In algebra lineare, le operazioni elementari su una famiglia di vettori sono manipolazioni algebriche che non modificano le proprietà di indipendenza lineare , né il sottospazio vettoriale generato . Sono facili da descrivere in forma di codice e consentono la scrittura di algoritmi , ad esempio per il calcolo del rango . Ci sono tre operazioni elementari: scambio (trasposizione), moltiplicazione di uno dei vettori per uno scalare diverso da zero (dilatazione) e aggiunta di uno dei vettori a un altro (trasvezione).
La scrittura a matrice facilita notevolmente l'uso di algoritmi. Fornisce inoltre la possibilità di lavorare su sistemi vettore colonna o sistemi vettore riga. Le operazioni elementari sono interpretate come moltiplicazioni per matrici elementari . Mediante l'applicazione sistematica di operazioni elementari ben scelte, è possibile trasformare una matrice in un'altra più semplice (ad esempio, una matrice di forma a gradini ). Secondo le operazioni ammesse, esistono quindi diversi teoremi di riduzione mediante operazioni elementari, che possono essere interpretate matricialmente come proprietà di fattorizzazione.
E ' una famiglia di vettori di uno spazio vettoriale E . Le operazioni elementari su questa famiglia di vettori sono:
Il rango della famiglia e il sottospazio vettoriale generato sono invarianti per operazioni elementari.
Esempio .Una matrice con n righe ep colonne può essere vista come un sistema di n vettori riga o un sistema di p vettori colonna. Le operazioni di base su entrambi i sistemi possono essere descritte utilizzando le lettere L per le righe, C per le colonne, seguite dall'indice.
Quindi, l'operazione "sostituire la riga 2 per 3 volte la riga 2", ovvero moltiplicare la seconda riga per 3.
Allo stesso modo, è l'operazione "aggiungi –3 volte la colonna 1 alla colonna 2".
Infine, viene scritto lo scambio della prima riga con la terza .
Operare sulle righe o sulle colonne porta a risultati abbastanza simili, poiché qualsiasi operazione sulle righe di una matrice A può essere considerata come un'operazione sulle colonne della sua matrice trasposta .
Le operazioni elementari sulle colonne non cambiano il rango della matrice . Essi non modificano la spazio immagine di A sia .
Operazioni di riga elementari non modificano la posizione sia, e conservano il nucleo di A .
Se A è una matrice quadrata, il determinante è esso stesso modificato dallo scambio di righe o colonne (che trasforma il determinante nel suo opposto) o dalla moltiplicazione di una riga o di una colonna per uno scalare (che moltiplica il determinante per lo stesso scalare ).
Ogni operazione elementare è associata ad una matrice elementare tale che moltiplicando A a sinistra per questa matrice si ottiene lo stesso effetto dell'operazione.
Codice operazione | Matrice elementare E | |
Operare sulle righe di una matrice A equivale quindi a moltiplicarla a sinistra per una matrice invertibile , prodotto di matrici elementari.
Allo stesso modo, operare sulle colonne di A equivale a moltiplicarlo a destra per una matrice invertibile.
Lo sfalsamento è un processo di operazione sulle file degli stampi che si traduce in una matrice sfalsata . È utile per calcolare ranghi o determinanti e risolvere sistemi lineari .
Teorema di scala : mediante operazioni elementari sulle righe, qualsiasi matrice può essere trasformata in una matrice in scala. Pertanto, qualsiasi matrice A può essere scritta nella forma A = PE , dove P è una matrice invertibile ed E una matrice in scala.
Il metodo può essere continuato per ottenere un risultato di esistenza e unicità. Mediante operazioni elementari, qualsiasi matrice può essere trasformata in una matrice ridotta in scala , vale a dire una matrice in scala in cui i perni sono uguali a 1 e sono sormontati da 0. Tale scomposizione è quindi unica.
Il vocabolario delle azioni di gruppo consente di segnalare la situazione. Il gruppo lineare di matrici invertibili di ordine p agisce a sinistra per traslazione su . Ogni orbita per questa azione contiene una singola matrice ridotta.
P. Gabriel , Matrici, geometria, algebra lineare , Cassini
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