Principio D'Alembert
Il principio di d'Alembert è un principio della meccanica analitica che afferma che tutte le forze di stress di un sistema non funzionano in uno spostamento virtuale .
Questo principio fu affermato, in termini diversi, nel 1743 da Jean le Rond d'Alembert nel suo Trattato sulla dinamica; fu poi utilizzato da Joseph-Louis Lagrange nello sviluppo della meccanica analitica , in particolare per dimostrare nel 1788 le equazioni di Eulero-Lagrange a partire dal principio fondamentale della dinamica , senza passare per il principio di minima azione (metodo che gli aveva permesso di trovarli nel 1756).
In effetti, questo principio postula che, ad esempio, il tavolo su cui è posto un oggetto sia passivo (oppone solo forze di reazione al corpo) e non gli fornirà alcuna accelerazione o energia.
Formulazione matematica
Si suppone che il sistema sia caratterizzato da un insieme finito P di punti materiali soggetti a vincoli (rigidità, limiti del campo di evoluzione, articolazioni meccaniche, ecc.), Ma senza attrito .
Definizione di uno spostamento virtuale del sistema: è uno spostamento istantaneo e infinitesimale dei punti di P , e nel rispetto dei vincoli fisici.
δr→{\ displaystyle \ delta {\ vec {r}}}
Le forze di stress sono le forze che si applicano al corpo, in modo che rispetti i vincoli fisici (forza di reazione del tavolo su cui è appoggiato il corpo, resistenza della rigidità a forze esterne , ...).
Il principio di D'Alembert afferma che tutte le forze di stress applicate a un sistema non funzionano (non producono o consumano energia ) durante uno spostamento virtuale:
Se le forze di stress sono per ciascuna , quindi per qualsiasi spostamento virtuale del corpo, abbiamo:
R→io{\ displaystyle {\ vec {R}} _ {i}}io∈P{\ displaystyle i \ in P} (δr→io)io∈P{\ displaystyle \ left (\ delta {\ vec {r}} _ {i} \ right) _ {i \ in P}}
∑io∈PR→io⋅δr→io=0{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in P} {\ vec {R}} _ {i} \ cdot \ delta {\ vec {r}} _ {i} = 0} (equazione di d'Alembert),con l'
accelerazione e la somma delle forze (che non sono di vincolo) esercitate da , e utilizzando il
principio fondamentale della dinamica che è scritto , si ottiene
a→io{\ displaystyle \ {\ vec {a}} _ {i}}F→io{\ displaystyle {\ vec {F}} _ {i}} io∈P{\ displaystyle \ i \ in P}mio.a→io=F→io+R→io{\ displaystyle \ textstyle m_ {i}. {\ vec {a}} _ {i} = {\ vec {F}} _ {i} + {\ vec {R}} _ {i}}∑io∈P(F→io-mioa→io)⋅δr→io=0{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in P} \ left ({\ vec {F}} _ {i} -m_ {i} {\ vec {a}} _ {i} \ right) \ cdot \ delta { \ vec {r}} _ {i} = 0}
Dimostra le equazioni di Lagrange
In coordinate cartesiane , e in un sistema di riferimento inerziale , l'equazione di D'Alembert e il principio fondamentale della dinamica danno ; con n coordinate generalizzate otteniamo , dove e sono, rispettivamente, le forze generalizzate e l'accelerazione .
∑io∈P(F→io-mioa→io)⋅δr→io=0{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in P} \ left ({\ vec {F}} _ {i} -m_ {i} {\ vec {a}} _ {i} \ right) \ cdot \ delta { \ vec {r}} _ {i} = 0} ∑j=1non(Qj-Aj)⋅δqj=0{\ Displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left (Q_ {j} -A_ {j} \ right) \ cdot \ delta q_ {j} = 0} (Qj)j=1,..,non{\ Displaystyle \ \ left (Q_ {j} \ right) _ {j = 1, .., n}} (Aj)j=1,..,non{\ Displaystyle \ \ left (A_ {j} \ right) _ {j = 1, .., n}}
Se le coordinate generalizzate sono indipendenti, allora possiamo dedurre , per tutto .
Aj=Qj{\ displaystyle \ A_ {j} = Q_ {j}} j=1,...,non{\ displaystyle \ j = 1, ..., n}
Il totale
dell'energia cinetica del sistema è scritto .
T=12∑io∈Pmio(r→˙io)2{\ Displaystyle \ T = {1 \ over 2} \ sum _ {i \ in P} m_ {i} \ left ({\ dot {\ vec {r}}} _ {i} \ right) ^ {2} }Alcuni calcoli lo dimostrano . Si arriva quindi all'uguaglianza .
Aj=ddt∂T∂q˙j-∂T∂qj{\ Displaystyle \ A_ {j} = {d \ over dt} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ partial T} {\ q_ parziale {j}}}} ddt∂T∂q˙j-∂T∂qj=Qj{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ partial T} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ partial T} {\ partial q_ {j} }} = Q_ {j}}Da dove, se la
forza è conservativa (cioè e ) o se (come nel caso della
forza elettromagnetica ), ponendo si conclude:
Qj=-∂U∂qj{\ displaystyle \ Q_ {j} = - {\ frac {\ partial U} {\ partial q_ {j}}}} ∂U∂q˙j=0{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial U} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} = 0} Qj=ddt∂U∂q˙j-∂U∂qj{\ Displaystyle \ Q_ {j} = {d \ over dt} {\ frac {\ partial U} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ partial U} {\ q_ parziale {j}}}} L=T-U{\ displaystyle \ L = TU}
ddt∂L∂q˙j-∂L∂qj=0{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {j} }} = 0}, che sono le
equazioni di Lagrange .
Se le coordinate generalizzate non sono indipendenti, e se c'è un solo vincolo, allora possiamo dedurre che , per tutti , e dove è un vettore proporzionale al vettore della forza generalizzata del vincolo (e che è abbastanza facilmente calcolabile per un vincolo olonomico ), con il coefficiente di proporzionalità associato ( moltiplicatore di Lagrange ). Ogni vincolo aggiunge un ulteriore termine simile. Otteniamo quindi:
Aj-Qj=λ.Zj{\ displaystyle \ A_ {j} -Q_ {j} = \ lambda .Z_ {j}} j=1,...,non{\ displaystyle \ j = 1, ..., n} (Zj)j=1,...,non{\ displaystyle \ (Z_ {j}) _ {j = 1, ..., n}} λ=λ(q,q˙,t){\ displaystyle \ \ lambda = \ lambda (q, {\ dot {q}}, t)}
ddt∂L∂q˙j-∂L∂qj=λ.Zj{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} - {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {j} }} = \ lambda .Z_ {j}}, che sono le
equazioni di Lagrange , con
moltiplicatore di Lagrange .
Note e riferimenti
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Questi calcoli utilizzano le uguaglianze e , dove ∂r→˙io∂q˙j=∂r→io∂qj{\ displaystyle \ {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial {\ dot {q}} _ {j}}} = {\ frac {\ partial { \ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}}} ddt∂r→io∂qj=∂r→˙io∂qj{\ displaystyle \ {d \ over dt} {\ frac {\ partial {\ vec {r}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}} = {\ frac {\ partial {\ dot {\ vec {r}}} _ {i}} {\ partial q_ {j}}}} r→io=r→io(q1,q2,...,qnon,t){\ displaystyle \ {\ vec {r}} _ {i} = {\ vec {r}} _ {i} (q_ {1}, q_ {2}, ..., q_ {n}, t)}
-
ragionando sui gradi di libertà del sistema nello spazio n- dimensionale considerato: vedi Capitolo I, Complemento 1.2 , p34-35 di Meccanica: dalla formulazione lagrangiana al caos hamiltoniano , di Claude Gignoux e Bernard Silvestre-Brac; Editore di EDP-Sciences, 2002, 467 pagine ( ISBN 2868835848 ) .
Vedi anche
Articoli Correlati
Bibliografia
- Claude Gignoux e Bernard Silvestre-Brac; Meccanica: dalla formulazione lagrangiana al caos hamiltoniano , editore di EDP-Sciences, 2002, ( ISBN 2-86883-584-8 ) .
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