Massa ridotta

In fisica, la massa ridotta è la massa attribuita all'oggetto fittizio implementato nella semplificazione dei problemi di interazione di due corpi di meccanica newtoniana .

La massa ridotta è solitamente indicata dalla lettera greca μ e le sue unità SI sono le stesse della massa: chilogrammi (kg).

Equazioni

Problema a due corpi

Che due particelle interagiscano tra loro, una di massa e l'altra di massa , il moto di queste due masse può essere ridotto al moto di una singola particella di massa (ridotta) : $m_1$ $m_ {2}$ $\ mu$

${\ displaystyle \ mu = {1 \ over {{1 \ over m_ {1}} + {1 \ over m_ {2}}}} = {{m_ {1} m_ {2}} \ over {m_ {1 } + m_ {2}}} \.}$

La forza applicata a questa massa è il risultato delle forze tra le masse iniziali. Il problema viene quindi risolto matematicamente sostituendo le masse come segue:

${\ displaystyle m_ {1} \ rightarrow \ mu}$

${\ displaystyle m_ {2} \ rightarrow 0}$

Problema del corpo N.

La definizione di massa ridotta può essere generalizzata al problema N-corpi :

${\ Displaystyle \ mu = \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {m_ {i}}} \ right) ^ {- 1}}$

Approssimazione

Quando la massa è molto maggiore della massa, la massa ridotta è approssimativamente uguale alla minore delle masse: $m_1$ $m_ {2}$

${\ displaystyle \ mu = {{m_ {1} m_ {2}} \ over {m_ {1} + m_ {2}}} \ = {{m_ {1} m_ {2}} \ over {m_ {1 }} ({1 + {{m_ {2}} \ over {m_ {1}}})}} \ = {{m_ {2}} \ over {1 + {{m_ {2}} \ over {m_ {1}}}}} \ \ approx m_ {2}}$

Derivazione

Le equazioni della meccanica sono derivate come segue.

Meccanica newtoniana

La seconda legge di Newton può esprimere la forza esercitata dalla particella 2 sulla particella 1 come

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = m_ {1} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}

La forza esercitata dalla particella 1 sulla particella 2 è

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21} = m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}

La terza legge di Newton afferma che la forza esercitata dalle particelle 2 sulla particella 1 è uguale e opposta alla forza esercitata dalla particella 1 della particella 2

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21}. \! \,}

In tal modo,

{\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {a} _ {1} = - m_ {2} \ mathbf {a} _ {2}. \! \,}

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {2} = - {m_ {1} \ over m_ {2}} \ mathbf {a} _ {1}. \! \,}

L'accelerazione relativa a rel tra i due corpi è data da

{\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ rm {rel}} = \ mathbf {a} _ {1} - \ mathbf {a} _ {2} = \ left (1 + {\ frac {m_ {1} } {m_ {2}}} \ right) \ mathbf {a} _ {1} = {\ frac {m_ {2} + m_ {1}} {m_ {2}}} \ mathbf {a} _ {1 } = {\ frac {\ mathbf {F} _ {12}} {\ mu}}.}

Ciò rende possibile concludere che la particella 1 si muove rispetto alla posizione della particella 2 come se fosse un corpo di massa equivalente alla massa ridotta.

Meccanica lagrangiana

Il problema dei due corpi è descritto nella meccanica lagrangiana dalla seguente Lagrangiana

{\ displaystyle L = {1 \ over 2} m_ {1} \ mathbf {\ dot {r}} _ {1} ^ {2} + {1 \ over 2} m_ {2} \ mathbf {\ dot {r }} _ {2} ^ {2} -V (| \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2} |) \! \,}

dove r i è il vettore di posizione della particella (di massa m i ) e V è una funzione dell'energia potenziale, che dipende solo dalla distanza tra le particelle (condizione necessaria per mantenere l'invarianza traslazionale del sistema). Definiamo $io$

{\ Displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {1} - \ mathbf {r} _ {2}}

e posizioniamo l'origine del sistema di coordinate utilizzato in modo che coincida con il centro di massa, quindi

{\ displaystyle m_ {1} \ mathbf {r} _ {1} + m_ {2} \ mathbf {r} _ {2} = 0}

In questo modo,

{\ displaystyle \ mathbf {r} _ {1} = {\ frac {m_ {2} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}, \ mathbf {r} _ {2} = {\ frac {-m_ {1} \ mathbf {r}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}

Sostituendo questo nella lagrangiana otteniamo

{\ displaystyle L = {1 \ over 2} \ mu \ mathbf {\ dot {r}} ^ {2} -V (r),}

una nuova lagrangiana per una particella di massa ridotta:

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {m_ {1} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}}.}

Abbiamo quindi ridotto il problema iniziale dei due corpi a un problema semplificato di un corpo.

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Reduced mass " ( vedi la lista degli autori ) .

John R. Taylor ( tradotto dall'inglese da Tamer Becherrawy e Aurélie Cusset), Meccanica classica , Bruxelles / Parigi, De Boeck ,2012, 877 p. ( ISBN 978-2-8041-5689-3 )