Regola di Raabe-Duhamel
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matematica .
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In matematica , la regola di Raabe-Duhamel è un teorema che permette di stabilire la convergenza o la divergenza di alcune serie con termini reali strettamente positivi, nel caso in cui sia impossibile una conclusione diretta con la regola di d'Alembert . Prende il nome dai matematici Joseph Raabe e Jean-Marie Duhamel .
stati
Regola di Raabe-Duhamel - Sia una sequenza di reali strettamente positivi.
(tunon){\ displaystyle \ sinistra (u_ {n} \ destra)}![{\ displaystyle \ sinistra (u_ {n} \ destra)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915164484ea566964216d82b1208619673f42595)
- Se (da un certo grado) , allora diverge.tunon+1tunon≥1-1non{\ displaystyle {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ geq 1 - {\ frac {1} {n}}}
Σtunon{\ displaystyle \ sum u_ {n}}![\ somma u_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a281c61029226f478174e5c54032404fa199ab8)
- Se esiste tale che (da un certo rango) , allora converge.B>1{\ stile di visualizzazione b> 1}
tunon+1tunon≤1-Bnon{\ displaystyle {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} \ leq 1 - {\ frac {b} {n}}}
Σtunon{\ displaystyle \ sum u_ {n}}![\ somma u_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a281c61029226f478174e5c54032404fa199ab8)
Questa regola è un immediato corollario della regola di Kummer (sezione sotto).
Nel caso particolare in cui la successione ammette un limite reale α , che equivale a
(non(tunontunon+1-1))non{\ displaystyle \ sinistra (n \ sinistra ({\ frac {u_ {n}} {u_ {n + 1}}} - 1 \ destra) \ destra) _ {n}}![{\ displaystyle \ sinistra (n \ sinistra ({\ frac {u_ {n}} {u_ {n + 1}}} - 1 \ destra) \ destra) _ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26936e0545a457a7fdcb7d76ece17bd28532a42c)
tunon+1tunon=1-αnon+o(1non){\ displaystyle {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} = 1 - {\ frac {\ alpha} {n}} + o \ left ({\ frac {1} {n}} \ Giusto)}![{\ displaystyle {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} = 1 - {\ frac {\ alpha} {n}} + o \ left ({\ frac {1} {n}} \ Giusto)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc705c11d73522ae0c26e17190d8708fe3e1bd8f)
,
la regola Raabe-Duhamel garantisce che:
- se α <1 , diverge;Σtunon{\ displaystyle \ sum u_ {n}}
![\ somma u_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a281c61029226f478174e5c54032404fa199ab8)
- se α> 1 , converge.Σtunon{\ displaystyle \ sum u_ {n}}
![\ somma u_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a281c61029226f478174e5c54032404fa199ab8)
Se α = 1 , l'esempio della serie di Bertrand mostra che non possiamo concludere.
Esempio
essere . Il termine generale serie
X,sì>0{\ stile di visualizzazione x, y> 0}
tunon=X(1+X)(2+X)...(non+X)sì(1+sì)(2+sì)...(non+sì){\ displaystyle u_ {n} = {\ frac {x \ sinistra (1 + x \ destra) \ sinistra (2 + x \ destra) \ punti \ sinistra (n + x \ destra)} {y \ sinistra (1+ y \ destra) \ sinistra (2 + y \ destra) \ punti \ sinistra (n + y \ destra)}}}
è divergente se e convergente se . In effeti :
sì≤X+1{\ displaystyle y \ leq x + 1}
sì>X+1{\ stile di visualizzazione y> x + 1}
tunon+1tunon=1-sì-Xnon+1+sì{\ displaystyle {\ frac {u_ {n + 1}} {u_ {n}}} = 1 - {\ frac {yx} {n + 1 + y}}}
.
La regola di Kummer
La regola di Kummer può essere enunciata come segue:
Siano ( u n ) e ( k n ) due successioni strettamente positive.
- Se ∑1 / k n = + ∞ e se, da un certo rango, k n u n / u n +1 - k n +1 ≤ 0 , allora ∑ u n diverge.
- Se lim inf ( k n u n / u n +1 - k n +1 )> 0 , allora ∑ u n converge.
Henri Padé notò nel 1908 che questa regola è solo una riformulazione delle regole per confrontare serie con termini positivi.
Un altro corollario della regola di Kummer è quello di Bertrand (prendendo k n = n ln ( n ) ), di cui il criterio di Gauss è una conseguenza.
Note e riferimenti
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(in) "Criterio di Raabe" in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi online ).
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Per una dimostrazione, si veda ad esempio questo esercizio corretto dalla lezione della serie digitale su Wikiversità .
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(in) Thomas John I'Anson Bromwich , Introduzione alla teoria della serie infinita , Londra, Macmillan ,1908( leggi in linea ) , p. 33, esempio 2.
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(in) "Criterio di Kummer" in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi online ).
-
La “ regola di Kummer ” , su bibibmath.net , si formula solo se ( k n u n / u n +1 - k n +1 ) ammette un limite ρ : la serie ∑ u n diverge se ρ <0 e ∑1 / k n = + ∞ , e converge se ρ> 0 .
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B. Beck, I. e C. Secondo Feuillet, Esercizi e problemi di matematica 2 ° anno MP , Hachette Education , al. "Preparazione H",2005( leggi in linea ) , p. 264.
-
(in) "Criterio di Bertrand" in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi online ).
-
(in) "Criterio di Gauss" in Michiel Hazewinkel , Encyclopedia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi online ).
-
(in) Eric W. Weisstein , " Test di Gauss " su MathWorld .
Bibliografia
Jean-Marie Duhamel, Nuova regola sulla convergenza delle serie , JMPA , vol. 4, 1839, pag. 214-221
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