La regola di D'Alembert

La regola di d'Alembert (o criterio d'Alembert ), prende il nome dal matematico francese Jean le Rond d'Alembert . È un test di convergenza per una serie con termini positivi.

In alcuni casi, permette di stabilire la convergenza assoluta di una serie con termini complessi o vettoriali, o al contrario la sua divergenza.

stati

Let $( u n ) essere$ una sequenza di numeri reali strettamente positivi. Notiamo ed i limiti inferiore e superiore dei quozienti successive: $\ Ell$ $L$

{\ displaystyle 0 \ leq \ ell: = \ liminf {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ leq L: = \ limsup {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ leq + \ infty}

Se , allora il termine generale serie $u$ $n$ converge . ${\ displaystyle L <1}$
Se , allora la sequenza non tende a 0 (quindi la serie diverge approssimativamente ). ${\ displaystyle \ ell> 1}$

Sì , non si può concludere nulla: questo è il caso incerto del governo d'Alembert. ${\ displaystyle \ ell \ leq 1 \ leq L}$

Osservazioni

Il governo di D'Alembert può essere dimostrato direttamente, ma si può anche dedurre dal governo di Cauchy , grazie al lemma di Cesàro .
Nel caso incerto , possiamo provare la regola di Cauchy , che è più precisa. ${\ displaystyle \ ell \ leq 1 \ leq L}$
Quando la sequenza ammette un limite , l'istruzione è semplificata perché . Nel caso incerto , possiamo provare la regola Raabe-Duhamel . ${\ displaystyle \ left ({\ tfrac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ right)}$ $\ lambda$ ${\ displaystyle \ ell = \ lambda = L}$ $\ lambda = 1$
La regola di D'Alembert può essere utilizzata per studiare la convergenza di una serie di termini in uno spazio vettoriale normato E , analizzando la serie $\sum u n$ di norme. Se $L <1$ e se E è completo (ad esempio se E = ℝ o ℂ), la serie vettoriale è assolutamente convergente, mentre se $ℓ > 1$ è grossolanamente divergente.

Nota

Per una dimostrazione, vedi ad esempio "La regola di D'Alembert" nella lezione sulle serie numeriche su Wikiversità .