Matrice stocastica

In matematica , una matrice stocastica (chiamata anche matrice di Markov ) è una matrice quadrata (finita o infinita) il cui ogni elemento è un reale positivo e la cui somma degli elementi di ciascuna riga è uguale a 1. Ciò corrisponde, nella teoria della probabilità , alla matrice di transizione di una catena di Markov .

Definizioni

Una matrice si dice stocastica se tutti i suoi input sono positivi (o zero) e se, per tutto , abbiamo , cioè la somma delle coordinate di ogni riga è uguale a 1. ${\ displaystyle M \ in {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle i = 1, ..., n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} m_ {ij} = 1}$

Una matrice stocastica si dice regolare se esiste un numero intero tale che la matrice contenga solo reali strettamente positivi. $k> 0$ ${\ displaystyle M ^ {k}}$

Una matrice si dice bistocastica (o doppiamente stocastica) se la somma degli elementi di ogni riga e di ogni colonna è uguale a 1, altrimenti se e la sua trasposizione sono stocastiche. $M$ ${\ displaystyle M ^ {t}}$

Proprietà

Un'altra caratterizzazione delle matrici stocastiche è data da:

$M$ è una matrice stocastica se e solo se (i suoi coefficienti sono positivi o nulli) e , dove indica il vettore le cui coordinate sono uguali a 1. ${\ displaystyle M \ geq 0}$ ${\ displaystyle Me = e}$ $e$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$
$M$ è bistocastico se , e , dove è il vettore trasposto di . ${\ displaystyle M \ geq 0}$ ${\ displaystyle Me = e}$ ${\ displaystyle e ^ {*} M = e ^ {*}}$ ${\ displaystyle e ^ {*}}$ $e$

Secondo la proprietà precedente, poiché 1 è un autovalore di con come autovettore a destra il vettore colonna le cui coordinate sono uguali a 1: $M$

Se è una matrice stocastica, chiamiamo vettore stabile per un vettore riga diverso da zero come , in altre parole: un autovettore a sinistra per l' autovalore 1 (e ha sempre almeno un vettore stabile). $M$ $M$ $v$ ${\ displaystyle vM = v}$ $M$

Una caratterizzazione del raggio spettrale di una matrice stocastica è data da:

Se è una matrice stocastica, allora per tutto , in modo che il raggio spettrale . Ora, come , effettivamente abbiamo . Pertanto, il raggio spettrale di una matrice stocastica è esattamente uguale a 1. $M$ ${\ displaystyle || Mx || _ {\ infty} \ leq || x || _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ rho (M) \ leq 1}$ ${\ displaystyle Me = e}$ ${\ displaystyle \ rho (M) = 1}$

Altri risultati sono forniti da:

Il prodotto di due matrici stocastiche è stocastico.
Qualsiasi matrice stocastica indicizzata da E × E opera sullo spazio delle mappe limitate di E in . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
Se è una matrice stocastica e se è una probabilità, allora è una probabilità. $M$ $p$ ${\ displaystyle pM}$

Esempio

La seguente matrice è stocastica ma non bistocastica:

{\ displaystyle M = {\ begin {pmatrix} 0 {,} 5 & 0 {,} 3 & 0 {,} 2 \\ 0 {,} 2 & 0 {,} 8 & 0 \\ 0 {,} 3 & 0 {,} 3 & 0 {,} 4 \ end {pmatrix}}.}

Il vettore è stabile per M . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 3 & 6 & 1 \ end {pmatrix}}}$

La matrice stocastica M è regolare perché

{\ displaystyle M ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 0 {,} 37 & 0 {,} 45 & 0 {,} 18 \\ 0 {,} 26 & 0 {,} 70 & 0 {,} 04 \\ 0 {,} 33 e 0 {,} 45 e 0 {,} 22 \ end {pmatrix}}.}

Il teorema della matrice stocastica afferma che, se A è una matrice stocastica regolare, allora

la catena di Markov con matrice di transizione A è irriducibile ;
A ha un unico vettore stabile t la cui somma di coordinate è 1 (in altre parole: il sottospazio vettoriale dei vettori stabili è di dimensione 1 - i vettori stabili sono tutti collineari );
le coordinate di t sono tutte strettamente positive.

Inoltre, se x 0 è una legge iniziale arbitraria (cioè è un vettore con coordinate positive o zero e di somma 1), e se x k +1 = x k A per k = 0, 1, 2, ... allora il catena di Markov { x k } converge at quando . Cioè : ${\ displaystyle k \ to \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ mathbf {x} _ {0} A ^ {k} = {\ textbf {t}}.}$

Alcuni altri risultati

Il ruolo delle matrici stocastiche è importante, soprattutto nello studio delle catene di Markov . Una caratteristica importante delle matrici doppiamente stocastiche (o doppiamente stocastiche) è data dalle matrici di permutazione , i cui coefficienti si applicano , con il simbolo di Kronecker . ${\ displaystyle P (\ sigma)}$ ${\ displaystyle \ sigma \ in {\ mathcal {S}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {ij} = \ delta _ {\ sigma (i)} ^ {j}}$ $\delta$

Il teorema di Birkhoff mostra questo ruolo centrale che le matrici di permutazione hanno nella caratterizzazione delle matrici bistocastiche:

Teorema di Birkhoff - Una matrice è doppiamente stocastica se e solo se è baricentro di matrici di permutazione. ${\ displaystyle M \ in {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {R})}$

Una conseguenza del teorema è data dal seguente risultato:

Corollario - Sia una norma su , invariante per permutazione delle coordinate. Quindi per qualsiasi matrice doppiamente stocastica. ${\ displaystyle ||. ||}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle || M || = 1}$

Altri due risultati su matrici bistocastiche utilizzano la relazione descritta dal simbolo , definita da: Siano e due successioni di numeri reali. Diciamo che b maggiore a e denotiamo se: $\ prec$ ${\ displaystyle a = (a_ {1}, ..., a_ {n})}$ ${\ displaystyle b = (b_ {1}, ..., b_ {n})}$ $non$ ${\ displaystyle a \ prec b}$

${\ displaystyle a_ {1} + ... + a_ {k} \ leq b_ {1} + ... b_ {k}}$ per tutto ; ${\ displaystyle k = 1, ..., n-1}$
${\ displaystyle a_ {1} + ... + a_ {n} = b_ {1} + ... b_ {n}}$ .

Questa è una relazione di ordine parziale.

I due teoremi sono:

Teorema - Una matrice è doppiamente stocastica se e solo se per tutto . $M$ ${\ displaystyle x \ prec Mx}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$

Teorema - Let . Allora se e solo se esiste una matrice doppiamente stocastica tale che . ${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x \ prec y}$ $M$ ${\ displaystyle y = Mx}$

Vedi anche

Bibliografia

Denis Serre , Les Matrices: Theory and Practice , Paris, Dunod ,2001, 176 p. ( ISBN 2-10-005515-1 ).

Riferimento

FL Bauer , J. Stoer e C. Witzgall , " Norme assolute e monotone ", Numerische Mathematik , vol. 3, n o 1,dicembre 1961, p. 257-264 ( ISSN 0029-599X e 0945-3245 , DOI 10.1007 / bf01386026 , letto online , accesso 2 febbraio 2020 )