Principio fondamentale della statica
Il principio fondamentale della statica (PFS) , o teorema di equilibrio, esprime le condizioni di equilibrio di un solido indeformabile in un sistema di riferimento galileiano .
Un oggetto è in equilibrio quando ha un moto rettilineo uniforme (il suo momento dinamico è zero in tutti i punti, il che implica che la sua accelerazione lineare e la sua accelerazione angolare sono zero). Spesso consideriamo il caso di un oggetto stazionario.
Dichiarazione con forze e momenti
Considera un solido sottoposto a una serie di punti di forza esterni , ..., e coppie esterne , ..., . Considera qualsiasi punto A nello spazio. Quindi, il solido è in equilibrio rispetto ad un sistema di riferimento galileiano se la somma delle forze è zero e se la somma dei momenti delle forze rispetto ad A e delle coppie è zero:
teorema della statica risultante: ; Teorema momento statico: .
In generale, non scegliamo il punto A a caso: per semplificare i calcoli, prendiamo il punto di applicazione di una forza sconosciuta, e quando più forze sono sconosciute, prendiamo il punto di applicazione della forza "la meno conosciuta" ( quella di cui non conosciamo né l'intensità né la direzione).
Appunti:
- È essenziale che il deposito sia galileiano. Come contro esempio, possiamo prendere un oggetto posto senza attrito (o attrito trascurabile) sul sedile di un'automobile che frena improvvisamente. La somma delle forze interne esercitate sull'oggetto è zero (il peso verticale è compensato dalla reazione verticale del banco) e tuttavia l'oggetto non rimane fermo, nel quadro di riferimento dell'automobile.
- Se il quadro di riferimento non è galileiano, non possiamo teoricamente utilizzare il principio. Si può però lavorare in questo quadro di riferimento come se fosse galileiano, a condizione di tener conto di termini correttivi che si chiamano forze d'inerzia .
Nel caso di un problema piano , ci si può accontentare di esprimere i momenti con un numero (la componente su un asse perpendicolare al piano) e non un vettore, si scrive quindi per la seconda condizione:
.
Si noti che spesso si nota anche il momento di una forza rispetto ad A
,
la seconda condizione è quindi scritta:
.
Dichiarazione con torsori
Si consideri uno 0 solido soggetto a un insieme di quote meccaniche esterne rappresentate dalle coppie statiche , ..., . Quindi, il solido è in equilibrio rispetto a un sistema di riferimento galileiano se la risultante delle azioni esterne è zero:
.
Indichiamo con ℰ lo spazio reale. Vediamo infatti che l'equazione del momento statico
da solo è sufficiente per stabilire un equilibrio. In effetti, i torsori sono campi vettoriali, qui i campi del momento di forza, quindi la somma dei torsori è in realtà la somma dei momenti. La risultante di un torsore è solo una proprietà di questo campo; l'equazione della risultante
deriva dall'equazione dei momenti dalle proprietà di addizione dei torsori .
In pratica, è più facile verificare l'equazione della risultante da un lato e l'equazione dei momenti in un dato punto dall'altro, piuttosto che verificare l'equazione dei momenti in qualsiasi punto.
Per semplificare i calcoli, trasportiamo tutti i torsori al punto di applicazione di un'azione sconosciuta (punto in cui la riduzione del torsore di questa azione è uno slider), e quando diverse azioni sono sconosciute, prendiamo il punto di applicazione del Azione “meno conosciuta” (quella con i componenti più sconosciuti). In effetti, più i termini del prodotto incrociato includono incognite, più difficile sarà il calcolo.
Traduzione grafica
Nella statica grafica , la nullità della somma delle forze risulta in un poligono chiuso di forze (una dinamica).
La nullità di momenti può comportare la costruzione di un poligono funicolare , o in alcuni semplici casi:
- solido sottoposto a due forze: le due forze hanno la stessa linea di azione;
- solido sottoposto a tre forze non parallele: metodo delle tre forze concorrenti ;
- solido sottoposto a quattro forze di cui si conoscono le direzioni: metodo di Culmann .
Solubilità del sistema di equazioni e strategia risolutiva
Il PFS fornisce sei equazioni. Ciò significa che possiamo determinare solo sei incognite. Nel caso della semplificazione dei problemi piani , il PFS fornisce solo tre equazioni, il che significa che si possono determinare solo tre incognite.
La PFS descrive lo stato di un sistema rigido, cioè i cui punti caratteristici - baricentro, punti di applicazione di forze esterne - sono stazionari l'uno rispetto all'altro; questo sistema rigido può essere una parte o un insieme di parti collegate. Possiamo scrivere il PFS per ciascuna delle parti o ciascuno dei sottosistemi, quindi il numero complessivo di incognite per il problema può essere maggiore di sei.
Per quanto riguarda il problema, è tuttavia necessario assicurarsi che il numero totale di incognite sia uguale al numero totale di equazioni libere, cioè il problema è isostatico . Se il sistema non è isostatico è necessario:
- se ci sono troppe incognite statiche (sistema sovra-vincolato),
- o fare ipotesi semplificative (ad esempio simmetria),
- sostituire i collegamenti con altri più "flessibili",
- o introducono equazioni aggiuntive, che tipicamente descrivono la deformazione elastica delle parti ( resistenza dei materiali );
- se ci sono troppe equazioni, rivedere il sistema o la sua modellazione.
In presenza di un sistema isostatico, è consigliabile isolare un sottogruppo
- non comprendente più di sei incognite (tre per un problema aereo);
- comprendente almeno un'azione meccanica nota.
La ricerca dei sottosistemi da risolvere e l'ordine di risoluzione fatto utilizza tipicamente il grafico delle connessioni cinematiche .
In generale, un problema di statica consiste nel determinare le forze per una data connessione. Iniziamo quindi isolando il sottosistema più piccolo il cui confine passa per la connessione a cui siamo interessati, e contenendo almeno un'azione meccanica completamente definita. Contiamo le incognite di questo sottosistema; se non abbiamo più di sei (o tre in piano) incognite, possiamo applicare direttamente il PFS.
Altrimenti, cerca un sottosistema di questo sottosistema: il sottosistema più grande contenente l'azione nota e con non più di sei (o tre in pianta) incognite. Il PFS viene applicato per la prima volta a questo sottosistema, il che rende possibile avere nuove azioni meccaniche completamente determinate. Torniamo quindi al primo passaggio.
Esempio: giostra con ascensore
Prendiamo l'esempio di una giostra con ascensore. Il ruolo di questo sistema è di sollevare e abbassare un soggetto su una piattaforma contrassegnata con 4 rispetto alla ripetizione del telaio. 1, utilizzando un martinetto rif. {5; 6}, il soggetto deve rimanere orizzontale. La guida avviene tramite un parallelogramma deformabile formato dal braccio di sollevamento rif. 2 e la biella n. 3. Ci collochiamo nel quadro di un problema piano, che consente di realizzare un diagramma cinematico semplificato.
Conoscere il peso esercitato al baricentro G dell'intero {soggetto; platform}, vogliamo conoscere la pressione dell'olio richiesta nel cilindro, le pressioni esercitate sul pistone pos. 6 in L.
Consideriamo che lo studio dell'isostatismo è stato fatto e, nell'ambito di un problema piano, sostituiamo tutte le connessioni rotanti con connessioni pivot per semplificare la rappresentazione.
Per prima cosa isoliamo uno ad uno i sottosistemi su due perni, il cui peso viene trascurato: la biella {3} e il martinetto {5; 6}. Per questi sistemi, sappiamo che le forze sono nell'asse dei perni, rispettivamente (CH) e (KM). La superficie del pistone, su cui spinge l'olio, è perpendicolare all'asse del cilindro, quindi conosciamo anche la direzione dell'azione dell'olio sul cilindro.
Il primo tentativo consiste nel definire il più piccolo sottoinsieme contenente la forza conosciuta e il cui confine contiene il punto di applicazione della forza sconosciuta. Questo confine quindi passa per L e contiene G; il sottoinsieme considerato è {2; 6} (immagine a sinistra). Le azioni di contatto con l'esterno del sottosistema totalizzano 4 incognite (1 in C, 2 in F, 1 in L); pertanto, non è possibile risolvere il PFS con questo sottosistema.
Il sottosistema più grande per il quale è possibile risolvere il PFS è {4} (immagine centrale). Ciò consente di determinare le azioni in A e C.
Successivamente, il più piccolo sottoinsieme con azione nota e contenente L è {2; 6}. Contiene un'azione completamente nota (in A) e l'azione desiderata (in L), quindi è il secondo sottoinsieme che isoleremo. Ci permetterà di determinare l'azione in L e quindi la pressione nel cilindro.
La risoluzione in sé può essere analitica (dai vettori o dai torsori) o, nel caso di un problema piano, grafico.
Statico e dinamico
Il principio fondamentale della statica può essere visto come un caso particolare del principio fondamentale della dinamica : quello quando le accelerazioni lineari e angolari sono nulle.
Al contrario, si può trattare un problema di dinamica con la PFS considerando le forze di inerzia , o anche il principio di d'Alembert .
Bibliografia
- Jean-Louis Fanchon , guida meccanica , Nathan ,2007, 543 p. ( ISBN 978-2-09-178965-1 ) , p. 38, 42-44, 47-54, 112-113