L' ideografia ( Begriffsschrift ) è un linguaggio completamente formalizzato inventato dal logico Gottlob Frege e mira a rappresentare in modo perfetto la logica matematica .
Il progetto di un linguaggio completamente formalizzato non è nuovo: Leibniz ne aveva sviluppato uno, che non è riuscito, sotto il nome di caratteristica universale .
La prima pubblicazione sull'ideografia è il testo Idéographie ( Begriffsschrift - Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache di reinen Denkens ) pubblicato nel 1879 . Frege ha continuato a lavorare sull'ideografia in The Foundations of Arithmetic ( Die Grundlagen der Arithmetik , 1884 ).
Questo linguaggio utilizza il piano come spazio di lavoro e non si limita alla linea (come la logica di oggi, basata sui Principia Mathematica di Bertrand Russell e Alfred North Whitehead che ne dipende). Questo linguaggio è oggi inutilizzato anche se ne rimangono tracce, ad esempio nel simbolo di negazione "¬", di conseguenza " ⊢ " o di modellazione tautologica "⊨".
Ideografia | Senso | Spiegazione |
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─A | A è una proposizione , lo affermiamo logicamente | A significa qualcosa che ha un significato e che può essere giudicato vero o falso, la linea orizzontale è chiamata linea del contenuto |
┬─A | A è anche una proposizione, noi esprimiamo la sua logica negazione | A è una proposizione negata ma attenzione, non abbiamo scritto che A era falsa |
├─A | A è una tautologia | A è una proposizione - quindi A significa qualcosa - e inoltre A è vera, la linea verticale è chiamata linea del giudizio. |
├┬─A | A è una contraddizione | A è una proposizione e inoltre A è falsa |
─┬─B
└─A
o ─┬┬─A └┬─B |
A implica B | L'implicazione è descritta da Frege come B o non A, è la classica implicazione logica, vedi sotto |
─┬──B └┬─A | no A implica B, A o B | Data la riga superiore, abbiamo B o non A, B o A |
─┬┬─B └┬─A | (non A) implica (non B) | |
─┬┬─B └──A | A implica no B, o no (A e B) | È sbagliato che A e non B |
┬┬──B └┬─A | no (no A implica B) | no (A o B) |
┬┬┬─B └──A | no (A implica no B) | A e B |
┬┬┬┬─A │ └─B └─┬─B └─A | A è equivalente a B | |
── A ≡ B | A e B hanno lo stesso contenuto | Dobbiamo differenziare l'equivalenza logica dell'identità del contenuto |
Concetti basilari | Notazione di Frege | Notazioni moderne |
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Giudizio |
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Coinvolgimento |
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Quantificazione universale | ||
Quantificazione esistenziale |
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Equivalenza / identità | A ↔ B
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L'implicazione è espressa da Frege quindi, quando abbiamo due proposizioni A e B, abbiamo 4 casi:
L'implicazione B implica A (B⊃A) nega il terzo caso, in altre parole è falso che abbiamo sia B vero che A falso.
L'ideografia è costruita sull'implicazione, che facilita l'uso della regola del distacco, cioè se A è vero e se A implica che B è vero, allora B è anche vero (A ∧ (A⊃B)) ⊃ B.
Contiene il quantificatore universale ∀, codificato da una piccola cavità sormontata da una lettera gotica che sostituisce la linea ─ (non disponibile in unicode). È presente anche il quadrato logico .
Contiene anche la definizione, codificata nell'ideografia dal seguente carattere unicode: ╞═.
La presentazione assiomatizzata della logica in Frege, basata sull'ideografia usata tra l'altro nelle Leggi fondamentali dell'aritmetica ( Grundgesetze der Arithmetik ), è stata minata dal paradosso di Russell . Contiene oltre alla versione del 1879 la legge V che porta ad una contraddizione come ∃x (F (x) ∧¬F (x)). L'ideografia del 1879 e i teoremi della Grundgesetze der Arithmetik che utilizzano questa legge V sono ancora validi.
Questa legge V esprime che due estensioni di concetti sono identiche quando hanno gli stessi casi di verità, cioè come scrive Frege nelle leggi fondamentali ἐF (ε) = ἀG (α) = ∀x (F (x) = G (x)), che stabilisce un'equipotenza (anche cardinale) tra l'insieme delle estensioni dei concetti e quello dei concetti, contraddetta dal fatto che un insieme ha un cardinale strettamente inferiore a quello dell'insieme delle sue sottounità. Inoltre, un corollario di questa legge V è che ogni concetto ammette un'estensione, compresi quelli più eccentrici come questo "come estensione del concetto sotto il quale non si cade" che, espressa nell'ideografia delle Leggi Fondamentali come bene. x = εF ∧ ¬F (x), porta al paradosso del barbiere .
Frege ha affermato che nove delle sue proposizioni sono assiomi e le ha giustificate sostenendo informalmente che, dato il loro significato inteso, esprimono verità autoevidenti. Re-espressi nella notazione contemporanea, questi assiomi sono:
(1) - (3) governano l' implicazione materiale , (4) - (6) negazione , (7) e (8) identità e (9) quantificatore universale . Il (7) esprime l' identità degli indiscernibili di Leibniz , e (8) afferma che l'identità è una relazione riflessiva .
Tutte le altre proposizioni sono dedotte da (1) - (9) grazie a una delle seguenti regole di inferenza :