Formula multinomiale di Newton
In matematica , la formula del multinomiale di Newton è una relazione che dà lo sviluppo di una potenza intera n di una somma di un numero finito m di termini sotto forma di una somma di prodotti di potenze di questi termini coefficienti assegnati, che sono chiamati coefficienti multinomiali . La formula binomiale si ottiene come caso particolare della formula multinomiale, per m = 2 ; e in questo caso i coefficienti multinomiali sono i coefficienti binomiali .
stati
Siano m e n entrambi interi e x 1 , x 2 , ..., x m di numeri reali o complessi (o più in generale, gli elementi di un anello commutativo o solo un anello , a condizione che questi m elementi si scambino due a due) . Allora,
(X1+X2+X3+⋯+Xm)non=∑K1+K2+K3+...+Km=non(nonK1,K2,K3,...,Km)X1K1X2K2X3K3...XmKm{\ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + \ dots + x_ {m}) ^ {n} = \ sum _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + \ ldots + k_ {m} = n} {n \ scegli k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ dots, k_ {m}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} x_ {3} ^ {k_ {3}} \ dots x_ {m} ^ {k_ {m}}}![{\ displaystyle (x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} + \ dots + x_ {m}) ^ {n} = \ sum _ {k_ {1} + k_ {2} + k_ {3} + \ ldots + k_ {m} = n} {n \ scegli k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ dots, k_ {m}} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2} ^ {k_ {2}} x_ {3} ^ {k_ {3}} \ dots x_ {m} ^ {k_ {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23e4da5683a04a04089d54d6a9f9a86e6cbe556f)
.
La somma si riferisce a tutte le combinazioni di indici interi naturali k 1 , k 2 , ..., k m tali che k 1 + k 2 + ... + k m = n , alcune delle quali possibilmente nulle.
Una scrittura equivalente ma molto più conciso consiste nel sommare su tutti i multi-indici di dimensione m cui modulo è uguale a n :
K→{\ displaystyle {\ vec {k}}}
|K→|=∑io=1mKio{\ displaystyle \ left | {\ vec {k}} \ right | = \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {m} k_ {i}}![\ left | {\ vec k} \ right | = \ sum \ nolimits _ {{i = 1}} ^ {m} k_ {i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3522d703b8ff74af54f498026843a61fd32cde9b)
(∑io=1mXio)non=∑|K→|=non(nonK→)∏io=1mXioKio{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ right) ^ {n} = \ sum _ {\ left | {\ vec {k}} \ right | = n} {n \ scegli {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}}![{\ displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} \ right) ^ {n} = \ sum _ {\ left | {\ vec {k}} \ right | = n} {n \ scegli {\ vec {k}}} \ prod _ {i = 1} ^ {m} x_ {i} ^ {k_ {i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c880d4e71a586413319e3a7b3589b5de34dde541)
Numeri
(nonK1,K2,K3,...,Km)=(nonK→)=non!K1!K2!K3!...Km!=non!∏io=1mKio!{\ displaystyle {n \ scegli k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}} = {n \ scegli {\ vec {k}}} = {\ frac {n! } {k_ {1}! k_ {2}! k_ {3}! \ dots k_ {m}!}} = {\ frac {n!} {\ prod _ {i = 1} ^ {m} k_ {i }!}}}![{n \ scegli k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}} = {n \ scegli {\ vec k}} = {\ frac {n!} {k_ {1 }! k_ {2}! k_ {3}! \ dots k_ {m}!}} = {\ frac {n!} {\ prod _ {{i = 1}} ^ {m} k_ {i}!} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbdf2226fa64811019001780e188ee39a73c368)
sono chiamati coefficienti multinomiali .
Il coefficiente multinomiale è anche il numero di "partizioni ordinate" di un insieme di n elementi in m insiemi di rispettivi cardinali k 1 , k 2 , ..., k m . Più formalmente:
(nonK1,K2,K3,...,Km){\ displaystyle {n \ scegli k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}}![{n \ scegli k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f605c8b3069cd0ff0c4741c60d870c72cc4aeb)
(nonK1,K2,...,Km)=Carta{io∈P({1,...,non})m|∀io,jCarta(ioio)=Kio e (io≠j⇒ioio∩ioj=∅)}.{\ displaystyle {n \ choose k_ {1}, k_ {2}, \ ldots, k_ {m}} = \ operatorname {Card} \ left \ {I \ in {\ mathcal {P}} (\ {1, \ ldots, n \}) ^ {m} | \ forall i, j \ quad \ operatorname {Card} (I_ {i}) = k_ {i} ~ {\ text {e}} ~ (i \ neq j \ Rightarrow I_ {i} \ cap I_ {j} = \ emptyset) \ right \}.}
E più concretamente, è il numero di parole di lunghezza n formate con un alfabeto di m caratteri, il primo carattere ripetuto k 1 volta, il secondo k 2 volte, ..., l' m -esimo, k m volte. Ad esempio, vale il numero di anagrammi della parola Mississippi .
(nonK1,K2,K3,...,Km){\ displaystyle {n \ scegli k_ {1}, k_ {2}, k_ {3}, \ ldots, k_ {m}}}
(104,4,1,1)=6300{\ displaystyle {10 \ scegli 4,4,1,1} = 6300}![{\ displaystyle {10 \ scegli 4,4,1,1} = 6300}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d62e5160b3fa41b932f6e97ce45cfad73424859)
Dimostrazioni
Una dimostrazione diretta è usare la penultima espressione sopra per i coefficienti multinomiali.
Un altro è ragionare per induzione su m , usando la formula binomiale .
Infine, si può utilizzare il numero intero (o semplicemente formale ) serie espansione del esponenziale .
Esempio
(a+b+vs)3=(a3b0vs0+a0b3vs0+a0b0vs3)+3(a2b1vs0+a1b2vs0+a0b1vs2+a0b2vs1+a1b0vs2+a2b0vs1)+6a1b1vs1=a3+b3+vs3+3(a2b+ab2+bvs2+b2vs+avs2+a2vs)+6abvs.{\ displaystyle {\ begin {align} (a + b + c) ^ {3} & = (a ^ {3} b ^ {0} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {3} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {0} c ^ {3}) + 3 (a ^ {2} b ^ {1} c ^ {0} + a ^ {1} b ^ {2} c ^ {0} + a ^ {0} b ^ {1} c ^ {2} + a ^ {0} b ^ {2} c ^ {1} + a ^ {1} b ^ {0} c ^ {2} + a ^ {2} b ^ {0} c ^ {1}) + 6a ^ {1} b ^ {1} c ^ {1} \\ & = a ^ {3} + b ^ {3 } + c ^ {3} +3 (a ^ {2} b + ab ^ {2} + bc ^ {2} + b ^ {2} c + ac ^ {2} + a ^ {2} c) + 6abc. \ End {allineato}}}
Note e riferimenti
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Questa dimostrazione combinatoria è disponibile ad esempio in Louis Comtet , Analisi combinatoria avanzata , Tecniche di ingegneria ( leggi online ) , p. 3e su Wikiversità , nel link sottostante .
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Questa prova di ricorrenza è disponibile per esempio su Wikiversità, nel link sottostante .
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Questa dimostrazione "analitica" è disponibile ad esempio in Comtet , p. 3 e su Wikiversità, nel link sottostante .
Vedi anche
Articoli Correlati
Bibliografia
(en) Paul Erdős e Ivan Niven , " Il numero di coefficienti multinomiali " , Amer. Matematica. Mensile , vol. 61,1954, p. 37-39 ( leggi in linea )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">