In analisi , uno spazio di interpolazione o uno spazio interpolato è uno spazio che si trova tra altri due spazi. Le applicazioni più importanti di questa nozione sono per gli spazi di funzioni di Sobolev che sono differenziabili un numero di volte non intero. Questi spazi sono creati per interpolazione da spazi di Sobolev di funzioni differenziabili un numero intero di volte.
La teoria dell'interpolazione degli spazi vettoriali è iniziata con un'osservazione fatta da Józef Marcinkiewicz che è stata successivamente generalizzata e conosciuta come il teorema di Riesz-Thorin . In termini semplici, se una funzione lineare è continua su uno spazio L p e anche su un altro spazio L q , allora è anche continua sullo spazio L r , per ogni r compreso tra p e q . In altre parole, L r è uno spazio intermedio tra L p e L q .
Durante lo sviluppo degli spazi di Sobolev , divenne evidente che gli spazi delle tracce delle funzioni degli spazi di Sobolev non erano in alcun modo gli spazi di Sobolev usuali (composti da funzioni differenziabili un numero intero di volte) e Jacques-Louis Lions scoprì che, in questi spazi di traccia erano infatti costituiti da funzioni con un grado di differenziabilità non integrale.
Sono stati sviluppati molti metodi per costruire tali spazi di funzioni: trasformazione di Fourier , interpolazione complessa, interpolazione reale, derivate frazionarie .
In questo articolo ci interessa nella seguente situazione: X e Z sono spazi di Banach e X è un sottoinsieme di Z , ma la norma di X non è la stessa come Z . Si dice che X sia immerso continuamente in Z se esiste una costante finita C tale che
Questo è il caso, ad esempio, se X = H 1 (ℝ) e Z = L 2 (ℝ) .
Lasciare X e Y due Banach che sono due sottoinsiemi di Z . Inoltre definiamo norme su X ∩ Y e X + Y da:
Quindi le seguenti inclusioni sono tutte continue:
D'ora in poi, lo spazio Z non gioca alcun ruolo, è solo servito a dare un senso alla X + Y . Il nostro obiettivo ora è costruire spazi intermedi tra X e Y nella seguente direzione:
Definizione - X e Y essendo definiti come sopra, uno spazio di interpolazione è uno spazio di Banach W tale che se L è un operatore lineare di X + Y in sé che è continuo di X in sé e di Y in sé, allora anche L è continuo da W in sé.Abbiamo usato la notazione ║ L ║ A ; B alla norma dell'operatore L come un'applicazione da A a B . Se C = 1 (che è il valore più piccolo possibile), possiamo anche dire che W è uno spazio esattamente interpolato .
Ci sono molti modi per costruire spazi interpolati (e il teorema di Riesz-Thorin è un esempio per gli spazi L p ). Il metodo di interpolazione complessa è valido per spazi di Banach arbitrari.
Se il campo degli scalari è quello dei numeri complessi , allora possiamo usare le proprietà delle funzioni analitiche complesse per definire uno spazio di interpolazione.
Definizione - Let Banach spazi X e Y . Indichiamo con ℱ lo spazio delle funzioni f con valori in X + Y , analitiche sulla banda aperta 0 <Re ( z ) <1, continue e limitate sulla banda chiusa 0 ≤ Re ( z ) ≤ 1, tali chee che le due mappe corrispondenti, di ℝ in X e Y , sono continue e zero all'infinito.Teorema - W = [ X , Y ] θ è uno spazio esattamente interpolato con esponente θ.
Questa costruzione è chiaramente funtoria in ( X , Y ), cioè se ( X , Y ) e ( A , B ) sono coppie di interpolazione, e se L è un operatore lineare di X + Y in A + B , tale che L è continua da X ad A e da Y a B , allora L è continuo da [ X , Y ] θ a [ A , B ] θ e
Abbiamo anche un teorema di reiterazione : se 0 ≤ α ≤ β ≤ 1 e se il duale topologico di X ∩ Y è denso in [ X , Y ] α ∩ [ X , Y ] β (in particolare se X ⊂ Y o Y ⊂ X ), quindi
Il metodo K dell'interpolazione reale può essere utilizzato anche quando il campo degli scalari è quello dei numeri reali .
Definizione - Per 0 <θ <1 e 1 ≤ q ≤ ∞, impostiamo
Teorema - è uno spazio esattamente interpolato di grado θ.
Come con il metodo K, il metodo J può essere utilizzato anche per spazi vettoriali nel campo dei numeri reali.
Definizione - Per 0 <θ <1 e 1 ≤ q ≤ ∞, impostiamo
Teorema - è uno spazio esattamente interpolato di grado θ.
I due metodi di interpolazione reali sono equivalenti:
Teorema - con equivalenza delle norme.
Indichiamo con [ X , Y ] θ, q questo metodo di interpolazione reale. Al contrario, il metodo di interpolazione complesso di solito non è equivalente al metodo di interpolazione effettivo. Tuttavia, c'è ancora una relazione tra i due.
Teorema - Se 0 <θ <1, alloraInterpolazione della disuguaglianza (in)
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