Un modello matematico è una traduzione di un'osservazione per applicare ad essa strumenti, tecniche e teorie matematiche e quindi generalmente, al contrario, la traduzione dei risultati matematici ottenuti in previsioni o operazioni nel mondo reale.
Un modello si riferisce sempre a ciò che si spera di dedurne. Lo stesso oggetto, ad esempio un topo, non sarà modellato allo stesso modo a seconda che ci interessiamo
Allo stesso modo, un modello non è mai perfetto, né totalmente rappresentativo della realtà: la scelta dei parametri e delle relazioni che li legano ne illumina la finalità. All'interno di uno stesso modello, la scelta dei valori dei parametri può consentire di cogliere vari aspetti, o anche realtà diverse.
Anche quando l'obiettivo è fissato, ci sono spesso diversi modelli possibili, ognuno dei quali presenta vantaggi specifici.
“In ogni modellazione, esiste una scelta a priori dell'ambiente matematico utilizzato per descrivere tutti i fenomeni. La formulazione raramente si identifica con le manifestazioni fisiche reali. "
Quindi in fisica conviene usare uno spazio euclideo tridimensionale, o uno spazio "curvo", o uno spazio a 4, 5, 11 o 26 dimensioni , o uno spazio di Hilbert , ecc. Sebbene sia generalmente possibile mostrare una grande vicinanza di queste diverse rappresentazioni, esse risultano tuttavia più o meno adatte alla situazione considerata. Queste formulazioni teoriche rimangono modelli utili per comprendere la realtà, ma ne sono diverse. Ad esempio, quando un fisico dichiara che "l'universo si sta espandendo", si deve intendere che afferma implicitamente che "in relazione al mio quadro matematico, tutto accade come se...". Un altro fisico può affermare che "l'universo non si espande": possono concordare perfettamente se le formulazioni matematiche sono distinte.
La stessa osservazione vale per altri campi, in particolare per i modelli economici e contabili, i cui risultati e le conseguenti decisioni hanno conseguenze economiche e fiscali significative: l'archetipo del modellismo economico è il catasto fiscale e le basi della tassazione immobiliare, che tutti sa bene che sono "false", vale a dire che riflettono solo in modo imperfetto il valore reale che dovrebbe fungere da riferimento.
Tutto questo senza tralasciare la realtà: sebbene un modello di ingegneria civile per la realizzazione di un ponte garantisca la robustezza della struttura, non è escluso che finisca per crollare (d'altronde, se il modello indica che tale variante è troppo debole, sarebbe sciocco eseguirlo).
La modellazione può essere praticata
Questi modelli matematici vengono utilizzati per anticipare eventi o situazioni, come prevedere il tempo con il tempo , stimare potenziali prezzi di attività finanziarie con modelli di valutazione in finanza o prevenire epidemie. Si tratta di modelli predittivi , in cui variabili note, dette “esplicative”, verranno utilizzate per determinare variabili incognite, dette “da spiegare”.
In questo caso, i modelli vengono utilizzati per rappresentare i dati storici. Stiamo parlando di modelli descrittivi . L'obiettivo è quello di riportare, in modo interpretabile, una massa di informazioni. L'archetipo di questi modelli è la contabilità : essa descrive in modo semplificato gli eventi economici reali assegnando loro un conto, cioè una "etichetta" che dovrebbe caratterizzarli. Questi conti vengono poi aggregati per presentare la situazione economica delle aziende e dei paesi in modo standard.
I due tipi di modelli sono perfettamente collegati: una buona previsione presuppone almeno la previsione della situazione passata e attuale, vale a dire una buona descrizione. Viceversa, una buona descrizione sarebbe perfettamente inutile se non servisse almeno come diagnosi, o come mappa, per identificare il percorso da seguire.
Lo stesso modello matematico può essere applicabile a molte situazioni, non avendo necessariamente una relazione ovvia. Ad esempio, i generatori di paesaggi sono in grado di creare forme realistiche di oggetti diversi come montagne, alberi, rocce, erba, conchiglie o fiocchi di neve, con un modello generale, quindi lo stesso, che i processi di crescita e costruzione dei suoi oggetti sono molto diversi . Se, invece di creare un nuovo modello, riusciamo a mettere in relazione un problema con un vecchio modello noto, otteniamo immediatamente una massa di dati molto utili. Gran parte del lavoro consiste quindi nel riconoscere l'applicazione di un modello noto o nell'estendere le proprietà note di una classe di modelli particolarmente utile (una proprietà che può quindi essere utilizzata più ampiamente).
Georges Matheron distingue:
Georges Matheron definisce diversi livelli di descrizione di un modello:
Un modello panscopico cercherà un alto grado di specificazione (avendo un gran numero di criteri di specificazione); viceversa, un modello monoscopico cercherà le ipotesi anticipatorie più deboli, e quindi un debole grado di specificazione.
I modelli sono operativi solo in alcune aree. Si parlerà di soglia di robustezza (del dato, specifico, di tipo) e di realismo per qualificare i limiti entro i quali il modello è in ragionevole adeguatezza alla realtà, oppure di soglia di oggettività quando il modello non può più fornire un'affermazione rilevante.
In via preliminare, è importante comprendere che la complessità matematica non è un criterio sufficiente per giudicare se un modello è rilevante o meno: esistono classi di modelli che fanno appello a strumenti matematici complessi, come la ricerca operativa o la teoria dei giochi ; altre classi, ad esempio la contabilità , hanno un approccio matematico infantile (addizione, sottrazione). Ma, con risultati comparabili, è ovviamente il modello più semplice che è preferibile.
Un modello è rilevante:
Un modello è rilevante anche se è:
Non c'è dubbio in un articolo così breve di presentare una metodologia applicabile a tutte le situazioni (se ce n'è una!), ma pochi punti essenziali.
1. Il punto di partenza è sempre una domanda che ci poniamo riguardo ad una situazione futura e/o talmente complessa da non trovare la risposta in modo scontato.
Ad esempio: la mia attività è redditizia? Questo materiale vale il prezzo richiesto? Questo farmaco è efficace? Cosa bisogna fare per migliorare la situazione?2. Per trovare la risposta, è necessario limitare la portata del problema cercando i dati che immaginiamo abbiano un legame diretto con la domanda. Limitare troppo rischia di non modellare un fenomeno che ha peso nel contesto, ma aprire troppo porta ad una dispersione di risorse e ad un accumulo di dati irrilevanti che devono essere scartati giustificando le scelte. Questo passaggio è il più delicato per la qualità del modello: è soggetto all'a priori del modellatore, alla sua mancanza di conoscenza - a volte di metodo - e ai mezzi a sua disposizione (tempo, denaro, accesso ai dati) . Durante questo passaggio, scegliamo il tipo di modello generale che utilizzeremo, in particolare in base ai dati che pensiamo di avere.
3. Il modello deve quindi essere costruito :
È qui che entrano in gioco strumenti matematici e informatici, che consentono di filtrare e costruire con un minimo di soggettività in un minimo di tempo.
4. Il restante “substrato” costituisce il modello, insieme di regole o equazioni . Queste regole devono essere descritte nel modo più completo possibile: la loro importanza relativa, i dati di input e output, gli strumenti matematici utilizzati, i passaggi da seguire, i punti di controllo.
5. L'ultimo passaggio consiste nella validazione del modello : applicando le regole del modello ai dati filtrati, troviamo la situazione iniziale? Se la differenza è troppo grande, è necessario porsi la questione dei limiti che sono stati fissati, o della rilevanza degli strumenti utilizzati per la modellazione.
Si tratta essenzialmente di strumenti statistici e probabilistici, calcoli differenziali (equazioni differenziali parziali e ordinarie). Più precisamente,