punto di Lagrange

Un punto di Lagrange (notato da L 1 a L 5 ), o, più raramente, punto di librazione , è una posizione nello spazio in cui i campi di gravità di due corpi in moto orbitale l' uno intorno all'altro, e di masse consistenti, forniscono esattamente il centripeto forza necessaria affinché questo punto nello spazio accompagni simultaneamente il moto orbitale dei due corpi. Nel caso in cui i due corpi siano in orbita circolare, questi punti rappresentano i luoghi in cui un terzo corpo, di massa trascurabile, rimarrebbe immobile rispetto agli altri due, nel senso che accompagnerebbe la loro rotazione attorno al loro centro al stessa velocità angolare di gravità comune senza che la sua posizione in relazione ad essi cambi.

In altre parole, le forze gravitazionali esercitate da due grandi corpi su un terzo di massa trascurabile, posto in un punto di Lagrange, sono esattamente compensate dalla forza centrifuga di quest'ultimo. La posizione del corpicino non cambierà quindi perché le tre forze esercitate su di esso si compenseranno a vicenda.

Cinque in numero, questi punti sono divisi in due punti stabili chiamati L 4 e L 5 e tre punti instabili indicati da L 1 a L 3 . Prendono il nome dal matematico francese Joseph-Louis Lagrange . Sono coinvolti nello studio di alcune configurazioni di oggetti nel Sistema Solare (principalmente per punti stabili) e nel posizionamento di vari satelliti artificiali (principalmente per punti instabili). Sono questi i punti notevoli della "geometria di Roche  " (punti-col ed extrema), che permette in particolare di classificare i vari tipi di stelle binarie .

I tre punti L 1 , L 2 e L 3 sono talvolta chiamati punti di Eulero , in onore di Leonhard Eulero , il nome dei punti di Lagrange è quindi riservato ai due punti L 4 e L 5 .

I punti L 4 e L 5 , in virtù della loro stabilità, possono naturalmente attrarre o trattenere oggetti per lungo tempo. I punti L 1 , L 2 e L 3 , essendo instabili, non possono necessariamente mantenere a lungo gli oggetti, ma possono essere utilizzati dalle missioni spaziali, con correzioni orbitali.

Storico

Nella meccanica celeste c'è un argomento che ha affascinato molti matematici: è il cosiddetto problema dei tre corpi . Newton , dopo aver enunciato la sua legge che esprime che "i corpi si attraggono con una forza proporzionale al prodotto della loro massa e inversamente proporzionale al quadrato della distanza dai loro centri", cercò di descrivere il comportamento di tre corpi senza riuscirci. . Bisogna attendere il matematico Joseph-Louis Lagrange che, nel 1772, studiò il caso di un piccolo corpo, di massa trascurabile (quello che oggi viene chiamato corpo di prova o particella di prova ), sottoposto all'attrazione di due corpi più grandi: il Sole e , per esempio, un pianeta. Scoprì che c'erano posizioni di equilibrio per il piccolo corpo, luoghi in cui tutte le forze si bilanciavano.

Definizione

Un oggetto di piccola massa situato in questi punti non si muove più rispetto agli altri due corpi, e ruota di concerto con essi (ad esempio un pianeta e il Sole ). Se diamo come esempio i punti di Lagrange del sistema Sole - Terra , questi cinque punti sono annotati e definiti come segue (scala non rispettata):

• L 1  : sulla linea definita dalle due masse, tra di esse, l'esatta posizione in funzione del rapporto di massa tra i due corpi; nel caso in cui uno dei due corpi abbia una massa molto inferiore all'altro, il punto L 1 si trova molto più vicino al corpo poco massiccio che al corpo massiccio.
• L 2  : sulla linea definita dalle due masse, oltre quella minore. Nel caso in cui uno dei due corpi abbia una massa molto inferiore, la distanza da L 2 a questo corpo è paragonabile a quella tra L 1 e questo corpo.
• L 3  : sulla linea definita dalle due masse, oltre quella maggiore. Nel caso in cui uno dei due corpi sia notevolmente meno massiccio dell'altro, la distanza tra L 3 e il corpo massiccio è paragonabile a quella tra i due corpi.
• L 4 e L 5  : sui vertici dei due triangoli equilateri la cui base è formata dalle due masse. L 4 è quello dei due punti davanti all'orbita della massa più piccola, nella sua orbita attorno a quella grande, e L 5 è dietro. Questi punti sono talvolta chiamati punti di Lagrange triangolari o punti di Troia , perché è il luogo in cui si trovano gli asteroidi troiani del sistema Sole- Giove . A differenza dei primi tre punti, questi ultimi due non dipendono dalle masse relative degli altri due corpi.

Calcolo della posizione dei punti di Lagrange

Il calcolo della posizione dei punti di Lagrange viene effettuato considerando l'equilibrio di un corpo di massa trascurabile tra il potenziale gravitazionale creato da due corpi in orbita e la forza centrifuga . La posizione dei punti L 4 e L 5 può essere ottenuta analiticamente. Quello degli altri tre punti da L 1 a L 3 si ottiene risolvendo numericamente, o eventualmente utilizzando uno sviluppo limitato , un'equazione algebrica. La posizione di questi tre punti è data nella tabella sottostante, nel caso in cui la massa di uno dei due corpi (in questo caso il numero 2 ) sia trascurabile di fronte all'altro, posto ad una distanza R dal precedente . . Le posizioni sono date lungo l'asse che collega i due corpi, la cui origine è individuata nel baricentro del sistema, e il cui orientamento va dal corpo 1 al corpo 2 . Le quantità r 2 e q denotano rispettivamente la posizione del corpo 2 sull'asse e il rapporto tra la massa del corpo più leggero e la massa totale dei due corpi. Infine, usiamo la quantità ε definita da ε  = ( q  / 3) 1/3 .

Punto	Posizione rispetto al baricentro del sistema
L 1	R2+R(-ε+13ε2+19ε3+oh(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ left (- \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ destra)}
L 2	R2+R(ε+13ε2-19ε3+oh(ε4)){\ displaystyle r_ {2} + R \ left (\ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {4}) \ destra)}
L 3	-R+R(-512Q+112720736Q3+oh(Q4)){\ displaystyle -R + R \ left (- {\ frac {5} {12}} q + {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ { 4 }) \ destra)}

In letteratura troviamo talvolta espressioni alquanto differenti, per il fatto che l'origine dell'asse è presa altrove che sul baricentro, e che usiamo come termine alla base dello sviluppo limitato la relazione tra i due masse piuttosto che il rapporto tra la massa minore e la massa totale, cioè a volte la quantità q' definita da . Q'=m2m1=Q1-Q{\ displaystyle q '= {\ frac {m_ {2}} {M_ {1}}} = {\ frac {q} {1-q}}}

Dettagli di calcolo - Introduzione Preliminari

Indichiamo con M 1 e m 2 la massa dei due corpi, supponendo che la massa del primo sia maggiore o uguale a quella del secondo. I due corpi sono presumibilmente orbitano circolare, la loro separazione essere R . I due corpi orbitano attorno al loro comune centro di gravità . Indichiamo con r 1 e r 2 le distanze algebriche dei due corpi rispetto ad un asse orientato dal corpo 1 al corpo 2 (vale a dire che r 1 sarà negativo e r 2 positivo). Il baricentro è definito dall'equazione

m1R1+m2R2=0{\ stile di visualizzazione M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0},

con per definizione della distanza R ,

R2-R1=R{\ stile di visualizzazione r_ {2} -r_ {1} = R}.

Queste due equazioni hanno per soluzione

R1=-m2mR{\ displaystyle r_ {1} = - {\ frac {m_ {2}} {M}} R}, R2=m1mR{\ displaystyle r_ {2} = {\ frac {M_ {1}} {M}} R},

dove indichiamo M  =  M 1  +  m 2 la massa totale del sistema.

I due corpi orbitano l'uno intorno all'altro con una velocità angolare ω , il cui valore è dato dalla terza legge di Keplero  :

ω2=GmR3{\ displaystyle \ omega ^ {2} = {\ frac {GM} {R ^ {3}}}},

G essendo la costante gravitazionale .

Se ci poniamo nel telaio rotante con i due corpi, cioè alla velocità angolare ω , un corpo fermo sarà sottoposto, oltre alle forze gravitazionali dei due corpi, alla forza centrifuga . Se indichiamo con r il raggio vettoriale di questo corpo, si scrive la forza centrifuga per unità di massa f c a cui sarà sottoposto

Fvs=Rω2{\ displaystyle {\ boldsymbol {f}} _ {\ rm {c}} = {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2}}.Equazione fondamentale

La definizione di punto di Lagrange è che la somma delle forze gravitazionali e inerziali si annulla in questi punti. Indicando con r il raggio vettore del punto (i) in questione, si ha quindi thus

-Gm1(R-R1)||R-R1||3-Gm2(R-R2)||R-R2||3+Rω2=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ boldsymbol {r}} \; \ omega ^ {2} = 0},

le doppie barre che indicano che si prende la norma dei vettori considerati. La velocità angolare viene quindi sostituita dal suo valore risultante dalla terza legge di Keplero, che dà

-Gm1(R-R1)||R-R1||3-Gm2(R-R2)||R-R2||3+GmRR3=0{\ displaystyle - {\ frac {GM_ {1} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {Gm_ {2} ({\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2})} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {GM {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0},

che semplifichiamo immediatamente per la costante gravitazionale

-m1R-R1||R-R1||3-m2R-R2||R-R2||3+mRR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r} } - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {\ boldsymbol {r}} {R ^ {3}}} = 0}.

È la risoluzione di questa equazione che dà i vari punti di Lagrange.

I due casi da considerare

La proiezione di questa equazione perpendicolare al piano dell'orbita, la cui normale è data da un vettore notato, dà immediatamente z^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {z}}}}

R⋅z^=0{\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} \ cdot {\ hat {\ boldsymbol {z}}} = 0},

il che implica che l'insieme dei punti di Lagrange si trova nel piano dell'orbita. L'equazione è quindi risolta nel piano orbitale. Vanno considerati due casi:

• quello in cui cerchiamo un punto lungo l'asse formato dai due corpi,
• quello in cui stiamo cercando un punto al di fuori di questo asse.

Il secondo caso risulta essere il più facile da studiare.   Dettagli di calcolo - Punti L 4 e L 5 Caso dei punti L 4 e L 5

Si assume che il raggio vettore r non sia parallelo all'asse passante per i due corpi. Proiettiamo quindi l'equazione fondamentale perpendicolare a questo asse, direzione che supponiamo definita da un vettore annotato . Per definizione, essendo questa direzione perpendicolare all'asse che collega i due corpi, si ha sì^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}}}

sì^⋅R1=sì^⋅R2=0.{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1} = {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ { 2} = 0.}.

L'equazione fondamentale viene quindi riscritta

-m1sì^⋅R||R-R1||3-m2sì^⋅R||R-R2||3+msì^⋅RR3=0{\ displaystyle -M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r} } _ {1} || ^ {3}}} - m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {|| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + M {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {R ^ {3}}} = 0}.

I termini sono semplificati, il che dà sì^⋅R{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {y}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}}

-m1||R-R1||3-m2||R-R2||3+mR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} - {\ frac {m_ { 2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0 }.

Definiamo ora la direzione come la perpendicolare ad r . Poiché r non è collineare con r 1 e r 2 , le quantità non sono zero. Proiettando l'equazione fondamentale lungo s, otteniamo S^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}}}S^⋅R1,2{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1,2}}

m1S^⋅R1||R-R1||3+m2S^⋅R2||R-R2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2} {\ frac {{\ hat {\ boldsymbol {s}}} \ cdot {\ boldsymbol {r}} _ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

Tuttavia, secondo il teorema di Talete , le proiezioni di r 1 e r 2 lungo sono nello stesso rapporto delle proiezioni di questi vettori lungo l'asse che collega i due corpi. Ne segue che l'equazione precedente può essere riscritta S^{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {s}}}}

m1R1||R-R1||3+m2R2||R-R2||3=0{\ displaystyle M_ {1} {\ frac {r_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || ^ {3}}} + m_ {2} } {\ frac {r_ {2}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || ^ {3}}} = 0}.

Il baricentro dei due corpi implica, come visto in precedenza, che

m1R1+m2R2=0{\ stile di visualizzazione M_ {1} r_ {1} + m_ {2} r_ {2} = 0}.

La combinazione di questa equazione e di quella che precede implica quindi che le due distanze e siano identiche, essendo annotato il loro valore R ': ||R-R1||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}||R-R2||{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}

||R-R1||=||R-R2||≡R'{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || \ equiv R '}.

Iniettando questo risultato sulla proiezione lungo r , si ottiene quindi

-m1R'3-m2R'3+mR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {R '^ {3}}} - {\ frac {m_ {2}} {R' ^ {3}}} + {\ frac {M} {R ^ {3}}} = 0}.

Moltiplicando il tutto per R ' 3 e ricordando che M è la somma delle due masse, si ottiene infine

m(R'3R3-1)=0{\ displaystyle M \ sinistra ({\ frac {R '^ {3}} {R ^ {3}}} - 1 \ destra) = 0},

che alla fine dà

||R-R1||=||R-R2||=R{\ displaystyle || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} || = || {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} || = R},

cioè i punti cercati formano un triangolo equilatero con i due corpi del sistema. Questi triangoli sono inclusi anche nel piano orbitale, che fornisce due possibili punti, indicati come annunciati L 4 e L 5 , essendo situati su entrambi i lati dell'asse che collega i due corpi.

Usando il teorema di Pitagora si scrive la distanza D di questi due punti di Lagrange dal baricentro del sistema

D2=(-|R1|+R/2)2+(3R/2)2{\ displaystyle D ^ {2} = (- | r_ {1} | + R / 2) ^ {2} + ({\ sqrt {3}} R / 2) ^ {2}},

che danno

D2=R12+14R2-R|R1|+34R2{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {1} ^ {2} + {\ frac {1} {4}} R ^ {2} -R | r_ {1} | + {\ frac {3} {4 }} R ^ {2}},

che danno

D2=R2+R12-R|R1|{\ stile di visualizzazione D ^ {2} = R ^ {2} + r_ {1} ^ {2} -R | r_ {1} |}.

Usando il fatto che lui viene R=|R1|+R2{\ displaystyle R = | r_ {1} | + r_ {2}}

D2=R22+|R1|R=R12+R2R{\ displaystyle D ^ {2} = r_ {2} ^ {2} + | r_ {1} | R = r_ {1} ^ {2} + r_ {2} R}. La distanza è quindi maggiore delle distanze di ciascuno dei due corpi dal baricentro del sistema. Questi punti di Lagrange sono quindi al di là dell'orbita del corpo meno massiccio e non sono strettamente localizzati su di essa, sebbene questo sia quasi il caso nel limite in cui la massa del corpo più leggero diventa trascurabile rispetto a quella del suo compagno.   Dettagli di calcolo - Punti da L 1 a L 3 Caso dei punti da L 1 a L 3

Se si considerano i punti di Lagrange posti sull'asse che collega i due corpi, si considerano tre sottocasi:

1. Il caso in cui il punto (i) si trova tra i campi 1 e 2  ;
2. Il caso in cui il punto (i) sono opposti al corpo 2 rispetto al corpo 1  ;
3. Il caso in cui il punto (i) sono opposti al corpo 1 rispetto al corpo 2 .

In questi tre casi, l'equazione fondamentale viene riscritta come segue:

• Caso 1: la proiezione delle due forze sull'asse ha segno opposto (la proiezione della forza esercitata dal corpo 1 è negativa, quella della forza esercitata dal corpo 2 è positiva), che dà -m1(R-R1)2+m2(R-R2)2+mRR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2} }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

insieme a R1<R<R2{\ stile di visualizzazione r_ {1} <r <r_ {2}}.

• Caso 2: la proiezione delle due forze sull'asse è negativa, il che dà -m1(R-R1)2-m2(R-R2)2+mRR3=0{\ displaystyle - {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} - {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2} }}} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

insieme a R1<R2<R{\ stile di visualizzazione r_ {1} <r_ {2} <r}.

• Caso 3: la proiezione delle due forze sull'asse è positiva, il che dà m1(R-R1)2+m2(R-R2)2+mRR3=0{\ displaystyle {\ frac {M_ {1}} {(r-r_ {1}) ^ {2}}} + {\ frac {m_ {2}} {(r-r_ {2}) ^ {2} }} + M {\ frac {r} {R ^ {3}}} = 0},

insieme a R<R1<R2{\ displaystyle r <r_ {1} <r_ {2}}.

Ognuna di queste tre equazioni può essere ridotta ad un'equazione polinomiale di quinto grado, per la quale non esiste una soluzione analitica esatta, salvo casi particolari (come quello di due masse identiche, ad esempio).

L'unicità delle soluzioni in ciascuno dei tre casi si deduce dal fatto che l'equazione da risolvere sul bilancio delle forze deriva da un potenziale U , dato da

tu=-m1||R-R1||-m2||R-R2||-12mR2R3{\ displaystyle U = - {\ frac {M_ {1}} {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} ||}} - {\ frac {m_ {2} } {|| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} ||}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {Mr ^ {2}} {R ^ {3}}}}. Questo potenziale rappresenta i poli in r 1 e r 2 , e corrisponde al di fuori di questi valori alla somma di tre termini concavi ed è quindi localmente concavo. Ha quindi un solo estremo locale in ciascuno dei domini in cui è definito, cioè in ciascuno dei tre casi sopra menzionati.   Soluzioni da L 1 a L 3 nel caso in cui il rapporto tra le masse sia basso Forma e soluzione ridotte nel caso in cui il rapporto di massa sia basso

Quando il rapporto tra m 2 e M 1 (o tra m 2 e M) è basso, possiamo trovare una soluzione approssimata per la posizione di ciascuno dei punti eseguendo uno sviluppo limitato da una soluzione approssimata facile da trovare. Per semplificare la notazione, abbiamo effettuato un cambio di scala per esprimere tutte le lunghezze in incrementi di separazione R e unità di massa della massa totale M . Ci poniamo così

tu=R/R{\ stile di visualizzazione u = r / R},

e

tu1,2=R1,2/R{\ displaystyle u_ {1,2} = r_ {1,2} / R},

e definiamo il piccolo parametro q con

Q≡m2/m{\ displaystyle q \ equiv m_ {2} / M},

da cui possiamo esprimere

m1/m=1-Q{\ stile di visualizzazione M_ {1} / M = 1-q}, tu1=-Q{\ displaystyle u_ {1} = - q}, tu2=1-Q{\ displaystyle u_ {2} = 1-q}.

In questo caso, le tre equazioni scritte sopra assumono la forma più semplice

• Caso 1: -1-Q(tu+Q)2+Q(tu-1+Q)2+tu=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

insieme a -Q<tu<1-Q{\ displaystyle -q <u <1-q}.

• Caso 2: la proiezione delle due forze sull'asse è negativa, il che dà -1-Q(tu+Q)2-Q(tu-1+Q)2+tu=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

insieme a 1-Q<tu{\ displaystyle 1-q <u}.

• Caso 3: la proiezione delle due forze sull'asse è positiva, il che dà 1-Q(tu+Q)2+Q(tu-1+Q)2+tu=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0},

insieme a tu<-Q{\ displaystyle u <-q}.Punto L 1

Quando la massa del corpo 2 è trascurabile, la sua attrazione è trascurabile a meno che la particella di prova non sia molto vicina. Tuttavia, quando l'attrazione del corpo 2 è trascurabile, l'equilibrio tra l'attrazione del corpo 1 e la forza centrifuga è tale che la distanza del punto di equilibrio è dell'ordine di R . Quando il punto di equilibrio si trova di fronte al corpo 2 , siamo nel caso del punto di Lagrange  L 3 , che è quindi, grosso modo, posto di fronte al corpo 2 rispetto al corpo 1 . Diversamente, supponiamo quindi che il punto di equilibrio sia piuttosto vicino al corpo 2 (e quindi di nuovo situato alla distanza R dal corpo 1 ), ma comunque abbastanza lontano in modo che l'attrazione del corpo 2 esercitata sulla particella di prova rimanga piccola rispetto a quello del corpo 1 . Poniamo quindi dalla forma ridotta

tu=tu2+ε'=1-Q+ε{\ displaystyle u = u_ {2} + \ varepsilon '= 1-q + \ varepsilon},

dove qui ' è una quantità piccola e negativa (supponiamo qui che il punto sia tra i due campi). L'equazione ridotta si trasforma quindi in

-1-Q(1+ε')2+Qε'2+1-Q+ε'=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon ') ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon ' = 0}.

Eseguiamo uno sviluppo limitato al primo ordine dell'attrazione prodotta dal corpo 1  :

-(1-Q)(1-2ε')+Qε'2+1-Q+ε'=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon ') + {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon '= 0}.

I termini in 1 -  q sono semplificati e rimane

(3-2Q)ε'+Qε'2=0{\ displaystyle (3-2q) \ varepsilon '+ {\ frac {q} {\ varepsilon' ^ {2}}} = 0}.

Mantenendo ancora solo i termini di ordine più basso in q , arriva

ε'=-(Q3)13{\ displaystyle \ varepsilon '= - \ sinistra ({\ frac {q} {3}} \ destra) ^ {\ frac {1} {3}}}.

Possiamo quindi continuare il calcolo, sviluppando la deviazione del punto sul corpo 2 in potenze di ' . Ci poniamo così

tu=1-Q+ε'+Xε'2+oh(ε'3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {3})}.

L'equazione fondamentale ridotta quindi dà

-1-Q(1+ε'+Xε'2)2+Q(ε'+Xε'2)2+1-Q+ε'+Xε'2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(\ varepsilon '+ x \ varepsilon '^ {2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon' + x \ varepsilon '^ {2} = 0}.

Possiamo fattorizzare il secondo termine con q  /  ε ' 2 , che possiamo sostituire con il suo valore, cioè -3  ε' . Allora otteniamo

-(1-Q)(1+ε'+Xε'2)-2-3ε'(1+Xε')-2+1-Q+ε'+Xε'2=0{\ displaystyle - (1-q) (1+ \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2}) ^ {- 2} -3 \ varepsilon '(1 + x \ varepsilon') ^ {- 2} +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0}.

Eseguiamo quindi uno sviluppo limitato dei primi due termini, nel secondo ordine per il primo e nel primo ordine per il successivo, che dà

-(1-Q)(1-2ε'-2Xε'2+3ε'2)-3ε'(1-2Xε')+1-Q+ε'+Xε'2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon '-2x \ varepsilon' ^ {2} +3 \ varepsilon '^ {2}) - 3 \ varepsilon' (1-2x \ varepsilon ') +1 -q + \ varepsilon '+ x \ varepsilon' ^ {2} = 0},

da cui si deduce che x vale un terzo, che dà

tu=1-Q+ε'+13ε'2+oh(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Lo sviluppo può quindi essere continuato seguendo la stessa procedura. Nell'ordine successivo, abbiamo così

tu=1-Q+ε'+13ε'2-19ε'3+oh(ε'4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon '+ {\ frac {1} {3}} \ varepsilon' ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon '^ {3} + { \ mathcal {O}} (\ varepsilon '^ {4})}.Punto L 2

Il caso del punto L 2 si risolve esattamente come nella sezione precedente, eccetto che il segno del secondo termine dell'equazione fondamentale è negativo. Quindi chiediamo

tu=1-Q+ε{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon},

ε essendo questa volta ipotizzato piccolo e positivo, e quindi abbiamo

-1-Q(1+ε)2-Qε2+1-Q+ε=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon) ^ {2}}} - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0 }.

La risoluzione di ordine più basso dà

-(1-Q)(1-2ε)-Qε2+1-Q+ε=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon) - {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon = 0},

che dopo la cancellazione dei termini dà

3ε=Qε2{\ displaystyle 3 \ varepsilon = {\ frac {q} {\ varepsilon ^ {2}}}},

questo è

ε=(Q3)13=-ε'{\ displaystyle \ varepsilon = \ sinistra ({\ frac {q} {3}} \ destra) ^ {\ frac {1} {3}} = - \ varepsilon '}.

Questo corrisponde al segno più vicino allo stesso risultato di prima. L'ulteriore sviluppo della soluzione viene eseguito come prima. Partiamo da

tu=1-Q+ε+Xε2{\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}},

e iniettiamo questo risultato nell'equazione fondamentale

-1-Q(1+ε+Xε2)2-Q(ε+Xε2)2+1-Q+ε+Xε2=0{\ displaystyle - {\ frac {1-q} {(1+ \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2}) ^ {2}}} - {\ frac {q} {(\ varepsilon + x \ varepsilon ^ { 2}) ^ {2}}} + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0}.

Come prima, trasformiamo questa espressione secondo

-(1-Q)(1-2ε-2Xε2+3ε2)-3ε(1-2Xε)+1-Q+ε+Xε2=0{\ displaystyle - (1-q) (1-2 \ varepsilon -2x \ varepsilon ^ {2} +3 \ varepsilon ^ {2}) - 3 \ varepsilon (1-2x \ varepsilon) + 1-q + \ varepsilon + x \ varepsilon ^ {2} = 0},

cosa risolviamo in

X=13{\ displaystyle x = {\ frac {1} {3}}},

questo è

tu=1-Q+ε+13ε2+oh(ε3){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} + {\ mathcal {O}} (\ varepsilon ^ {3})}.

Questa espressione è identica a quella del primo punto di Lagrange sostituendo ε ' con ε , ma questi due punti sono asimmetrici: poiché il segno di ε , ε' cambia tra il punto L 1 e il punto L 2 , la correzione del secondo ordine , sempre positiva , approssima il punto L 1 del corpo 2 mentre mantiene il punto L 2  : i due punti non sono equidistanti dal corpo 2 . Per la Terra, il rapporto di massa è 1 / 300.000 , e ε è dell'ordine di 0,01, che pone i due punti relativi alla Terra ad una distanza di circa un centesimo della distanza Terra-Sole, o entro 1.500.000  chilometri . Il termine di secondo ordine è dell'ordine di un trentamillesimo della distanza Terra-Sole, cioè entro 5.000  km . Il punto L 1 è quindi circa 10.000  km più vicino alla Terra di quanto non sia L 2 .

Infine, possiamo continuare lo sviluppo all'ordine superiore, che dà, tutti i calcoli fatti

tu=1-Q+ε+13ε2-19ε3+oh(ε4){\ displaystyle u = 1-q + \ varepsilon + {\ frac {1} {3}} \ varepsilon ^ {2} - {\ frac {1} {9}} \ varepsilon ^ {3} + {\ mathcal { O }} (\ varepsilon ^ {4})}.Punto L 3

Nel caso 3, che corrisponderà al punto L 3 , si scrive l'equazione fondamentale

1-Q(tu+Q)2+Q(tu-1+Q)2+tu=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(u-1 + q) ^ {2}}} + u = 0}.

Poiché si suppone che il punto sia oltre il corpo 1 rispetto al corpo 2 , è più vicino al corpo più massiccio, la cui attrazione sarà preponderante rispetto all'altro corpo. Nella situazione in cui ci troviamo, il punto cercato ha quindi la sua posizione approssimata da

1-Q(tu+Q)2+tu=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(u + q) ^ {2}}} + u = 0}.

La soluzione approssimativa di questa equazione è, ovviamente

tu≃-1{\ displaystyle u \ simeq -1}.

Per trovare le deviazioni da questo valore, scriviamo nell'equazione fondamentale

tu=-1+v{\ stile di visualizzazione u = -1 + v},

e risolviamo l'equazione tenendo conto dei primi termini di q . Otteniamo così

1-Q(-1+v+Q)2+Q(-1-1+v+Q)2-1+v=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} + {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} -1 + v = 0}.

Le quantità e q essendo piccola davanti R , il primo termine è scritto v{\ stile di visualizzazione v}

1-Q(-1+v+Q)2=(1-Q)(1-v-Q)-2≃(1-Q)+2(v+Q){\ displaystyle {\ frac {1-q} {(- 1 + v + q) ^ {2}}} = (1-q) (1-vq) ^ {- 2} \ simeq (1-q) + 2 (v + q)}.

Essendo il secondo termine trascurabile rispetto al precedente (è proporzionale a q ), può essere approssimato in

Q(-1-1+v+Q)2≃Q4{\ displaystyle {\ frac {q} {(- 1-1 + v + q) ^ {2}}} \ simeq {\ frac {q} {4}}}.

Combinando tutti questi termini, otteniamo

1-Q+2(v+Q)+Q4-1+v=0{\ displaystyle 1-q + 2 (v + q) + {\ frac {q} {4}} - 1 + v = 0},

che danno

54Q+3v=0{\ displaystyle {\ frac {5} {4}} q + 3v = 0},

cioè

v=-512m2m+oh(m22m2){\ displaystyle v = - {\ frac {5} {12}} {\ frac {m_ {2}} {M}} + {\ mathcal {O}} \ left ({\ frac {m_ {2} ^ { 2}} {M ^ {2}}} \ destra)}.

Si può senza difficoltà continuare questo calcolo posando ora

tu=-1-512Q+w{\ displaystyle u = -1 - {\ frac {5} {12}} q + w},

w{\ stile di visualizzazione w}essendo questa volta proporzionale a q 2 . L'equazione fondamentale diventa allora

1-Q(-1-512Q+w+Q)2+Q(-1-1-512Q+w+Q)2-1-512Q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ sinistra (-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ destra) ^ {2}}} + {\ frac {q} { \ sinistra (-1-1 - {\ frac {5} {12}} q + w + q \ destra) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = ​​​​0},

cioè

1-Q(1-712Q-w)2+Q(2-712Q-w)2-1-512Q+w=0{\ displaystyle {\ frac {1-q} {\ sinistra (1 - {\ frac {7} {12}} qw \ destra) ^ {2}}} + {\ frac {q} {\ sinistra (2- {\ frac {7} {12}} qw \ destra) ^ {2}}} - 1 - {\ frac {5} {12}} q + w = ​​​​0}.

Espandendo questa espressione al secondo ordine in q , troviamo

w=0+oh(Q3){\ displaystyle w = 0 + {\ mathcal {O}} (q ^ {3})},

vale a dire che è al massimo in q 3 . Rifacendo il calcolo in questo contesto, finalmente troviamo w{\ stile di visualizzazione w}

w=112720736Q3+oh(Q4){\ displaystyle w = {\ frac {1127} {20736}} q ^ {3} + {\ mathcal {O}} (q ^ {4})}. Raramente è utile portare il calcolo così lontano: in una configurazione Sole-Pianeta, l'ultimo termine correttivo è al massimo dell'ordine di 10 -9 , poiché il più grande rapporto di massa Pianeta-Sole, nel caso di Giove è del ordine del millesimo. Il termine q 3 è quindi, per Giove, dell'ordine di un miliardesimo, che, data la grandezza della sua orbita, corrisponde ad una correzione di una cinquantina di metri, dato che il fattore frazione di q 3 è dell'ordine di un ventesimo . Per il sistema Terra-Sole (distanza di circa 150 milioni di chilometri, rapporto di massa di circa 1 ⁄ 300.000 ), l'ultima correzione è una frazione di micron.  

Stabilità

Il calcolo di cui sopra non indica nulla se i punti di Lagrange sono stabili. La stabilità o meno di questi punti è inoltre poco intuitiva. Nel sistema di riferimento rotante con i due corpi, una particella di prova può essere vista come soggetta a un potenziale che include il contributo gravitazionale e quello della forza centrifuga. Questo potenziale, notato , è scritto come

Ω=-Gm1|R-R1|-Gm2|R-R2|-12|R|2ω2{\ displaystyle \ Omega = - {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} - {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |}} - {\ frac {1} {2}} | {\ boldsymbol {r}} | ^ {2} \ omega ^ {2}}.

Tutti i termini di questo potenziale sono negativi e diminuiscono man mano che ci si allontana dalle masse (per i primi due termini) o dal baricentro del sistema (per il terzo). Possiamo così mostrare che i punti di Lagrange L 4 e L 5 sono massimi locali del potenziale (vedi sotto) e che gli altri tre punti sono punti di sella . Solitamente una posizione di equilibrio (determinata dalla cancellazione delle derivate del potenziale) è stabile solo se si trova nei minimi locali del potenziale. Tuttavia, dato che siamo in un sistema di riferimento rotante, il sistema di riferimento non è inerziale . Un oggetto che si muove in questo sistema di riferimento, per esempio in prossimità di una posizione di equilibrio, sarà soggetto alla forza di Coriolis , e il suo movimento non dipende unicamente dalla forma del potenziale. Per studiare la stabilità dei punti di Lagrange è quindi necessario tener conto della forza di Coriolis.

Per calcolare la stabilità dei punti di Lagrange è quindi necessario studiare l'equazione del moto di un oggetto situato in prossimità di uno di questi punti. Notando δR il vettore delle coordinate δX e δY che danno la deviazione di tale oggetto in uno dei punti di Lagrange (che si suppone confinato al piano orbitale), si scrive l'equazione del moto

δR¨=-2ω∧δR˙+δF{\ displaystyle {\ ddot {\ boldsymbol {\ delta R}}} = - 2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ wedge {\ dot {\ boldsymbol {\ delta R}}} + {\ boldsymbol {\ delta f }}},

dove f rappresenta la forza per unità di massa esercitata sull'oggetto. Questa forza è piccola per il fatto che nel punto di Lagrange la forza (composta da una componente gravitazionale e dalla forza centrifuga) è nulla e che ci si avvicina a tale punto. Questa forza può essere calcolata in termini di uno sviluppo limitato. Ad esempio, per il componente X , abbiamo

δFX=FX(0)+∂FX∂XδX+∂FX∂sìδsì{\ displaystyle \ delta f_ {X} = f_ {X} (0) + {\ frac {\ parziale f_ {X}} {\ parziale X}} \ delta X + {\ frac {\ parziale f_ {X}} { \ parziale Y}} \ delta Y}.

Il primo termine corrisponde alla forza esercitata nel punto di Lagrange, forza che per costruzione è nulla. Inoltre, la forza derivante da un potenziale, si possono esprimere le derivate della forza in termini di derivate seconde del potenziale:

δFX=-∂2Ω∂X2δX-∂2Ω∂X∂sìδsì{\ displaystyle \ delta f_ {X} = - {\ frac {\ parziale ^ {2} \ Omega} {\ parziale X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ parziale ^ {2} \ Omega } {\ parziale X \ parziale Y}} \ delta Y}.

Possiamo così esprimere l'equazione del moto in termini di componenti secondo

δX¨=2ωδsì˙-∂2Ω∂X2δX-∂2Ω∂X∂sìδsì{\ displaystyle {\ ddot {\ delta X}} = 2 \ omega {\ dot {\ delta Y}} - {\ frac {\ parziale ^ {2} \ Omega} {\ parziale X ^ {2}}} \ delta X - {\ frac {\ parziale ^ {2} \ Omega} {\ parziale X \ parziale Y}} \ delta Y}, δsì¨=-2ωδX˙-∂2Ω∂X∂sìδX-∂2Ω∂sì2δsì{\ displaystyle {\ ddot {\ delta Y}} = - 2 \ omega {\ dot {\ delta X}} - {\ frac {\ parziale ^ {2} \ Omega} {\ parziale X \ parziale Y}} \ delta X - {\ frac {\ parziale ^ {2} \ Omega} {\ parziale Y ^ {2}}} \ delta Y}.

Questo gruppo di equazioni può essere messo sotto forma di un sistema di quattro equazioni differenziali del primo ordine:

∂∂T(δXδsìδX˙δsì˙)=(00100001-Ω,XX-Ω,Xsì02ω-Ω,Xsì-Ω,sìsì-2ω0)(δXδsìδX˙δsì˙){\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ { \ dot {\ delta Y}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ { , xy} & 0 & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {, yy} & - 2 \ omega & 0 \ end { array}} \ right) \ left ({\ begin {array} { c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ {\ dot {\ delta Y}} \ end {array}} \ destra)},

dove le derivate parziali del potenziale sono state annotate come indice preceduto da una virgola (ad esempio, Ω , xx corrisponde a ). ∂2Ω/∂X2{\ displaystyle \ parziale ^ {2} \ Omega / \ parziale x ^ {2}}

La stabilità del punto di Lagrange considerato si ottiene cercando le soluzioni di questa equazione. Per fare ciò è sufficiente trovare soluzioni di tipo esponenziale , in . Procederemo quindi alla diagonalizzazione della matrice sopra, che sarà indicata con A . Gli autovalori trovati corrisponderanno alle quantità di cui sopra, le deviazioni dalla posizione di equilibrio essendo quindi una certa combinazione di al massimo quattro esponenziali. La stabilità del sistema è assicurata dal fatto che gli esponenziali non aumentano nel tempo, vale a dire che le quantità sono negative o complesse con parti reali negative . Infatti non è necessario diagonalizzare completamente la matrice, è sufficiente trovare gli autovalori, cioè le soluzioni dell'equazione eΓT{\ displaystyle e ^ {\ Gamma t}}

dettaglio(A-λio)=0{\ displaystyle \ det (A- \ lambda I) = 0}.

Questo determinante è scritto

|-λ0100-λ01-Ω,XX-Ω,Xsì,-λ2ω-Ω,Xsì-Ωsìsì-2ω-λ|{\ displaystyle \ left | {\ begin {array} {cccc} - \ lambda & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \ lambda & 0 & 1 \\ - \ Omega _ {, xx} & - \ Omega _ {, xy}, & - \ lambda & 2 \ omega \\ - \ Omega _ {, xy} & - \ Omega _ {yy} & - 2 \ omega & - \ lambda \ end {array}} \ right |},

e ne vale la pena

λ4+(Ω,XX+Ω,sìsì+4ω2)λ2+Ω,XXΩ,sìsì-Ω,Xsì2{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}.

Questa equazione può essere ridotta ad un secondo ordine polinomiale in λ 2 . Le soluzioni dell'equazione di partenza sono quindi due coppie di numeri opposti a due a due. Perché due numeri opposti siano negativi o nulli o quindi abbiano parte reale negativa o nulla, devono necessariamente essere puri numeri immaginari, in modo che le soluzioni dell'equazione in λ 2 siano reali e negative. Perché queste soluzioni siano reali, il discriminante deve quindi essere positivo, o qui or

(Ω,XX+Ω,sìsì+4ω2)2-4(Ω,XXΩ,sìsì-Ω,Xsì2)>0{\ displaystyle (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) ^ {2} -4 (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2})> 0}.

Una volta ottenuto questo, le due soluzioni reali devono essere negative, il che implica che contemporaneamente la loro somma è negativa e il loro prodotto positivo, il che implica

Ω,XX+Ω,sìsì+4ω2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}> 0}, Ω,XXΩ,sìsì-Ω,Xsì2>0{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}> 0}.

La stabilità di un punto di Lagrange è subordinata alla realizzazione di questi tre vincoli. Tra questi vincoli, l'ultimo ha una semplice interpretazione: il segno della grandezza determina se la posizione considerata è un estremo locale o un punto di sella. In questo caso, la positività di tale grandezza implica che essa debba essere un estremo locale, condizione necessaria ma non sufficiente per la stabilità del punto di Lagrange. Quando questa quantità è negativa, abbiamo un punto di sella e il punto di Lagrange è instabile. D'altra parte, più sorprendentemente, un punto di Lagrange può essere stabile se corrisponde a un massimo locale del potenziale, vale a dire che , xx  + Ω , yy può essere negativo, purché tale quantità non superi la valore critico di -4  ω 2 . In pratica, è ciò che avviene in certi casi per i punti di Lagrange L 4 e L 5 . L'interpretazione fisica di questa situazione è che la stabilità è quindi fornita dalla forza di Coriolis. Un oggetto leggermente spostato da tale punto inizialmente si allontanerà radialmente, prima di vedere la sua traiettoria curvata dalla forza di Coriolis. Se il potenziale è ovunque decrescente attorno al punto, allora è possibile che la forza di Coriolis costringa l'oggetto a ruotare attorno al punto di Lagrange, come le nuvole in una depressione che non puntano verso il centro della depressione, ma sono costrette ad un percorso circolare intorno ad esso. Ω,XXΩ,sìsì-Ω,Xsì2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2}}

Ulteriori calcoli Preliminare

Per studiare la stabilità dei punti di Lagrange, si dovranno calcolare le successive derivate del potenziale. Questo potenziale comporta la distanza | r  -  r 1 |. È quindi necessario conoscere le derivate delle diverse potenze di tale quantità. In coordinate cartesiane , questa quantità è scritta

|R-R1|=(X-X1)2+(sì-sì1)2+(z-z1)2{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}}.

La sua derivata rispetto ad una delle coordinate x , y , z , indicate collettivamente x i si scrive quindi

∂io|R-R1|=122(Xio-X1io)(X-X1)2+(sì-sì1)2+(z-z1)2=Xio-X1io|R-R1|{\ displaystyle \ partial _ {i} | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = {\ frac {1} {2}} {\ frac {2 (x_ {i } -x_ {1 \; i})} {\ sqrt {(x-x_ {1}) ^ {2} + (y-y_ {1}) ^ {2} + (z-z_ {1}) ^ {2}}}} = {\ frac {x_ {i} -x_ {1 \; i}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}}}.

La derivata di qualsiasi potenza p di questa quantità è quindi

∂io(|R-R1|P)=P(Xio-X1io)|R-R1|P-2{\ displaystyle \ partial _ {i} (| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {p}) = p (x_ {i} -x_ {1 \; i }) | {\ grassetto {r}} - {\ grassetto {r}} _ {1} | ^ {p-2}}.

Adattando questo risultato alle derivate seconde delle quantità che intervengono nel potenziale, si ha

∂ioJ(1|R-R1|)=-δioJ|R-R1|3+3(Xio-X1io)(XJ-X1J)|R-R1|5{\ displaystyle \ partial _ {ij} \ left ({\ frac {1} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |}} \ right) = - {\ frac {\ delta _ {ij}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ { 1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j})} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}}},

che, per il pieno potenziale, dà

∂ioJΩ=δioJGm1|R-R1|3-3(Xio-X1io)(XJ-X1J)Gm1|R-R1|5+δioJGm2|R-R2|3-3(Xio-X2io)(XJ-X2J)Gm2|R-R2|5-ω2δioJ{\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ delta _ {ij} {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {1 \; i}) (x_ {j} -x_ {1 \; j}) GM_ {1}} {| {\ boldsymbol { r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {5}}} + \ delta _ {ij} {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ grassetto {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 3 {\ frac {(x_ {i} -x_ {2 \; i}) (x_ {j} -x_ {2 \; j}) Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {5}}} - \ omega ^ {2} \ delta _ {ij}},

dove δ ij rappresenta il simbolo di Kronecker . È il valore di queste derivate parziali che è necessario calcolare per determinare la stabilità dei vari punti di Lagrange. È per i punti di Lagrange L 4 e L 5 che questo calcolo è il più semplice.

Caso dei punti di Lagrange L 4 e L 5

Questi punti sono caratterizzati dal fatto che la loro distanza dai due corpi è identica e uguale a R  :

|R-R1|=|R-R2|=R{\ displaystyle | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | = | {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | = R}.

Inoltre, si può usare la terza legge di Keplero per passare quantità del tipo G M  /  R 3 di Ohm , e si sa le coordinate esatte dei punti di Lagrange. Valutando le derivate del potenziale nei punti di Lagrange L 4 o L 5 , si ha

Xio-X1io=(12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {1 \; i} = \ sinistra ({\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ destra )},

e

Xio-X2io=(-12R,±32R){\ displaystyle x_ {i} -x_ {2 \; i} = \ left (- {\ frac {1} {2}} R, \ pm {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R \ Giusto)},

il segno + che fa domanda per L 5 e il segno - per L 4 . Infine, la matrice desiderata ha per componenti

∂ioJΩ=ω2(-34∓334(1-2Q)∓334(1-2Q)-94){\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ omega ^ {2} \ left ({\ begin {array} {cc} - {\ frac {3} {4}} & \ mp {\ frac {3 { \ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) \\\ mp {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {4}} (1-2q) & - {\ frac {9} {4}} \ fine {array}} \ destra)}.

Il determinante di questa matrice è

dettaglio(∂ioJΩ)=Ω,XXΩ,Xsì-Ω,Xsì2=2716(1-(1-2Q)2)ω2=274ω2Q(1-Q){\ displaystyle \ det (\ partial _ {ij} \ Omega) = \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = {\ frac {27} { 16}} \ sinistra (1- (1-2q) ^ {2} \ destra) \ omega ^ {2} = {\ frac {27} {4}} \ omega ^ {2} q (1-q)},

che è sempre positiva poiché q è confinato tra 0 e 1. Questa prima condizione di stabilità è stabilita. La seconda condizione di stabilità è scritta

Ω,XX+Ω,sìsì+4ω2=ω2(-34-94+4)=+ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} = \ omega ^ {2} \ left (- {\ frac {3} {4}} - {\ frac {9} {4}} + 4 \ destra) = + \ omega ^ {2}},

quantità nuovamente positiva. Infine, il discriminante dà

(Ω,XX+Ω,sìsì+4ω2)2-4(Ω,XXΩ,Xsì-Ω,Xsì2)=ω2(1-27Q(1-Q))=ω2(27Q2-27Q+1){\ displaystyle \ left (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2} \ right) ^ {2} -4 \ left (\ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, xy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} \ destra) = \ omega ^ {2} \ sinistra (1-27q (1-q) \ destra) = \ omega ^ {2} (27q ^ {2} -27q + 1)}.

La stabilità del colon è, in definitiva, determinata dalla positività della quantità . Gli zeri q a , q b di questo polinomio sono dati dalla solita formula, che qui indica 27Q2-27Q+1{\ displaystyle 27q ^ {2} -27q + 1}

Qa,B=12±122327{\ displaystyle q_ {a, b} = {\ frac {1} {2}} \ pm {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}}.

Questo polinomio ha quindi valori negativi nell'intervallo . Pertanto, la stabilità di questi due punti di Lagrange è assicurata solo se la massa più piccola non supera il 3,852% della massa totale, o, in modo equivalente, che il rapporto delle due masse non supera il 4,006%. Q∈]12-122327,12+122327[≃]0,03852,0,96148[{\ displaystyle q \ in \ left] {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}}, {\ frac {1 } {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {23} {27}}} \ right [\ simeq] 0, \! 03852,0, \! 96148 [}

Questa condizione è verificata per tutte le configurazioni di tipo Sole-Pianeta (dove q non supera circa un millesimo per Giove), oppure per il sistema Terra-Luna (dove q è dell'ordine di 1/80, cioè 1, 25%).

Caso dei punti di Lagrange da L 1 a L 3

I tre punti di Lagrange da L 1 a L 3 si trovano sull'asse che collega i due corpi. Nella formula che dà le derivate seconde, le quantità y i  -  y 1 i sono zero, mentre i loro analoghi in x sono identificati con le distanze tra uno dei corpi e il punto di Lagrange considerato. Di conseguenza, si scrive la matrice delle derivate seconde

∂ioJΩ=(-2Gm1|R-R1|3-2Gm2|R-R2|3-ω200Gm1|R-R1|3+Gm2|R-R2|3-ω2){\ displaystyle \ partial _ {ij} \ Omega = \ left ({\ begin {array} {cc} -2 {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} - 2 {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3} }} - \ omega ^ {2} & 0 \\ 0 & {\ frac {GM_ {1}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3} }} + {\ frac {Gm_ {2}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3}}} - \ omega ^ {2} \ end { matrice} } \ destra)}.

Il termine Ω , xx è chiaramente negativo. Il segno del determinante della matrice è determinato da quello di Ω , yy  : se quest'ultimo è positivo, allora il punto di Lagrange è un punto di sella ed è instabile. Possiamo riscrivere questo termine usando la terza legge di Keplero:

Ω,sìsì=ω2((1-Q)R3|R-R1|3+QR3|R-R2|3-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r }} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} | ^ {3 }}} - 1 \ destra)}. Il caso di L 1

Il punto di Lagrange  L 1 si trova tra i due corpi. La sua distanza da loro, | r  -  r 1 | e | r  -  r 2 | quindi, ogni volta rigorosamente minore di R . Abbiamo così

Ω,sìsì|L1=ω2((1-Q)R3|R-R1|3+QR3|R-R2|3-1)>ω2((1-Q)+Q-1)=0{\ displaystyle \ left. \ Omega _ {, yy} \ right | _ {L_ {1}} = \ omega ^ {2} \ left ((1-q) {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} | ^ {3}}} + q {\ frac {R ^ {3}} {| {\ boldsymbol {r}} - {\ grassetto {r}} _ {2} | ^ {3}}} - 1 \ destra)> \ omega ^ {2} \ sinistra ((1-q) + q-1 \ destra) = 0}.

Questa quantità è quindi strettamente positiva, il che assicura che il determinante sia negativo, cioè che L 1 sia un punto di sella, il che lo rende un punto instabile.

Il caso di L 2 e L 3

Poniamo, per semplificare le notazioni,

tu1=|R-R1|R{\ displaystyle u_ {1} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {1} |} {R}}}, tu2=|R-R2|R{\ displaystyle u_ {2} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} - {\ boldsymbol {r}} _ {2} |} {R}}}.

Ci interessa quindi il segno della quantità

Ω,sìsìω2=(1-Q)1tu13+Q1tu23-1{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} + q { \ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1},

questo è

Ω,sìsìω2=(1-Q)(1tu13-1)+Q(1tu23-1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {3}}} -1 \ destra) + q \ sinistra ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {3}}} - 1 \ destra)},

sapendo che u 1 e u 2 sono collegati tra loro dal fatto che la loro differenza è uguale a 1 e che definiscono un punto di Lagrange, cioè la relazione

-(1-Q)1tu12-Q1tu22+|R|R=0{\ displaystyle - (1-q) {\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - q {\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} + {\ frac { | {\ grassetto {r}} |} {R}} = 0}.

La distanza dal punto di Lagrange al baricentro del sistema può essere scritta, per il punto L 2 ,

|R|R=tu2+(1-Q)=tu1-Q{\ displaystyle {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = u_ {2} + (1-q) = u_ {1} -q},

relazioni che possono essere combinate in

|R|R=Qtu2+(1-Q)tu1{\ displaystyle {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} |} {R}} = qu_ {2} + (1-q) u_ {1}}.

La posizione del punto L 2 è quindi data da

-(1-Q)(1tu12-tu1)-Q(1tu22-tu2)=0{\ displaystyle - (1-q) \ sinistra ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ destra) -q \ sinistra ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ destra) = 0}.

Allora chiediamo then

A=(1-Q)(1tu12-tu1){\ displaystyle A = (1-q) \ sinistra ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ destra)}, B=Q(1tu22-tu2){\ displaystyle B = q \ sinistra ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ destra)}.

Quindi abbiamo, da un lato

A+B=0{\ stile di visualizzazione A + B = 0},

E d'altra parte

Ω,sìsìω2=Atu1+Btu2{\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {2} }}}.

In altre parole,

Ω,sìsìω2=Atu1+Btu1+B(1tu2-1tu1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = {\ frac {A} {u_ {1}}} + {\ frac {B} {u_ {1} }} + B \ sinistra ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ destra)}.

Il primo termine del membro di destra è zero in virtù della relazione A  +  B  = 0. Rimane quindi

Ω,sìsìω2=B(1tu2-1tu1){\ displaystyle {\ frac {\ Omega _ {, yy}} {\ omega ^ {2}}} = B \ sinistra ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} { u_ {1}}} \ destra)}.

Tuttavia, per il punto L 2 , siamo più vicini al corpo 2 che al corpo 1 . Pertanto, u 2 è minore di u 1 , e quindi è positivo. Il segno della derivata seconda corrisponde quindi a quello di B , che a sua volta è determinato dal valore di u 2  : se tale quantità è maggiore di 1, allora B è negativo, mentre, altrimenti, B è positivo , il che implica che il punto è instabile. Il punto di Lagrange L 2 si trova oltre il corpo 2 . La forza totale (gravitazionale più centrifuga) esercitata in questa regione viene prima rivolta verso il corpo 2 quando ci si avvicina a quest'ultimo, poi si annulla in L 2 e quindi si dirige contro L 2 . Nel punto tale che u 2 è uguale a 1, la componente di tale forza, lungo l'asse che collega i due corpi, è data (fino ad una costante moltiplicativa positiva) da (1tu2-1tu1){\ displaystyle \ sinistra ({\ frac {1} {u_ {2}}} - {\ frac {1} {u_ {1}}} \ destra)} 

δFα-(1-Q)(1tu12-tu1)-Q(1tu22-tu2){\ displaystyle \ delta f \ propto - (1-q) \ left ({\ frac {1} {u_ {1} ^ {2}}} - u_ {1} \ right) -q \ left ({\ frac {1} {u_ {2} ^ {2}}} - u_ {2} \ destra)},

con, qui,

tu2=1{\ displaystyle u_ {2} = 1}, tu1=2{\ displaystyle u_ {1} = 2},

questo è

δF|tu2=1α74(1-Q){\ displaystyle \ left. \ delta f \ right | _ {u_ {2} = 1} \ propto {\ frac {7} {4}} (1-q)}. Essendo questa grandezza strettamente positiva, il punto u 2  = 1 dell'asse si trova oltre il punto L 2 . Di conseguenza, nel punto L 2 , u 2 è minore di 1, quindi B è positivo, quindi il punto è proprio un punto di sella, che ne garantisce l'instabilità. Una dimostrazione strettamente analoga si può fare per il punto L 3 , che completa la dimostrazione della loro instabilità per il loro carattere di punto di sella.  

Tempi caratteristici in L 1 e L 2 per sistemi con grande eterogeneità di massa

Una delle applicazioni più importanti dell'instabilità dei punti di Lagrange, L 1 e L 2 , è che i satelliti artificiali possono essere inviati a questi punti del sistema Terra-Sole (vedi sotto). Per tali satelliti, devono essere applicate regolari correzioni di rotta per mantenere il satellite nelle vicinanze del punto. Questo tempo caratteristico può essere valutato nel caso in cui il rapporto di massa dei due corpi del sistema sia elevato. In questo caso il tempo caratteristico di instabilità γ -1 è dato da

1γ=T2π1+27{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}}}},

dove T è il periodo orbitale del sistema. Nel caso del sistema Terra-Sole, dove T è poco maggiore di 365 giorni, il tempo caratteristico di instabilità è quindi di 23 giorni e 4 ore.

Inoltre, la componente stabile della traiettoria si verifica alla pulsazione

ωTRaJ=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

o, in modo equivalente, con il periodo

TTRaJ=T27-1{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}}},

che, nello stesso caso di cui sopra, prevede un termine di 176 giorni.

Dimostrazione

L'equazione che dà gli autovalori del sistema è sempre

λ4+(Ω,XX+Ω,sìsì+4ω2)λ2+Ω,XXΩ,sìsì-Ω,Xsì2=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} + (\ Omega _ {, xx} + \ Omega _ {, yy} +4 \ omega ^ {2}) \ lambda ^ {2} + \ Omega _ {, xx} \ Omega _ {, yy} - \ Omega _ {, xy} ^ {2} = 0},

con, per i punti L 1 e L 2 ,

Ω,Xsì=0{\ displaystyle \ Omega _ {, xy} = 0}, Ω,XX=-2Ω,sìsì-3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 2 \ Omega _ {, yy} -3 \ omega ^ {2}}, Ω,sìsì=ω2(Qtu23+1-Qtu13-1){\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ left ({\ frac {q} {u_ {2} ^ {3}}} + {\ frac {1-q} {u_ {1 } ^ {3}}} - 1 \ destra)}.

limitandoci ai termini di ordine più basso in q , u 1 è 1 e u 2 è determinato dalla relazione data dalla prima tabella di questa pagina. Abbiamo così

Ω,sìsì=ω2(3+1-1)=3ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, yy} = \ omega ^ {2} \ sinistra (3 + 1-1 \ destra) = 3 \ omega ^ {2}}, Ω,XX=-9ω2{\ displaystyle \ Omega _ {, xx} = - 9 \ omega ^ {2}}.

L'equazione polinomiale diventa allora

λ4-2ω2λ2-27ω4=0{\ displaystyle \ lambda ^ {4} -2 \ omega ^ {2} \ lambda ^ {2} -27 \ omega ^ {4} = 0},

le cui soluzioni sono

λ±2=(1±27)ω2{\ displaystyle \ lambda _ {\ pm} ^ {2} = \ left (1 \ pm 2 {\ sqrt {7}} \ right) \ omega ^ {2}}.

La soluzione positiva di questa equazione indica che le deviazioni del punto di equilibrio crescono esponenzialmente nel tempo secondo la relazione

δXαeλ+T{\ displaystyle \ delta X \ propto e ^ {\ lambda _ {+} t}},

insieme a

λ+=ω1+27=2πT1+27{\ displaystyle \ lambda _ {+} = \ omega {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}} = {\ frac {2 \ pi} {T}} {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}.

Il tempo caratteristico associato è quindi

1γ=1λ+=T2π1+27≃0,0635T{\ displaystyle {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {1} {\ lambda _ {+}}} = {\ frac {T} {2 \ pi {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {7}}}}}} \ simeq 0, \!0635 \; T},

ovvero, come annunciato, un tempo caratteristico dell'ordine dei 23 giorni per i punti di Lagrange della Terra.

Allo stesso modo, esistono traiettorie periodiche la cui pulsazione è data dalle radici complesse dell'equazione, vale a dire

ωTRaJ=ω27-1{\ displaystyle \ omega _ {\ rm {Traj}} = \ omega {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}},

vale a dire un periodo di

TTRaJ=T27-1≃0,4827T{\ displaystyle T _ {\ rm {Traj}} = {\ frac {T} {\ sqrt {2 {\ sqrt {7}} - 1}}} \ simeq 0, \! 4827 \; T}, che corrisponde a un tempo di quasi sei mesi per i punti di Lagrange della Terra.  

La struttura delle orbite in presenza di instabilità

Una volta noti gli autovalori di un punto instabile, una traiettoria in prossimità di un punto di Lagrange sarà una combinazione lineare degli autovettori associati agli autovalori. Osservando λ i uno di questi autovalori, l'autovettore associato è come componenti

Vio=(1μioλioλioμio){\ displaystyle V_ {i} = \ left ({\ begin {array} {c} 1 \\\ mu _ {i} \\\ lambda _ {i} \\\ lambda _ {i} \ mu _ {i } \ fine {array}} \ destra)},

insieme a

μio=-12ω(Ω,XXλ+λ){\ displaystyle \ mu _ {i} = - {\ frac {1} {2 \ omega}} \ left ({\ frac {\ Omega _ {, xx}} {\ lambda}} + \ lambda \ right)},

e una traiettoria è della forma

(δXδsìδX˙δsì˙)=ΣioαioVio{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} \ delta X \\\ delta Y \\ {\ dot {\ delta X}} \\ {\ dot {\ delta Y}} \ end {array} } \ destra) = \ somma _ {i} \ alfa _ {i} V_ {i}},

dove le quantità sono qualsiasi numero determinato dal valore di δX , δY e dalla loro derivata in un dato momento. Nel caso dei tre punti di Lagrange instabili, il determinante della seconda matrice derivata è negativa, il che implica che il discriminante dell'equazione quadratica in λ 2 ha radici reali di segno opposto, e che, al termine, la gli autovalori cercati sono due numeri immaginari puri opposti e due numeri reali opposti. Una traiettoria generica comprende quindi, nel piano orbitale, una componente periodica (legata alle radici pure immaginarie), una componente smorzata (legata alla radice positiva reale), ed una componente instabile. Per una data posizione δX , δY , è sempre possibile scegliere una velocità tale che i due autovettori alle radici reali non contribuiscano alla soluzione corrispondente. La traiettoria ottenuta è quindi periodica, il periodo essendo dato dalla radice complessa. Tale soluzione non è tuttavia stabile. Una piccola deviazione dalla traiettoria aggiungerà effettivamente una componente instabile alla traiettoria, che allontanerà gradualmente la traiettoria dalla sua componente periodica. Diciamo che la traiettoria ottenuta non è dinamicamente stabile. Questa è una generalizzazione del fatto che un oggetto situato esattamente su un punto di Lagrange instabile si trova in una situazione instabile: una piccola deviazione da questa posizione di equilibrio, generata inevitabilmente dai disturbi provocati dagli altri corpi del sistema, finirà per allontanarsi l'oggetto della sua posizione iniziale. Lo stesso accade per le traiettorie situate attorno al punto di equilibrio instabile. αio{\ displaystyle \ alfa _ {i}}

Rilevanza del concetto

Il calcolo di cui sopra si riferisce ad una configurazione in cui i due corpi del sistema si trovano in un'orbita circolare. Tuttavia, il concetto di punto di Lagrange è valido per qualsiasi tipo di orbita, anche ellittica. Possiamo quindi definire questi punti in qualsiasi sistema con due corpi legati gravitazionalmente. D'altra parte, le traiettorie, stabili o instabili, attorno ai vari punti di Lagrange dipendono esplicitamente dalla circolarità o meno dell'orbita dei due corpi del sistema.

Utilizzo nelle missioni spaziali

Lo studio matematico dei punti di Lagrange, così come le loro proprietà matematiche, come le varietà invarianti associate, è stato sfruttato per progettare missioni di sonde spaziali nel sistema solare. Per missioni come Rosetta , Voyager o Galileo , la velocità relativa della sonda rispetto ai corpi considerati è sufficientemente alta per l'approssimazione, considerando che le orbite kepleriane sono solo leggermente disturbate dagli altri corpi all'interno della sfera di influenza, vale. Tuttavia, non appena si considerano le basse velocità e le basse spinte, è necessaria un'approssimazione più fine. Il teorema di Liapounov-Poincaré ci assicura l'esistenza di una famiglia di orbite periodiche attorno a questi punti di equilibrio. Le orbite planari periodiche sono quindi chiamate orbite di Liapunov , mentre nel caso 3D, sono chiamate in base alle loro proprietà topologiche, orbite di Halo o orbite di Lissajous. Si può notare che questo tipo di orbita periodica attorno ai punti di Lagrange è già stata utilizzata nella costruzione di missioni reali come la missione SoHO .

Da queste orbite periodiche attorno ai punti di Lagrange, derivano varietà invarianti ( tubi di Conley-McGee ) che sono separatori della dinamica, e che in questo senso possono essere considerate come correnti gravitazionali . Sempre di più, queste correnti vengono utilizzate per la progettazione di missioni, in particolare con l' Interplanetary Transport Network (ITN) .

I punti Lagrange vengono utilizzati per soddisfare le esigenze specifiche di alcune missioni spaziali:

• Il punto di Lagrange  L 1 del sistema Terra-Sole, situato tra la Terra e il Sole (sebbene molto più vicino al nostro pianeta), permette di osservare il Sole senza interferenze o ombreggiature dalla Terra e dalla Luna. È quindi possibile misurare l'attività solare (eruzioni, cicli, vento solare) senza che essa venga influenzata dalla magnetosfera terrestre . Questa è la posizione ideale per missioni meteorologiche spaziali come quella svolta da SoHO e ACE .
• Il punto di Lagrange  L 2 del sistema Terra-Sole fornisce una grande stabilità termica pur essendo posizionato abbastanza vicino alla Terra (1,5 milioni di km) in modo che i dati raccolti possano essere trasferiti ad alta velocità. . Viene utilizzato in particolare dai grandi osservatori astronomici spaziali lanciati negli ultimi due decenni: Planck , James-Webb , Gaia , Euclide . Questo punto di Lagrange  L 2 è stato utilizzato per la prima volta nel 2018 come intermediario Terra-Luna dal satellite cinese Queqiao . Questo satellite per telecomunicazioni può così ritrasmettere alla Terra i dati raccolti dalla sonda spaziale Chang'e 4 posta sul lato opposto della Luna.

Nel sistema solare

trojan

I punti L 4 e L 5 sono generalmente stabili, quindi ci sono molti corpi naturali, chiamati trojan  :

• nel sistema Sole- Giove ci sono (nel 2011) circa 5.000 asteroidi nei punti L 4 e L 5  ;
• nel sistema Sole- Nettuno , otto;
• nel sistema Sole- Marte , quattro;
• nel sistema Saturno - Tetide , i punti L 4 e L 5 sono occupati rispettivamente da Telesto e Calipso ;
• nel sistema Saturno- Dione , Elena e Polluce occupano questi punti.

Curiosamente, sembrerebbe che il sistema Sole-Saturno non sia in grado di accumulare troiani a causa delle perturbazioni gioviane .

Nel sistema Sole- Terra , lo conosciamo da allora1 ° mese di ottobre 2010un cavallo di Troia al punto L 4 , l'asteroide TK7 2010 , che misura 300 metri di diametro. Alcuni astronomi sottolineano che questo oggetto potrebbe rappresentare un rischio paragonabile ai NEO. Questi autori propongono anche che l'impattore presumibilmente all'origine della Luna ( Théia ) avrebbe stazionato un tempo sul punto L 4 o L 5 e avrebbe accumulato massa prima di essere espulso da esso sotto l'azione degli altri pianeti.

Applicazioni

I punti L 1 e L 2 sono equilibri instabili, il che li rende utilizzabili nell'ambito delle missioni spaziali: non ci sono corpi naturali, e lì può essere mantenuto un equilibrio dinamico per un consumo ragionevole di carburante (il campo gravitazionale essendo debole nelle loro vicinanze ).

Sistema Sole-Terra

I principali vantaggi di queste posizioni, rispetto alle orbite terrestri, sono la loro distanza dalla Terra e la loro esposizione costante al Sole nel tempo. Il punto L 1 è particolarmente adatto per l'osservazione del Sole e del vento solare . Questo punto è stato occupato per la prima volta nel 1978 dal satellite ISEE-3 , ed è attualmente occupato dai satelliti SoHO , DSCOVR , Advanced Composition Explorer e Lisa Pathfinder .

Il punto L 2 è invece particolarmente interessante per le missioni di osservazione del cosmo, che incorporano strumenti molto sensibili che devono essere deviati dalla Terra e dalla Luna, e che operano a temperature molto basse. Attualmente è occupato dai satelliti Herschel , Planck , WMAP , Gaia e dovrebbe essere occupato anche dal JWST nel 2021, Euclid nel 2022 e dal Nancy-Grace-Roman intorno al 2025.

Sistema Terra-Luna

Nell'ambito della missione cinese Chang'e 4 , una sonda spaziale lunare che è atterrata nel 2019 sulla fase nascosta della luna, un satellite relè Quequio è stato posizionato nel punto L 2 per garantire le comunicazioni tra la Terra e la sonda.

Per un certo periodo si è pensato di posizionare un telescopio spaziale nel punto L 4 o L 5 del sistema Terra-Luna, ma questa opzione è stata abbandonata dopo che lì erano state osservate nubi di polvere.

Nella fantascienza

Nella fantascienza, a causa della loro stabilità, i punti L 4 e L 5 del sistema Terra-Luna ospitano spesso gigantesche colonie spaziali. Agli autori di fantascienza e fumetto piace porre un punto Anti-Terra L 3 . Questa idea precede la fisica newtoniana, il che dimostra che è piuttosto irrealistica. Il punto di Lagrange è di interesse solo per un oggetto di massa trascurabile rispetto ai due elementi del sistema, il che non è il caso di un pianeta gemello.

Tra gli autori che hanno utilizzato questi punti nei loro resoconti, John Varley prevede in molti dei suoi romanzi e racconti l'installazione di colonie nei punti di Lagrange dell'insieme Terra-Luna, sfruttando il fatto che un oggetto di piccola massa n ' non avrebbe bisogno di energia per mantenere la sua posizione rispetto alle due stelle. Questo è particolarmente vero nella sua serie chiamata la Trilogia di Gaïa, dove alcuni personaggi principali degli ultimi due volumi provengono da una di queste colonie, "il Covent",

Si trovano anche, spesso in modo secondario, nei racconti (romanzi e racconti) che sono ambientati nel contesto della serie Les Huit Mondes . Nel romanzo Gens de la Lune in particolare, il punto L 5 è il luogo di assemblaggio della navicella spaziale Robert Anson Heinlein che dovrebbe intraprendere un viaggio interstellare, prima che il progetto venga abbandonato e la carcassa della nave venga depositata in una discarica sulla Luna .

Nelle varie opere degli universi di Gundam , le colonie spaziali sono spesso situate in punti di Lagrange, il che le rende importanti posizioni strategiche in questi conflitti orbitali.

Nel film 2010: L'anno del primo contatto di Peter Hyams (1984) (che fa seguito a 2001, Odissea nello spazio ), il gigantesco monolite la cui natura rimane misteriosa viene presentato come posizionato su un punto di Lagrange tra Giove e una delle sue lune , Io.

Note e riferimenti

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• (it) Richard Fitzpatrick, Analytical Classical Dynamics , corso tenuto all'Università del Texas ad Austin See online (versioni pdf e html) .

Vedi anche

Articoli Correlati

• Elenco degli oggetti del Sistema Solare situati in un punto di Lagrange
• Théia

link esterno

• (in) Registri di autorità  :
  • Biblioteca Nazionale di Francia ( dati )
  Libreria del Congresso

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