Metodo Laguerre

Nell'analisi numerica , il metodo di Laguerre è un algoritmo per trovare uno zero di una funzione polinomiale . In altre parole, può essere utilizzato per trovare un valore approssimativo di una soluzione di un'equazione della forma p ( x ) = 0, dove p è un dato polinomio.

Principio

Sia p un polinomio. Sia x 0 un valore reale assunto come un valore approssimativo di una radice di p .

Il metodo di Laguerre tenta di migliorare questa prima approssimazione con un metodo iterativo utilizzando la relazione ricorrente :

x_ {k + 1} = x_k - \ frac {n} {S_1 (x_k) \ pm \ sqrt {(1-n) (nS_2 (x_k) + S_1 ^ 2 (x_k))}},

in cui il simbolo ± nel denominatore è sostituito da + o - a seconda del quale dà un denominatore con il massimo modulo possibile.

Inoltre, n denota il grado del polinomio p , S 1 e S 2 sono la prima e la seconda derivata logaritmica di p , data da

S_1 (x) = \ frac {d} {dx} \ log p (x) = \ frac {p '(x)} {p (x)}

S_ {2} (x) = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ log p (x) = {\ frac {p '' (x)} {p (x)} } - \ left ({\ frac {p '(x)} {p (x)}} \ right) ^ {2}.

Proprietà

Se x è una semplice radice del polinomio p , il metodo di Laguerre avrà una velocità di convergenza cubica quando il valore approssimativo iniziale x 0 è abbastanza vicino alla radice x . Tuttavia, se x è una radice multipla , la convergenza sarà solo lineare.

Ciò significa che il metodo di Laguerre converge ancora più velocemente del metodo di Newton . Tuttavia, il metodo di Laguerre richiede il calcolo della derivata prima e seconda di p , mentre il metodo di Newton richiede solo una derivata.

Il metodo di Laguerre funziona anche per polinomi con coefficienti reali che hanno radici complesse. Anche se il valore approssimativo iniziale è reale, il metodo fornirà valori approssimativi complessi quando l'espressione sotto la radice diventa negativa. Questa è la grande differenza con il metodo di Newton, che in questo caso darà sempre soluzioni reali.

Riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato “ Il metodo di Laguerre ” ( vedi la lista degli autori ) .
(en) S. Goedecker, Remark on Algorithms to Find Roots of Polynomials , SIAM J. Sci. Comput. 15 (5) , 1059-1063 (settembre 1994).
(en) Wankere R. Mekwi (2001). Metodi iterativi per le radici dei polinomi . Tesi di Master, Università di Oxford.
(it) VY Pan, Solving a Polynomial Equation: Some History and Recent Progress , SIAM Rev. 39 (2) , 187–220 (giugno 1997).

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