Teorema di Wedderburn

In matematica e più precisamente in algebra , teorema di Wedderburn afferma che qualsiasi campo che è finita è necessariamente commutativa . Joseph Wedderburn lo pubblicò nel 1905.

Enunciato del teorema

Teorema di Wedderburn. - Qualsiasi campo finito è commutativo.

Nota sulla terminologia: varie fonti, in particolare sotto l'influenza dell'inglese dove la parola field designa un campo commutativo , ipotizzano la commutatività della moltiplicazione nella definizione di un campo e in particolare per i campi finiti. Il teorema sarebbe quindi una banale tautologia se si interpretasse così l'espressione "campo finito" che vi appare. La dichiarazione di cui sopra dovrebbe essere letta con l'altra interpretazione in cui la commutatività della moltiplicazione nella definizione di "campo" non è richiesta. Altrimenti, dove è richiesto, possiamo affermare il teorema come segue: qualsiasi campo sinistro finito (chiamato anche anello di divisione) è commutativo. Fare riferimento all'articolo Corpo (matematica) per maggiori dettagli sulla terminologia.

Conseguenza e generalizzazione

Qualsiasi anello finito senza divisore di zero è un campo (a priori non commutativo), poiché la moltiplicazione per un elemento diverso da zero, che è iniettiva per integrità, è quindi anche suriettiva nel caso finito. Il teorema di Wedderburn che afferma l'inesistenza di un campo finito non commutativo, concludiamo che un anello finito senza divisore di zero può anche essere solo un campo commutativo.

Il teorema di Wedderburn è generalizzato dal teorema di Artin-Zorn (en) per gli anelli alternativi (en) .

Storia

Leonard Eugene Dickson , professore all'Università di Chicago , pubblicò nel 1901 la prima presentazione moderna della teoria dei campi commutativi finiti (teoria iniziata da Évariste Galois nel 1830). Oswald Veblen in quel periodo stava lavorando su geometrie su strutture finite presso la stessa università. Joseph Wedderburn si unì a loro nel 1904-1905 e lavorò a stretto contatto con loro.

Nel 1905 , Wedderburn e Dickson pubblicarono ciascuno un articolo in cui si dimostrava che ogni campo finito è commutativo. Dicskon attribuisce il risultato a Wedderburn. Infatti, Wedderburn ha comunicato una prova del risultato a Dickson, e quest'ultimo, pur dubitando della sua veridicità, finisce per scoprire una prova diversa che a sua volta comunica a Wedderburn. Quest'ultima si ispira ad altre due manifestazioni che pubblica, unite alla prima, nel suo articolo. Fu solo più tardi che la prima dimostrazione di Wedderburn apparve incompleta.

Da allora sono state proposte molte altre dimostrazioni di questo teorema, utilizzando strumenti matematici abbastanza diversi. La prima prova della stessa Wedderburn è stata corretta in diversi modi.

Dimostrazione

La dimostrazione qui proposta è dovuta a Ernst Witt nel 1931. Può essere suddivisa in quattro fasi.

K è uno spazio vettoriale al centro

K è un campo finito. Sia Z il suo centro (è un sottocampo commutativo di K ) e q = | Z | la cardinalità di Z (che vale almeno 2 perché Z contiene 0 e 1).
K è uno Z - spazio vettoriale dimensionale finito d = dim Z ( K ). Il cardinale di K è quindi | K | = q d . Per provare che K è commutativo, cioè K = Z , si tratta di provare che d = 1.
Per ogni campo intermedio Z ⊂ K ' ⊂ K , la dimensione d' di K ' su Z divide d , poiché è facilmente verificabile prendendo basi che d = d''d' , dove d '' denota la dimensione di K considerata come spazio vettoriale (a sinistra) sul campo (non commutativo a priori) K ' . (Si potrebbe anche usare semplicemente il Teorema di Lagrange affermando che l'ordine di ogni elemento di un gruppo divide l'ordine del gruppo)

Sia x un elemento di K e Z x l'insieme di elementi di K che si spostano con x . Z x è un sottocampo di K contenente Z . Dal punto precedente, d x = dim Z ( Z x ) divide d .

Formula di classi per l'azione di K × su se stesso per coniugazione.

Nota K × il gruppo moltiplicativo di K , costituito da elementi invertibili di K . K × agisce su se stesso per coniugazione di for . ${\ displaystyle gx = gxg ^ {- 1} \;}$ ${\ displaystyle g, x \ in K ^ {\ times} \ times K ^ {\ times} \;}$

La cardinalità dell'orbita di un elemento di K × è questa, si ricorda . La coniugazione è banale su Z; gli elementi di Z × hanno una classe ridotta a un elemento. ${\ displaystyle \ omega _ {x} \;}$ ${\ displaystyle x \;}$ ${\ displaystyle | \ omega _ {x} | = | K ^ {\ times} | / | Z_ {x} ^ {\ times} | \;}$ ${\ displaystyle Z_ {x} ^ {\ times} \ = \ {g \ in K ^ {\ times} | gx = x \} \;}$
Se ( x i ) è una sequenza di rappresentanti delle k orbite non puntuali, la formula della classe è scritta:

{\ displaystyle | K ^ {\ times} | = | Z ^ {\ times} | + \ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {| K ^ {\ times} |} {| Z_ { x_ {i}} ^ {\ times} |}}.}

cioè notando che è l'insieme di elementi invertibili e commutanti con per "moltiplicazione" di , il che implica che sia un sottocampo contenente Z (e quindi ): ${\ displaystyle Z_ {x_ {i}} ^ {\ times}}$ $x_ {i}$ $K$ ${\ displaystyle Z_ {x_ {i}} = Z_ {x_ {i}} ^ {\ times} \ cup \ {0_ {K} \}}$ $K$ ${\ displaystyle \ esiste d_ {x_ {i}} \ in \ mathbb {N} [| Z_ {x_ {i}} ^ {\ times} | = q ^ {d_ {x_ {i}}} - 1]}$

{\ displaystyle q ^ {d} -1 = q-1 + \ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {q ^ {d} -1} {q ^ {d_ {x_ {i}} } -1}} \;}

Notando

{\ displaystyle F (X) = X ^ {d} -1- \ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {X ^ {d} -1} {X ^ {d_ {x_ {i} }} - 1}},}

abbiamo appena visto che F ( q ) = q - 1.

Φ d ( X ) divide F ( X ) in Z [ X ]

La teoria dei soliti polinomi ciclotomici (che hanno coefficienti interi) dimostra la seguente uguaglianza, se Φ e ( X ) denota il polinomio ciclotomico di indice e :

{\ displaystyle X ^ {d} -1 = \ prod _ {e | d} \ Phi _ {e} (X).}

In particolare Φ d ( X ) divide X d - 1, e per ogni divisore stretto d ' di d , Φ d ( X ) divide anche ( X d - 1) / ( X d' - 1) poiché

{\ displaystyle X ^ {d} -1 = \ Phi _ {d} (X) C (X) (X ^ {d '} - 1)}

per un certo polinomio C ( X ) a coefficienti interi: il prodotto di Φ e ( X ) per tutti gli e che dividono strettamente d ma che non dividono d ' .

Pertanto, Φ d ( X ) divide F ( X ) in ℤ [ X ]. Infatti, per tutto ciò la cui orbita non è un punto, è un divisore stretto di d per cui vale il ragionamento precedente e segue la conclusione, data la definizione di F ( X ). $x_ {i}$ ${\ displaystyle d_ {x_ {i}}}$ ${\ displaystyle d '= d_ {x_ {i}}}$

Geometria delle radici primitive di -th

Abbiamo ottenuto 0 < q - 1 = F ( q ) = Φ d ( q ) Q ( q ), dove Q ( q ) è un numero intero, necessariamente non zero, quindi | Q ( q ) | è almeno 1, quindi $| \ Phi _ {d} (q) | \ leq q-1.$
Per ogni intero n ≥ 1 ,, dove u i descrive l'insieme delle n - esime radici primitive di unità. Come mostrato nella figura a lato, se u è l' ennesima radice primitiva di unità con n > 1, abbiamo | q - u | > q - 1, quindi ${\ displaystyle \ Phi _ {n} (q) = \ prod (q-u_ {i})}$ $\ forall n> 1, \ quad | \ Phi _ {n} (q) |> q-1.$
Le due precedenti disuguaglianze portano a d = 1; quindi K è commutativo. Il teorema è dimostrato.

Interpretazione coomologica

Il teorema è essenzialmente equivalente al fatto che il gruppo di Brauer di qualsiasi campo finito K è banale . Questa riformulazione consente la seguente dimostrazione, più veloce: poiché il quoziente di Herbrand (en) è zero per finitudine, Br ( K ) = H 2 ( K alg / K ) coincide con H 1 ( K alg / K ), che è esso stesso - pari zero secondo il teorema di Hilbert 90 .

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Il piccolo teorema di Wedderburn " ( vedere l'elenco degli autori ) .

Appunti

(in) Leonard Eugene Dickson , Linear Groups: With an Exposition of the Galois Field Theory (1901), repr. Dover 2003 ( ISBN 9780486495484 ) , Cosimo 2007 ( ISBN 9781602062870 ) .
(a) Rudolf Lidl e Harald Niederreiter , Finite Fields , Cambridge University Press ,1997, 2 ° ed. , 755 p. ( ISBN 978-0-521-39231-0 , leggi online ) , p. 73.
(in) KH Parshall , " Alla ricerca del teorema dell'algebra a divisione finita e oltre: Joseph HM Wedderburn, Leonard Ed Dickson e Oswald Veblen " , Arch. Collegio. Hist. Sci. , vol. 33,1983, p. 274-299.
(en) M. Adam e BJ Mutschler, il teorema di Wedderburn Su circa finito algebra divisione : analisi degli errori della prima dimostrazione di Wedderburn.
Gabriel Chenevert, The Wedderburn teorema : comparativa panoramica storica di varie prove, tra cui quello di Theodore Kaczynski , che ha “solo” utilizza la teoria dei gruppi finiti .
(de) Ernst Witt , "Über die Kommutatitivät endlicher Schiefkörper", Abh. Matematica. Settimana Univ. Amburgo , vol. 8, 1931, p. 413.
Martin Aigner e Günter M. Ziegler , Proofs , 2 th ed., Springer, 2006, c. 5 ("Ogni campo finito è commutativo"), p. 27-31.

Riferimenti

Pierre Samuel , Teoria algebrica dei numeri [ dettaglio dell'edizione ]
Jean-Pierre Serre , Corso di aritmetica ,1970[ dettaglio delle edizioni ]
Guy Heuzé, sui corpi finiti , matematica e scienze umane, 1974
André Warusfel , Strutture algebriche finite , Hachette University, 1971