Notazione (matematica)

Utilizzato in matematica un insieme di notazioni per condensare e formalizzare le affermazioni e le dimostrazioni . Queste notazioni sono emerse gradualmente nel corso della storia della matematica e dell'emergere di concetti associati a queste notazioni. Non sono completamente standardizzati.

Quando vengono date due traduzioni di una notazione, una è la traduzione parola per parola e l'altra è la traduzione naturale .

Questo articolo tratta delle notazioni matematiche latine . Esistono altre notazioni matematiche non latine come la notazione matematica araba moderna  (en) .

Ci sono anche notazioni matematiche destinate ai non vedenti.

introduzione

Come ogni linguaggio formale , una notazione matematica mira a rimuovere l'ambiguità (in particolare linguistica) di una proposizione scomponendola in un insieme limitato di simboli la cui disposizione può avere un solo significato.

Ad esempio, per dire che è un , usa: . X{\ stile di visualizzazione x}X=1{\ stile di visualizzazione x = 1}

Questo linguaggio scientifico permette anche, in misura minore, di facilitare la comunicazione tra matematici che non parlano la stessa lingua. Se non sostituisce completamente il linguaggio naturale , consente di esprimere i concetti matematici più complessi in una forma pressoché identica secondo molte lingue e culture, evitando così fraintendimenti sui concetti matematici, da parte di persone che non padroneggiano non tutte le grammatiche e sottigliezze sintattiche del linguaggio di comunicazione utilizzato.

Anche all'interno della famiglia culturale che utilizza la notazione matematica latina , alcuni concetti di linguaggio formale rimangono, tuttavia, specifici di un dato pool linguistico. Così, nella letteratura matematica francofona, l'asserzione significa "  l'insieme A è un sottoinsieme di B o è uguale a B  " mentre nella letteratura matematica anglofona, significherà piuttosto "  l'insieme A è un sottoinsieme" .serie rigorosa di B  ”. A⊂B{\ stile di visualizzazione A \ sottoinsieme B}

Il seguente elenco di simboli non è esaustivo. Tuttavia, tutti i simboli qui presentati sono usati universalmente nella letteratura matematica in lingua francese.

Operatori logici

• ¬{\ displaystyle \ negativo}, no .
• ∧{\ displaystyle \ terra}, e .
• ∨{\ displaystyle \ lor}, o .
• ⇒{\ displaystyle \ Freccia destra}, implica .
• ⇔{\ displaystyle \ Leftrightarrow}, è equivalente a .

Imposta

Un insieme rappresenta una raccolta di oggetti. Gli oggetti della collezione sono gli elementi dell'insieme.

Definizione di un insieme

Un insieme può essere definito:

• in comprensione , cioè da una proprietà caratteristica tra gli elementi di un dato insieme. per esempio{non∈NON|non paior}{\ displaystyle \ {n \ in \ mathbb {N} \ mid n \ {\ rm {coppia \}}}} (l'insieme di tutti gli interi pari);
• come immagine diretta . Ad esempio, viene scritto anche l'insieme precedente{2m|m∈NON}.{\ displaystyle \ {2m \ mid m \ in \ mathbb {N} \}.}

Relazioni sugli insiemi

• ∈{\ displaystyle \ in}, appartenenza .
  • n appartiene all'insieme dei numeri naturali.
  • n è un numero naturale.

non∈NON{\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}

L'appartenenza è una relazione che lega un elemento e un tutto.

• ⊂{\ displaystyle \ sottoinsieme}, inclusione .
  • Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}è incluso in .Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}
  • Gli interi relativi sono numeri razionali.

Z⊂Q{\ displaystyle \ mathbb {Z} \ subset \ mathbb {Q}}

Un insieme è incluso in un altro se e solo se tutti i suoi elementi sono elementi dell'altro.

Operazioni sui set

• ⋂ , intersezione .
• ∪, unione .

I soliti set

• NON{\ displaystyle \ mathbb {N}}oppure N , insieme di numeri naturali .
• Z{\ displaystyle \ mathbb {Z}}o Z , insieme di numeri interi relativi .
• D{\ displaystyle \ mathbb {D}}o D , insieme di numeri decimali .
• Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}o Q , l'insieme dei razionali .
• R{\ displaystyle \ mathbb {R}}o R , insieme di numeri reali .
• R+{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}, insieme di numeri reali positivi o nulli.
• R-{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {-}}, insieme di numeri reali negativi o nulli.
• VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}o C , insieme di numeri complessi .
• H{\ displaystyle \ mathbb {H}}o H , insieme di quaternioni .
• P{\ displaystyle \ mathbb {P}}o P , insieme di numeri primi .
• NON*,Z*,D*,Q*,R*,R+*,R-*,VS*{\ displaystyle \ mathbb {N} ^ {*}, \ mathbb {Z} ^ {*}, \ mathbb {D} ^ {*}, \ mathbb {Q} ^ {*}, \ mathbb {R} ^ { *}, \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ mathbb {R} _ {-} ^ {*}, \ mathbb {C} ^ {*}}, gli stessi insiemi privati ​​di zero.
• A×{\ stile di visualizzazione A ^ {\ volte}}, insieme di elementi invertibili di un anello . Ad esempio, e , mentre if è un campo (come , o ) ,.A{\ stile di visualizzazione A}Z×={-1,1}{\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {\ volte} = \ {- 1,1 \}}D×={±2a5b|a,b∈Z}{\ displaystyle \ mathbb {D} ^ {\ times} = \ {\ pm 2 ^ {a} 5 ^ {b} \ mid a, b \ in \ mathbb {Z} \}}A{\ stile di visualizzazione A}Q{\ displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}A×=A*{\ displaystyle A ^ {\ volte} = A ^ {*}}

quantificatori

Vedere il calcolo dei predicati per un punto di vista più teorico su queste notazioni.

Per tutto

Valutazione

∀{\ displaystyle \ forall}, per tutto , qualunque cosa .

Esempi

• ∀non(non∈NON⇒non≥0){\ displaystyle \ forall n \, (n \ in \ mathbb {N} \ Rightarrow n \ geq 0)} Qualunque sia n intero naturale, n è maggiore o uguale a zero. NON{\ displaystyle \ mathbb {N}} è ridotto di zero.
• ∀non∈NONnon≥0{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad n \ geq 0} Forma condensata.
• ∀a∈R((a≤0∧a≥0)⇒a=0){\ displaystyle \ forall a \ in \ mathbb {R} \, \ left ((a \ leq 0 \ land a \ geq 0) \ Rightarrow a = 0 \ right)} Per ogni a reale, se a è minore o uguale a zero e se a è maggiore o uguale a zero, allora a è zero. Qualsiasi reale, sia maggiore o uguale a zero che minore o uguale a zero, è zero.

Esiste

Valutazione

∃{\ displaystyle \ esiste}, c'è (almeno uno).

Esempi

• ∃nonnon∈NON{\ displaystyle \ esiste n \ quad n \ in \ mathbb {N}} C'è un elemento inNON{\ displaystyle \ mathbb {N}} . NON{\ displaystyle \ mathbb {N}} non è vuoto.
• ∃X(X∈R∧X≥1){\ displaystyle \ esiste x \, \ left (x \ in \ mathbb {R} \ land x \ geq 1 \ right)} Esiste un x reale tale che x è maggiore o uguale a uno . R{\ displaystyle \ mathbb {R}} non è aumentato di 1.
• ∃X∈RX≥1{\ displaystyle \ esiste x \ in \ mathbb {R} \ quad x \ geq 1} Forma condensata.

Esempi generali

• ∀non∈NON∃m∈NONm≥non{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ esiste m \ in \ mathbb {N} \ quad m \ geq n} Per ogni numero naturale n esiste un altro numero naturale m tale che m sia maggiore o uguale a n. Qualsiasi numero naturale è minore o uguale ad almeno un altro numero naturale.
• ∃m∈NON∀non∈NONm≥non{\ displaystyle \ esiste m \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad m \ geq n} Esiste un numero naturale m tale che per ogni numero naturale n, m è maggiore o uguale a n. NON{\ displaystyle \ mathbb {N}}è aumentato .

Noteremo quindi che l'ordine dei quantificatori è importante: la prima proposizione è vera, l'altra è falsa.

• ∀(a,l)∈R2∃f:R→R∀ε∈R+*∃α∈R+*∀X∈[a-α,a+α]|f(X)-l|≤ε{\ displaystyle \ forall (a, l) \ in \ mathbb {R} ^ {2} \ quad \ esiste f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} \ quad \ forall \ epsilon \ in \ mathbb { R} _ {+} ^ {*} \ quad \ esiste \ alpha \ in \ mathbb {R} _ {+} ^ {*} \ quad \ forall x \ in [a- \ alpha, a + \ alpha] \ quad | f (x) -l | \ leq \ epsilon} Per tutti i numeri reali a e l esiste una mappa f di in tale che f limiti l in aR{\ displaystyle \ mathbb {R}}R{\ displaystyle \ mathbb {R}} .

C'è un unico

La notazione significa che c'è un unico ... (o c'è uno e solo ... ). Questo quantificatore è definito dai quantificatori precedenti e dall'uguaglianza. Per P (x) una proprietà di x  : ∃!{\ displaystyle \ esiste!}

! x P ( x ) è equivalente per definizione a ∃ x [P ( x ) ∧ ∀ y (P ( y ) ⇒ y = x )] Esiste un unico x che soddisfa P (x) è equivalente a Esiste x che soddisfa P (x) e qualunque cosa y soddisfi P (y) allora y = x.

o equivalente:

! x P ( x ) è equivalente a ∃ x P ( x ) ∧ ∀ x ∀ y [(P ( x ) ∧ P ( y )) ⇒ y = x ].Esempio ∀X∈R* ∃!sì∈R* Xsì=1{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ \ esiste! y \ in \ mathbb {R} ^ {*} \ xy = 1} Per ogni x reale diverso da zero, esiste un unico reale y diverso da zero tale che il prodotto xy è uguale a 1. In altre parole, x ammette un unico inverso per la moltiplicazione.

Simboli aritmetici

Questi simboli vengono utilizzati per semplificare la scrittura di lunghe serie (ad esempio evitando l'uso di linee tratteggiate). Usiamo in ognuno di questi casi una variabile chiamata variabile fittizia che assumerà valori in un insieme preciso. Questa variabile fittizia consentirà quindi la descrizione di un termine generico posto dopo il simbolo.

Somma

Σ{\ displaystyle \ somma}(Lettera greca: sigma maiuscolo)Esempi

• Se è un intero strettamente positivo:non{\ stile di visualizzazione n}

ΣK=1nonK2=12+22+32+42+...+non2=non(non+1)(2non+1)6{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + \ ldots + n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}} Ecco la variabile fittizia, prende i suoi valori nell'insieme (insieme di interi). Il termine generale per questa somma è .K{\ stile di visualizzazione k}[1,non]{\ stile di visualizzazione [1, n]}K2{\ stile di visualizzazione k ^ {2}}

• Ω{\ displaystyle \ Omega} essendo l'insieme degli interi pari positivi

ΣK∈Ω, K<50K2=ΣK=024(2K)2{\ displaystyle \ sum _ {k \ in \ Omega, \ k <50} k ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {24} (2k) ^ {2}} A sinistra dell'uguaglianza, appartiene a un insieme definito da due condizioni: i suoi elementi sono anche interi positivi e sono strettamente minori di 50K{\ stile di visualizzazione k}

• Esempio di somma infinita:

∀X∈R, ΣK=0∞XKK!=eX{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {k}} {k!}} = e ^ {x}} Avremmo potuto scrivere in modo meno condensato: 1+X+X22!+X33!+⋯+XKK!+⋯=eX{\ displaystyle 1 + x + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + \ punti + {\ frac {x ^ {k } } {k!}} + \ punti = e ^ {x}}

Per convenzione, una somma indicizzata dall'insieme vuoto è zero.

Prodotto

Π{\ displaystyle \ prod}(Lettera greca: Pi maiuscolo)

Questo simbolo viene utilizzato in modo analogo al simbolo della somma.

Esempio ΠK=1nonesp⁡(K2)=esp⁡(ΣK=1nonK2)=esp⁡(non(non+1)(2non+1)6){\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ exp (k ^ {2}) = \ exp \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2} \ right) = \ exp \ sinistra ({\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} \ destra)} Avremmo potuto scrivere in modo meno condensato: esp⁡(12)⋅esp⁡(22)⋅esp⁡(32)⋅...⋅esp⁡(non2)=esp⁡(non(non+1)(2non+1)6){\ displaystyle \ exp (1 ^ {2}) \ cdot \ exp (2 ^ {2}) \ cdot \ exp (3 ^ {2}) \ cdot \ ldots \ cdot \ exp (n ^ {2}) = \ exp \ sinistra ({\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} \ destra)}

Per convenzione, un prodotto indicizzato dall'insieme vuoto vale 1.

Fattoriale

!{\ stile di visualizzazione!} (punto esclamativo)

Questo è un caso speciale di un prodotto:

non!=Π1≤K≤nonK{\ displaystyle n! = \ prod _ {1 \ leq k \ leq n} k}

(dove n e k sono interi assunti implicitamente ).

In altre parole,

se l'intero n è strettamente positivo: non!=1×2×3⋯×non{\ displaystyle n! = 1 \ volte 2 \ volte 3 \ punti \ volte n} se è negativo o zero, n  ! = 1.

Note e riferimenti

1. Composizione di testi scientifici - Testo presentato da National Education (Francia) per uniformare le materie d'esame, p. 3.
2. Con la definizione del prodotto vuoto; in realtà, preferiamo mantenere n ! indefinito se n è negativo, per mantenere l'equazione funzionale; vedere la funzione Gamma

Vedi anche

Bibliografia

• (it) Florian Cajori, A History of Mathematical Notations , Dover Publications ,1993, 820  pag. ( ISBN  978-0-486-67766-8 , leggi online )

Articoli Correlati

• Tabella dei simboli matematici
• Elenco delle abbreviazioni in matematica
• Logica matematica

link esterno

• Regole francesi della tipografia matematica  : come scrivere un documento matematico in francese che sia tipograficamente corretto

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