica si ha

E→=E→0cos⁡(ωt-φ){\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ vec {E}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ varphi)}}

e

B→=B→0cos⁡(ωt-ψ){\ displaystyle {\ vec {B}} = {\ vec {B}} _ {0} \ cos {(\ omega t- \ psi)}}

Si possono così associare quantità complesse ai campi e ponendo ( al numero complesso come ): E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}B→{\ displaystyle {\ vec {B}}}io{\ stile di visualizzazione i}io2=-1{\ stile di visualizzazione i ^ {2} = - 1}

E→_=E→_0eioωt=E→0e-ioφeioωt{\ displaystyle {\ sottolinea {\ vec {E}}} = {\ sottolinea {\ vec {E}}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {E }} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ varphi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}

e

B→_=B→_0eioωt=B→0e-ioψeioωt{\ displaystyle {\ sottolinea {\ vec {B}}} = {\ sottolinea {\ vec {B}}} _ {0} \ mathrm {e} ^ {i \ omega t} = {\ vec {B}} _ {0} \, \ mathrm {e} ^ {- i \ psi} \, \ mathrm {e} ^ {i \ omega t}}

La media temporale del vettore di Poynting vale quindi:

⟨Π→⟩=12μ0Ri(E→_∧B→_⋆){\ displaystyle \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle = {\ frac {1} {2 \, \ mu _ {0}}} \; {\ text {Re}} \ left ({\ sottolineato { \ vec {E}}} \ wedge {\ sottolinea {\ vec {B}}} ^ {\ stella} \ destra)}

dove denota il coniugato diB→_⋆{\ displaystyle {\ sottolinea {\ vec {B}}} ^ {\ stella}}B→_{\ displaystyle {\ sottolinea {\ vec {B}}}}

Collegamento con l'approccio energetico della propagazione del fascio

La media temporale del flusso di Poynting è correlata alla luminanza di un fascio che si propaga nella direzione . Questa luminanza è data da: L(Ω){\ stile di visualizzazione L (\ Omega)}Ω0=Π→||Π→||{\ displaystyle \ Omega _ {0} = {\ frac {\ vec {\ Pi}} {|| {\ vec {\ Pi}} ||}}}

L(Ω)=⟨Π→⟩δ(Ω-Ω0){\ displaystyle L (\ Omega) = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle \ delta (\ Omega - \ Omega _ {0})}

dove è la funzione di Dirac . δ{\ displaystyle \ delta}

Verifichiamo che il primo momento di cui rappresenta la densità di flusso trova il flusso di Poynting: L(Ω){\ stile di visualizzazione L (\ Omega)}f→{\ displaystyle {\ vec {f}}}

f→=∫S2ΩL(Ω)dΩ=⟨Π→⟩{\ displaystyle {\ vec {f}} = \ int _ {S ^ {2}} \ Omega L (\ Omega) \ mathrm {d} \ Omega = \ langle {\ vec {\ Pi}} \ rangle}

Potenza elettromagnetica che passa attraverso una superficie

Una conseguenza del teorema di Poynting è che la potenza elettromagnetica che passa attraverso una superficie S è data dal flusso del vettore di Poynting attraverso questa superficie.

PS=∬SΠ→⋅dS→{\ displaystyle {\ mathcal {P}} _ {S} = \ iint _ {S} {\ vec {\ Pi}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {S}}}

Equazione dell'energia di un campo elettromagnetico

Sia l'energia del campo elettromagnetico: tuem{\ displaystyle U_ {em}}

tuem=∭VWemdτ{\ displaystyle U_ {em} = \ iiint _ {V} W_ {em} \ mathrm {d} \ tau}con densità di volume di energia W (quantità di energia per unità di volume)

Definiamo la quantità di energia che lascia un volume per un tempo  : V{\ stile di visualizzazione V}dt{\ displaystyle \ mathrm {d} t}

-dtuemdt=-ddt∭VWemdτ=-∭V∂Wem∂tdτ{\ displaystyle - {\ frac {\ mathrm {d} U_ {em}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ iiint _ {V} W_ {em} \ mathrm {d} \ tau = - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} \ mathrm {d} \ tau}

Sia , il vettore di flusso di energia del campo. Secondo il teorema di Green-Ostrogradsky ( teorema flusso-divergenza ), possiamo dire che il flusso in uscita dal volume V è: P→{\ displaystyle {\ vec {P}}}

∬ΣP→⋅non→ dσ{\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma} {\ vec {P}} \ cdot {\ vec {n}} \ \ mathrm {d} \ sigma}con versore normale alla superficie del volume V, orientato dall'interno verso l'esterno. non→{\ displaystyle {\ vec {n}}}Σ{\ displaystyle \ Sigma}

La perdita di energia del volume può essere spiegata come segue:

• perdite per "attrito" di carichi mobili (vedi legge locale di Ohm, effetto Joule);
• perdite dovute alla radiazione elettromagnetica in uscita dal volume.

Possiamo quindi dire che:

-∭V∂Wem∂tdτ=∭V∇→⋅P→dτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} \ mathrm {d} \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ mathrm {d} \ tau}+ lavoro fornito dal campo al materiale

Calcoliamo questo lavoro:

F→e´levstrioqtue=q(E→+v→∧B→){\ displaystyle {\ vec {F}} _ {\ rm {{\ acute {e}} elettrico}} = q ({\ vec {E}} + {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {B }})}.

Per una particella:

dW→=F→⋅dr→=qE→⋅dr→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {W}} = {\ vec {F}} \ cdot \ mathrm {d} {\ vec {r}} = q {\ vec {E}} \ cdot \ mathrm {d} {\vec {r}}} (si osserva facilmente che la forza magnetica non funziona).

Passiamo alla potenza fornita dal campo. La potenza ricevuta da una particella è:

F→⋅v→=qE→⋅v→{\ displaystyle {\ vec {F}} \ cdot {\ vec {v}} = q \, {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}}

Si nota la densità delle particelle , quindi: NON{\ stile di visualizzazione N}

∂WElevstrioqtue∂t=NONqE→⋅v→{\ displaystyle {\ frac {\ partial W_ {Electric}} {\ partial t}} = Nq {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {v}}} oro NONqv→=j→{\ displaystyle Nq {\ vec {v}} = {\ vec {j}}}

pertanto ∂WElevstrioqtue∂t=j→⋅E→{\ displaystyle {\ frac {\ partial W_ {Electric}} {\ partial t}} = {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}}}

Questa perdita di potenza è uguale alla perdita di energia del campo per unità di tempo e volume, quindi alla fine scriviamo:

-∭V∂Wem∂tdτ=∭V∇→⋅P→dτ+∭Vj→⋅E→dτ{\ displaystyle - \ iiint _ {V} {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} d \ tau = \ iiint _ {V} {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} \ mathrm {d} \ tau + \ iiint _ {V} {\ vec {j}} \ cdot {\ vec {E}} \ mathrm {d} \ tau}

Quindi finalmente abbiamo:

-∂Wem∂t=∇→⋅P→+j→⋅E→{\ displaystyle - {\ frac {\ partial W_ {em}} {\ partial t}} = {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {P}} + {\ vec {j}} \ cdot { \vec {E}}} equazione dell'energia del campo elettromagnetico

Note e riferimenti

1. Dubesset 2000 , sv watt per metro quadrato, p.  124.
2. Dubesset 2000 , sv irraggiamento, p.  60.
3. Dubesset 2000 , sv energy exitance, p.  64.
4. Dubesset 2000 , vettore sv di Poynting, p.  121.
5. (in) John David Jackson, Elettrodinamica classica 3a edizione , John Wiley & Sons ,1999, pagina 259
6. Elettrodinamica classica 3a edizione, JD Jackson, pagina 264 (pagine 275-277 nell'edizione francese)

Vedi anche

Bibliografia

• [Poynting 1884] (it) John Henry Poynting , “  Sul trasferimento di energia nel campo elettromagnetico  ” , Philos. Trans. R. Soc. , vol.  175,dic. 1884, artt.  n °  XV , p.  343-361 ( OCLC  6067266495 , DOI  10.1098 / rstl.1884.0016 , JSTOR  109449 , Bibcode  1884RSPT..175..343P , riassunto , leggi online [PDF] ) - artt.  ricevuto il17 dicembre 1883 e leggilo Gen 10, 1884.
• [Dubesset 2000] Michel Dubesset ( pref.  Di Gérard Grau), Il manuale del Sistema Internazionale di Unità: lessico e conversioni , Parigi, Technip, coll.  "Pubblicazioni dell'Istituto petrolifero francese  ",settembre 2000, 1 °  ed. , 1  vol. , XX -169  pag. , malato. , fig. e tab. , 15 × 22  cm , br. ( ISBN  2-7108-0762-9 , EAN  9782710807629 , OCLC  300462332 , avviso BnF n o  FRBNF37624276 , SUDOC  052448177 , presentazione online , lettura online ) , sv vector de Poynting, p.  121.

Articoli Correlati

• Teorema di Poyntingyn

link esterno

• [OI] (in) "  Vettore di Poynting  " [ "Vettore di Poynting"] record di autorità n o  20110803100341357 dell'Oxford Index (OI) nel database Oxford Reference della Oxford University Press (OUP) .
• Registri di autorità  :
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