Spettro di un operatore lineare

In matematica , più precisamente nell'analisi funzionale , lo spettro di un operatore lineare su uno spazio vettoriale topologico è l'insieme dei suoi valori spettrali . In dimensione finita , questo insieme è ridotto all'insieme degli autovalori di questo endomorfismo , o della sua matrice in una base .

In teoria operatori (in) e meccanica quantistica , il concetto di spettro si estende agli operatori illimitati chiusi.

Spettro di un elemento di un'algebra di Banach

Sia un unificato algebra di Banach sul campo dei numeri complessi . Lo spettro di un elemento di , indicato , è l'insieme di numeri complessi per i quali l'elemento non ammette un inverso in . ${\ mathcal {A}}$ $X$ ${\ mathcal {A}}$ $\ sigma (x)$ $\ lambda$ $r (\ lambda, x): = \ lambda 1 _ {{{\ mathcal A}}} - x$ ${\ mathcal {A}}$

Esempi

Se è un idempotente (cioè ) diverso da 0 e 1, allora $X$ $x ^ {2} = x$ $\ sigma (x) = \ {0,1 \}.$
Se è una funzione intera allora : questo è il teorema della mappatura spettrale . La dimostrazione è elementare in due casi particolari: f{\ displaystyle f} $f$ σ(f(X))=f(σ(X)){\ Displaystyle \ sigma (f (x)) = f (\ sigma (x))} $\ sigma (f (x)) = f (\ sigma (x))$
- Nel caso in cui sia l' algebra , è sufficiente
trigonalizzare la matrice .A{\ displaystyle {\ mathcal {A}}} ${\ mathcal A}$ Mnon(VS){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C})} ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C})}$ X{\ displaystyle x} $X$
Nel caso in cui sia un polinomio , è sufficiente, per un complesso fisso, applicare al polinomio in forma fattorizzata per vedere che è quindi equivalente a $f$ $\ mu$ $X$ $f- \ mu$ $\ mu \ in \ sigma (f (x))$ $f ^ {{- 1}} (\ {\ mu \}) \ cap \ sigma (x) \ neq \ varnothing$ $\ mu \ in f (\ sigma (x)).$

Spettro di un operatore lineare limitato

Definiamo lo spettro di un operatore limitato su un Banach complesso X come suo spettro quando si considera questo operatore come elemento di algebra Banach di operatori limitati su X . Più esplicitamente, se indichiamo con l' identità di mappatura di , che è l'elemento unitario di , allora lo spettro dell'operatore lineare limitato è l'insieme di numeri complessi per i quali l'operatore non ammette un operatore inverso dalla testa spessa. ${\ mathcal {B}} (X)$ $io$ $X$ ${\ mathcal {B}} (X)$ $T: X \ a X$ $\ sigma (T)$ $\ lambda$ $R (\ lambda) = \ lambda IT$

Proprietà

Applicando il teorema di Liouville (versione vettoriale) al suo risolvente , mostriamo che qualsiasi operatore limitato su uno spazio di Banach complesso ha uno spettro non vuoto (mentre può non avere autovalori in quanto, nello spazio di Hilbert $L 2$ (ℝ) , l' operatore unitario U definito da Uf ( t ) = e i t f ( t ) o dall'operatore hermitiano H definito da Hf ( t ) = f ( t ) / (1 + | t |) o ancora, su $L 2 ([0, 1 ])$ , l' operatore compatto di Volterra ). È quindi attraverso questa nozione di spettro che generalizziamo il fatto che qualsiasi endomorfismo di uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita (o qualsiasi matrice quadrata con coefficienti complessi) ammette autovalori.

Riferimento

(a) Yuri A. Abramovich e Charalambos D. Aliprantis , An Invitation to Operator Theory , AMS , al. " GSM " ( n . 50)2002( leggi in linea ) , p. 269.

Vedi anche

Bibliografia

Haïm Brezis , Analisi funzionale: teoria e applicazioni [ dettaglio delle edizioni ]