Nello studio matematici funzioni di più variabili complesse, il nucleo di Bergman , che prende il nome Stefan Bergman , è un kernel riproduzione per la spazio di Hilbert delle funzioni olomorfe di funzione a quadrato sommabile su un dominio D in C n .
In particolare, sia L 2 ( D ) lo spazio di Hilbert delle funzioni quadrate sommabili su D , e sia L 2, h ( D ) il sottospazio formato dalle funzioni olomorfe in D : cioè, diciamo,
dove H ( D ) è lo spazio delle funzioni olomorfe in D . Allora L 2, h ( D ) è uno spazio di Hilbert: è un sottospazio lineare chiuso di L 2 ( D ), e quindi completo . Ciò deriva dalla stima fondamentale, secondo la quale per una funzione olomorfa quadrato sommabile ƒ in D
per qualsiasi sottoinsieme compatto K di D . Allora la convergenza di una successione di funzioni olomorfe in L 2 ( D ) implica convergenza su qualsiasi compatto, e quindi che anche la funzione limite è olomorfa.
Un'altra conseguenza dell'equazione è che, per ogni z ∈ D , la valutazione
è una forma lineare continua su L 2, h ( D ). Dal teorema di rappresentazione di Riesz , questo funzionale può essere rappresentato come un prodotto scalare Hermitiano con un elemento L 2, h ( D ), che può essere scritto:
Il kernel Bergman K è definito da
Il kernel K ( z , ζ) è olomorfo in ze antiolomorfo in ζ, e soddisfa