n -sfera
In geometria , l' ipersfera è una generalizzazione della sfera a uno spazio euclideo di qualsiasi dimensione . Costituisce uno degli esempi più semplici di varietà e la sfera di dimensione n , o n -sfera , è più precisamente un'ipersuperficie dello spazio euclideo , notata in generale .
Rnon+1{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}
Snon{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
Definizione
Sia E uno spazio euclideo di dimensione n + 1, A un punto di E e R un numero reale strettamente positivo. Ipersfera chiamato centro A e raggio R l'insieme dei punti M la cui distanza di A è R .
Dato un sistema di coordinate ortonormali affine , anche se si tratta di effettuare una traslazione , che non cambia nulla nelle proprietà geometriche, è possibile ridurre ad un'ipersfera centrata all'origine, la cui equazione viene poi scritta
∑io=1non+1Xio2=R2{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n + 1} x_ {i} ^ {2} = R ^ {2}}
.
Per esempio :
- per il caso n = 0, l'ipersfera è costituita da due rispettivi punti di ascisse R e - R ;
- per il caso n = 1, l'ipersfera è un cerchio ;
- per il caso n = 2, l'ipersfera è una sfera nel senso usuale.
(Per una parametrizzazione dell'ipersuperficie così definita, vedere " Coordinate ipersferiche ".)
Proprietà
Volume
Il volume (o, più precisamente, la misura di Lebesgue ) dello spazio delimitato da un'ipersfera di dimensione n - 1 e raggio R , che è una sfera euclidea di dimensione n , è uguale a:
Vnon=πnon/2RnonΓ(non/2+1){\ displaystyle V_ {n} = {\ pi ^ {n / 2} R ^ {n} \ over \ Gamma (n / 2 + 1)}}
,
dove indica la funzione gamma . In particolare abbiamo:
Γ{\ displaystyle \ Gamma}
|
n pari |
n dispari
|
|---|
Vnon{\ displaystyle V_ {n}} |
πnon2Rnon(non2)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {\ left ({\ frac {n} {2}} \ right)!}}} |
2(non+1)/2πnon-12Rnon1⋅3⋅⋯⋅non{\ displaystyle 2 ^ {(n + 1) / 2} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n-1} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdot \ dots \ cdot non}}}
|
|---|
Nella tabella seguente sono riportati i valori di volume dei primi 8 palline di dimensione n e raggio 1:
| non |
Valore del volume
|
|---|
| esatto |
si avvicinò
|
|---|
| 1 |
2{\ displaystyle 2} |
2{\ displaystyle 2}
|
| 2 |
π{\ displaystyle \ pi} |
3.14159{\ displaystyle 3 {,} 14159}
|
| 3 |
43π{\ displaystyle {\ frac {4} {3}} \ pi} |
4.18879{\ displaystyle 4 {,} 18879}
|
| 4 |
12π2{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ pi ^ {2}} |
4.93480{\ displaystyle 4 {,} 93480}
|
| 5 |
815π2{\ displaystyle {\ frac {8} {15}} \ pi ^ {2}} |
5.26379{\ displaystyle 5 {,} 26379}
|
| 6 |
16π3{\ displaystyle {\ frac {1} {6}} \ pi ^ {3}} |
5.16771{\ displaystyle 5 {,} 16771}
|
| 7 |
16105π3{\ displaystyle {\ frac {16} {105}} \ pi ^ {3}} |
4.72478{\ displaystyle 4 {,} 72478}
|
| 8 |
124π4{\ displaystyle {\ frac {1} {24}} \ pi ^ {4}} |
4.05871{\ displaystyle 4 {,} 05871}
|
Il volume di una tale palla è massimo per n = 5. Per n > 5, il volume diminuisce all'aumentare di n e il suo limite all'infinito è zero:
limnon→∞Vnon=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} V_ {n} = 0}
.
L' ipercubo circoscritto all'unità ipersfera ha bordi di lunghezza 2 e volume di 2 n ; il rapporto tra i volumi di una palla e l'ipercubo inscritto (lateralmente ) aumenta in funzione di n .
2/non{\ displaystyle 2 / {\ sqrt {n}}}
La zona
L' area dell'ipersfera di dimensione n −1 e raggio R può essere determinata prendendo la derivata rispetto al raggio R del volume V n :
Snon-1=dVnondR=nonVnonR=2πnon2Rnon-1Γ(non2){\ displaystyle S_ {n-1} = {\ frac {\ mathrm {d} V_ {n}} {\ mathrm {d} R}} = {\ frac {nV_ {n}} {R}} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n-1}} {\ Gamma ({\ frac {n} {2}})}}}
.
Snon=2πnon+12RnonΓ(non+12){\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}} )}}}
.
|
n pari |
n dispari
|
|---|
Snon{\ displaystyle S_ {n}} |
2non2+1πnon2Rnon1⋅3⋯(non-1){\ displaystyle 2 ^ {{\ frac {n} {2}} + 1} {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n} {2}} R ^ {n}} {1 \ cdot 3 \ cdots ( n-1)}}} |
πnon+12Rnon12(non-12)!{\ displaystyle {\ frac {\ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}} R ^ {n}} {{\ frac {1} {2}} \, \ left ({\ frac {n- 1} {2}} \ right)!}}}
|
|---|
La sfera di n unità ha quindi per area:
Snon{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
2πnon+12Γ(non+12) .{\ displaystyle {\ frac {2 \ pi ^ {\ frac {n + 1} {2}}} {\ Gamma ({\ frac {n + 1} {2}})}} ~.}
La tabella seguente fornisce i valori dell'area delle prime 7 n sfere di raggio 1:
| non |
La zona Snon{\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}
|
|---|
| esatto |
si avvicinò
|
|---|
| 1 |
2π{\ displaystyle 2 \ pi} |
6.28318{\ displaystyle 6 {,} 28318}
|
| 2 |
4π{\ displaystyle 4 \ pi} |
12.56637{\ displaystyle 12 {,} 56637}
|
| 3 |
2π2{\ displaystyle 2 \ pi ^ {2}} |
19.73920{\ displaystyle 19 {,} 73920}
|
| 4 |
83π2{\ displaystyle {\ frac {8} {3}} \ pi ^ {2}} |
26.31894{\ displaystyle 26 {,} 31894}
|
| 5 |
π3{\ displaystyle \ pi ^ {3}} |
31.00627{\ displaystyle 31 {,} 00627}
|
| 6 |
1615π3{\ displaystyle {\ frac {16} {15}} \ pi ^ {3}} |
33.07336{\ displaystyle 33 {,} 07336}
|
| 7 |
13π4{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} \ pi ^ {4}} |
32.46969{\ displaystyle 32 {,} 46969}
|
L'area della n- sfera unitaria è massimo per n = 6. Per n > 6, l'area diminuisce con n aumenta e il suo limite all'infinito è zero:
limnon→∞Snon=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} = 0}
.
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