Gruppo finito residuo

In matematica , e più particolarmente nella teoria dei gruppi combinatori , un gruppo residualmente finito è un gruppo che può essere in qualche modo “approssimato” da gruppi finiti. L'aggettivo "residuo" si applica anche ad altre proprietà, come essere residuo nilpotente, residuo libero.

Definizione

Un gruppo è residualmente finito se esiste, per qualsiasi elemento distinto dall'elemento neutro, un sottogruppo distinto di indice finito non contenente . G{\ displaystyle G}g∈G{\ displaystyle g \ in G} H⊴G{\ displaystyle H \ trianglelefteq G}g{\ displaystyle g}

Le definizioni equivalenti sono: un gruppo è residualmente finito se G{\ displaystyle G}

• per ogni elemento distinto dall'elemento neutro, esiste un morfismo in un gruppo finito tale che  ;g∈G{\ displaystyle g \ in G} ϕ:G→K{\ displaystyle \ phi \ due punti da G \ a K}K{\ displaystyle K}ϕ(g)≠1{\ displaystyle \ phi (g) \ neq 1}
• l'intersezione di tutti i sottogruppi di indice finito (o anche di tutti i suoi sottogruppi normali) di è ridotta all'elemento neutro.G{\ displaystyle G}
• il gruppo può essere immerso nel prodotto diretto di una famiglia di gruppi finiti.G{\ displaystyle G}

Esempi

Un teorema di Maltsev  ( Анатолий Иванович Мальцев anche scritto Mal'cev o Malcev o Malčev) dice che qualsiasi gruppo lineare, cioè qualsiasi gruppo isomorfo a un sottogruppo finitamente generato del gruppo lineare generale è residualmente finito, per qualsiasi anello commutativo unificato . GL(non,R){\ displaystyle GL (n, R)}R{\ displaystyle R}

Questo criterio fornisce molti esempi di gruppi residualmente finiti:

• I gruppi liberi
• I gruppi fondamentali degli spazi localmente simmetrici ed in particolare delle varietà iperboliche compatte.
• I gruppi policiclici  (de)
• I gruppi nilpotenti finitamente generati.
• I gruppi fondamentali delle 3-varietà  ; non è noto se siano in generale isomorfi a sottogruppi di .GL(non,K){\ displaystyle GL (n, K)}

Proprietà di stabilità:

• Un sottogruppo di un gruppo generato finito che è sia finito che finito.
• Anche il prodotto diretto di gruppi residualmente finiti è residualmente finito.
• Un gruppo che ha un sottogruppo residualmente finito di indice finito è esso stesso residualmente finito.

I gruppi Baumslag-Solitar non sono tutti finiti in modo residuo. Ad esempio, il gruppo Baumslag - Solitar BS (2,3) non è Hopfian, e quindi non è residualmente finito.

È aperto se i gruppi iperbolici sono tutti residualmente finiti.

Esistono gruppi residualmente finiti che non sono gruppi lineari. Un esempio del genere è stato fornito da Drutu e Sapir: il gruppo è residualmente finito e non lineare.⟨a,t|at2=a2⟩{\ displaystyle \ langle a, t | a ^ {t ^ {2}} = a ^ {2} \ rangle}

Proprietà

• La parola problema è solubile per gruppi residualmente finiti.
• Un gruppo residualmente finito di tipo finito è un gruppo hopfiano  : qualsiasi epimorfismo del gruppo in sé è un isomorfismo .

Le seguenti proprietà dei gruppi sono equivalenti:

• G{\ displaystyle G} è residualmente finito;
• La mappatura canonica nel completamento per la topologia profine è iniettiva.G^{\ displaystyle {\ hat {G}}}
• Il banale sottogruppo è separabile  (de) .

Altre proprietà

Topologia

Qualsiasi gruppo può essere dotato di una topologia che lo renda un gruppo tolopogico, prendendo come base degli intorni aperti dell'identità l'insieme di tutti i normali sottogruppi di indice finito di . La topologia ottenuta è chiamata topologia da cui è profilato . Un gruppo è residualmente finito se e solo se la sua topologia profinata è separata . G{\ displaystyle G}G{\ displaystyle G}G{\ displaystyle G}

Il gruppo fondamentale di un complesso CW è residualmente finito se e solo se esiste, per ogni sottoinsieme compatto della copertura una sovrapposizione tale che π1X{\ displaystyle \ pi _ {1} X} X{\ displaystyle X}K⊂X~{\ displaystyle K \ subset {\ widetilde {X}}} P:X~→X{\ displaystyle P \ due punti {\ widetilde {X}} \ to X}p:Y→X{\ Displaystyle p \ due punti Y \ to X}

p-1P(K)→Y{\ displaystyle p ^ {- 1} P (K) \ to Y}

è un incorporamento .

Geometria algebrica

Sia uno schema di tipo finito su . Morfismo X{\ displaystyle X}VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}

π1top(X)→π1et(X){\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {top} (X) \ to \ pi _ {1} ^ {e} (X)}

è iniettiva se e solo se è residualmente finito. π1top(X){\ displaystyle \ pi _ {1} ^ {top} (X)}

Varietà

Tra le proprietà delle varietà di gruppi residualmente finiti, ci sono:

• Una varietà composta solo da gruppi residualmente finiti è generata da un gruppo A , cioè da un gruppo finito di cui tutti i sottogruppi di Sylow sono abeliani.
• Una varietà composta solo da gruppi finiti residualmente contiene un gruppo finito di cui tutti gli elementi possono essere immersi in un prodotto diretto di questo gruppo finito.

Note e riferimenti

1. Anatoli Malcev, “  On rappresentazioni matriciali isomorfe di gruppi infiniti  ”, Mat. Sbornik NS 8 , vol.  50,1940, p.  405-422 ( Recensioni matematiche  0003420 ).
2. KA Hirsch, “Su infiniti gruppi solubili. IV » J. London Math. Soc. 27, (1952). 81–85.
3. John Hempel, John: "Finitezza residua per 3-varietà" Teoria e topologia dei gruppi combinatori (Alta, Utah, 1984), 379–396, Ann. di matematica. Stud., 111, Princeton Univ. Stampa, Princeton, NJ, 1987.
4. Teorema 13 del seminario Bernstein del 2 marzo 2015.
5. Peter Scott, "I sottogruppi dei gruppi di superfici sono quasi geometrici", J. London Math. Soc. (2) 17 (1978), n. 3, 555-565.

Bibliografia

• W. Magnus, "  Gruppi residualmente finiti  ", Bull. Amaro. Matematica. Soc. , vol.  75,1969, p.  305-316 ( letto online , consultato il 26 luglio 2018 ).

link esterno

• Finitezza residua
• Risultati di finitezza residua
• Seminario Berstein, "Finitezza residua e gruppi hopfiani" ,2 marzo 2015

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