Equazione

In matematica , e più particolarmente in algebra , l' equazione designa la trasformazione di un problema, espresso in linguaggio ordinario, o proveniente da un altro ramo della scienza o della tecnologia, in un'equazione (o più equazioni a seconda della complessità del problema iniziale). Questa trasformazione rende finalmente possibile utilizzare i metodi della teoria delle equazioni per risolvere il problema iniziale.

Per estensione, "equiparare" può denotare qualsiasi matematizzazione di un fenomeno che porta a vari tipi di formule matematiche, ad esempio a equazioni differenziali oa derivate parziali . L'equazione di un fenomeno si verifica comunemente in tutte le scienze e tecniche ed è collegata alla modellazione .

In Francia, l'iniziazione all'equazione ordinaria viene affrontata dal livello universitario e svolge un ruolo importante nel programma di matematica dell'istruzione secondaria.

Le quattro fasi dell'equazione

I manuali distinguono quattro fasi nell'equazione di un problema:

Scelta dell'ignoto (o degli incogniti) : Si tratta di decidere quale quantità nell'enunciato del problema sarà rappresentata da un simbolo algebrico e usata come sconosciuta. In problemi semplici, scegliamo direttamente la quantità (o le quantità) il cui problema richiede il valore. In problemi più complessi può essere opportuno scegliere diversamente le incognite, in modo da semplificare le equazioni da risolvere.
Equazione propriamente detta : consiste nell'esprimere tutti i dati rilevanti del problema in funzione dell'ignoto (o incognito), in modo da ottenere una o più equazioni.
Risoluzione di equazioni : è puramente matematica, nel senso che si applicano al caso studiato le regole del calcolo algebrico e le procedure di risoluzione generalmente stabilite.
Verifica : i valori (o l'equazione / i risultante / e, a seconda del tipo di problema) trovati nella terza fase, se necessario ri-trascritti nella lingua del problema, devono essere soluzioni del problema di partenza.

Vantaggi del processo

Il principale vantaggio dell'approccio è di avere uno strumento potente, in questo caso il calcolo algebrico, che permette di organizzare la ricerca delle soluzioni in modo sistematico. Non è più necessario riprodurre per ogni caso particolare la progressione dei calcoli numerici che vanno dai dati del problema alla sua soluzione. Le prime due fasi, l'equazione, consentono di ridurre il problema particolare a un quadro generale di risoluzione. La tecnica dell'equazione porta "un modo di strutturare i dati dell'affermazione" e potrebbe essere descritta come una tecnica che "pensa per noi".

Un altro potenziale vantaggio consiste nel fatto che più problemi di aspetto molto vario possono essere ridotti per equazione alla stessa equazione. Ciò permette di evidenziare alcune analogie come tutte quelle riscontrate tra meccanica ed elettricità.

Esempi

Esempio 1: equazione di un problema aritmetico

Problema: un padre ha tre volte l'età di sua figlia. In 10 anni ne avrà il doppio. Quanti anni hanno i due?
Primo passo: possiamo scegliere, ad esempio, come sconosciuto x l'età della ragazza.
Secondo passo (equazione): tutti i dati del problema sono espressi in funzione di x . L'età attuale del padre è 3x , la sua età in 10 anni è 3x + 10 , l'età della figlia in 10 anni è x + 10 . Quindi abbiamo l'equazione 3x + 10 = 2 (x + 10) .
Terzo passo: risolviamo questa equazione utilizzando il calcolo algebrico. Abbiamo 3x-2x = 20-10 o x = 10 .
Quarto passo: controlliamo che il valore trovato dia la soluzione al problema, la figlia ha 10 anni e il padre 30.

Nota: avremmo potuto scegliere come sconosciuto al primo passaggio l'età del padre, oppure scegliere due incognite (età del padre ed età della figlia). Le equazioni intermedie possono essere diverse, ma il risultato finale rimane invariato.

Esempio 2: equazione di un problema geometrico

Problema: diamo punti distinti A, B, C, D, E, in modo tale che ABCD sia un quadrato , ABE sia un triangolo rettangolo in A e la lunghezza AE sia 3 cm. Quale deve essere il lato del quadrato ABCD affinché l'area del quadrato e l'area del triangolo siano uguali?

Primo passo: possiamo scegliere ad esempio come sconosciuto x la misura in cm sul lato del quadrato.

Secondo passo: mettiamo in un'equazione esprimendo i dati del problema in funzione di x . L'area del quadrato ABCD è x 2 e l'area del triangolo ABE è (x.3) / 2. Il problema allora diventa trovare x tale che queste due aree siano uguali, oppure che x soddisfi l'equazione x 2 -1,5 x = 0 .

Terzo passo: risolviamo l'equazione utilizzando il calcolo algebrico standard, troviamo due possibili valori x = 0 o x = 1.5 .

Quarto passo: si torna alla formulazione iniziale per verificare se i valori trovati sono soluzioni del problema di partenza. La soluzione x = 0 non è adatta, perché quindi il quadrato ABCD si ridurrebbe ad un unico punto, la soluzione del problema è il valore 1.5.

Esempio 3: equazione di un problema con i parametri

Problema: una miscela, di cui conosciamo la massa m , è composta da due costituenti. Conoscendo il prezzo P della miscela complessiva così come il prezzo per unità di massa di ciascuno dei costituenti, possiamo determinare le quantità di ciascuno dei componenti che entrano nella composizione della miscela?
Primo passo: uno sceglie come incognite x ed y le quantità desiderate di ciascun componente, espressi in unità di massa.
Secondo passo: chiamando e i prezzi unitari costanti di ogni componente, mettiamo il problema in un'equazione: $P_ {1}$ $P_ {2}$

- la somma x + y esprime la massa m della miscela.

- la somma dei prodotti esprime il prezzo P della miscela complessiva. $xP_ {1} + yP_ {2}$

Il risultato è un sistema di due equazioni di 1 ° grado in due incognite, con parametri.

\ left \ {{\ begin {matrix} x + y = m \\ xP_ {1} + yP_ {2} = P \ end {matrix}} \ right.

Terzo e quarto passo: questo sistema di due equazioni con due incognite può quindi essere trattato come un problema di algebra elementare, e i valori trovati (secondo i parametri e ) possono essere verificati. $P_ {1}$ $P_ {2}$

Esempio 4: Ottimizzazione del volume di una vasca parallelepipeda

Problema: Ottimizzazione delle dimensioni di un contenitore parallelepipedo ricavato da un grezzo rettangolare di cui si conoscono lunghezza e larghezza. Per realizzare un tale vassoio, sarà quindi necessario tagliare un quadrato da ogni angolo del grezzo, la cui lunghezza laterale corrisponderà all'altezza del vassoio.

Primo passo: scegliamo la x sconosciuta come rappresentante l'altezza del serbatoio.

Secondo passo (equazione): con a = la lunghezza del grezzo eb = la larghezza del grezzo, l'equazione per il volume del serbatoio, in funzione di x, è data dalla formula

V (x) = (a-2x) (b-2x) x

V (x) = 4x ^ {3} -2 (a + b) x ^ {2} + abx

Terza fase: il problema viene affrontato utilizzando gli strumenti matematici appropriati.

Il volume raggiunge un ottimo locale quando la derivata svanisce e cambia segno: $V '(x)$

V '(x) = 3x ^ {2} - (a + b) x + {\ frac {1} {4}} ab = 0

Questa derivata è un'equazione quadratica. Le sue radici sono:

x_ {1} = {\ frac {a + b + {\ sqrt {a ^ {2} -ab + b ^ {2}}}} {6}} \ quad {\ text {e}} \ quad x_ { 2} = {\ frac {a + b - {\ sqrt {a ^ {2} -ab + b ^ {2}}}} {6}}

L'altezza ottimale del contenitore è uno dei due valori

x_ {1} \ quad {\ text {o}} \ quad x_ {2}.

Quarto passo: possiamo quindi verificare se questi valori sono adatti.

Esempio 5: la curva del cane

Questa curva, chiamata anche curva di inseguimento, è quella descritta da un cane che cerca di raggiungere il suo padrone dirigendo la sua traiettoria verso di lui in ogni momento. L'equazione di questo problema risulta in un'equazione differenziale del secondo ordine. A differenza degli esempi da 1 a 4, il risultato non è espresso sotto forma di numeri ma di un'equazione del percorso.

Equazione nell'educazione

In Francia, l'attuale programma universitario (2014) comprende:

per la classe 4 ° , "l'uso di equazione di calcolo letterale per l'impostazione e la soluzione dei vari problemi" e la capacità di "equiparare e risolvere un problema che porta ad un primo grado equazione con uno sconosciuto".
per il 3 ° di classe , nella sezione relativa equazioni e sistemi di equazioni di primo grado, imparare a "equiparare un problema".

Tuttavia l'algebra e l'equazione non fanno parte della base comune.

L'equazione è quindi collegata alla risoluzione dei problemi. Dopo essere apparsa regolarmente nei libri di testo, questa procedura è scomparsa quasi completamente durante la cosiddetta riforma della matematica moderna. Recenti approcci didattici, che incoraggiano l'apprendimento basato sui problemi, lo hanno riportato alla ribalta.

Allo stesso tempo, lavori e gruppi di lavoro sono stati dedicati alle molteplici difficoltà incontrate dagli alunni nell'assimilare questo approccio. Sono stati così individuati diversi fattori: la riluttanza degli alunni a fare una deviazione tra le equazioni per risolvere un problema, la rottura che questo approccio rappresenta rispetto ad approcci aritmetici più direttamente, il dubbio sulla scelta delle incognite e sulla loro interpretazione, la del linguaggio simbolico, lo status di uguaglianza, la complessità del ritorno al problema iniziale e la rappresentazione della situazione corrispondente ai valori trovati, ecc.

Uno studio condotto in Tunisia ha anche evidenziato l'interferenza con le diverse lingue utilizzate (in questo caso, arabo, francese e simbolismo algebrico).

Note e riferimenti

Philippe Lombard , " Palimpseste ", Bulletin de l'APMEP , vol. 466,2006( leggi online ).
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Bollettino ufficiale speciale n ° 6 del 28 agosto 2008, vedere online http://cache.media.education.gouv.fr/file/special_6/52/5/Programme_math_33525.pdf .
Relazione finale del gruppo di ricerca, “Aiutare gli alunni in difficoltà di mettere nell'equazione”, GIR 79 della IREM di Rennes, 2007 .
Relazione finale del gruppo di ricerca, “Aiutare gli alunni in difficoltà a mettere in equazione”, GIR 79 della IREM di Rennes, 2005 .
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Lalina Coulange , " I problemi" concreti "da mettere in equazione nell'insegnamento ", Petit x , Grenoble, vol. 19,1997e Lilana Coulange, Studio delle pratiche dell'insegnante dal doppio punto di vista ecologico ed economico. Caso di insegnamento di sistemi di equazioni e impostazione di equazioni in terza classe , Tesi dell'Università di Grenoble, 2000.
Sonia Ben Nejma The equation setting 1st year of the Tunisian Secondary Education Transition College / High School, Tesi di Master in Matematica, Università di Tunisi, 2004, Sonia Ben Nejma , " Le difficoltà incontrate nella risoluzione algebrica dei problemi di primo grado ", RADISMA , vol. 5,2010( leggi online )