Formula Co-ary

La formula co-ary è un teorema della teoria geometrica della misura che esprime l' integrale Jacobiano di una funzione su ℝ n come integrale di misura di Hausdorff dei suoi insiemi di livello . Generalizza il teorema di Fubini . Svolge un ruolo decisivo nell'approccio moderno ai problemi isoperimetrici .

Per le funzioni uniformi , la formula è un risultato di analisi multivariata che risulta da un semplice cambio di variabile . Fu generalizzato alle funzioni Lipschitziane da Herbert Federer poi alle funzioni con variazione limitata da Fleming (en) e Rishel.

stati

Sia u una funzione di ℝ n in ℝ, Lipschitziano quindi differenziabile quasi ovunque . Allora,

per ogni parte misurabile A di ℝ n , ${\ displaystyle \ int _ {A} \ | \ nabla u (x) \ | ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {\ mathbb {R}} H ^ {n-1} (A \ cap u ^ {-1} (t)) ~ \ mathrm {d} t}$

dove ║∇ u ║ è la norma euclidea del gradiente di u e H n - 1 è la misura di Hausdorff di dimensione n - 1

o, che è equivalente:

per ogni funzione misurabile g da ℝ n in $[0, + \infty]$ ,

${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (x) \ | \ nabla u (x) \ | ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {\ mathbb {R}} \ sinistra (\ int _ {u ^ {- 1} (t)} g (x) ~ dH ^ {n-1} (x) \ destra) ~ \ mathrm {d} t.}$

Generalizzazione

Sia u una funzione lapschitziana da ℝ n a ℝ k con k ≤ n . Allora,

per ogni parte misurabile A di ℝ n , ${\ displaystyle \ int _ {A} J_ {k} u (x) ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {k}} H ^ {nk} (A \ cap u ^ {-1} (t)) ~ \ mathrm {d} t}$

dove J k u è lo Jacobiano k- dimensionale di u : ${\ Displaystyle J_ {k} u (x) = {\ sqrt {\ det \ left (J_ {u} (x) ^ {\ nomeoperatorno {t}} \! J_ {u} (x) \ right)}} .}$ o, che è equivalente:

per ogni funzione misurabile g da ℝ n in $[0, + \infty]$ , ${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} g (x) J_ {k} u (x) ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {k} } \ left (\ int _ {u ^ {- 1} (t)} g (x) ~ \ mathrm {d} H ^ {nk} (x) \ right) ~ \ mathrm {d} t.}$

Osservazioni

Nella prima di queste due formule, il fatto anteriore (qui implicito) che per quasi tutti i t in ℝ k , la dimensione di Hausdorff dell'insieme A ∩ u −1 ( t ) è uguale a n - k , può essere interpretato come un generalizzazione del teorema di Sard .
Nella seconda troviamo, per u uguale alla proiezione sulle k prime coordinate, il teorema classico di Fubini-Tonelli su ℝ k × ℝ n - k .
Questo teorema può essere ulteriormente generalizzato, in una formula corea per le varietà (en) , prendendo u Lipschitziano, da una varietà Riemanniana di classe C 1 , di dimensione n , in un'altra, di dimensione k ≤ n .
La più classica "formula dell'area" riguarda il caso k ≥ n e lo Jacobiano n- dimensionale, ${\ displaystyle J_ {n} u (x) = {\ sqrt {\ det \ left (^ {\ operatorname {t}} \! J_ {u} (x) J_ {u} (x) \ right)}} .}$

Applicazioni

Prendendo u ( x ) = ║ x ║, troviamo, per una funzione integrabile $f$ , la formula di integrazione in coordinate sferiche : ${\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f (x) ~ \ mathrm {d} x = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (\ int _ {S (0 , r)} f ~ \ mathrm {d} S \ right) ~ \ mathrm {d} r.}$
Combinando la formula per la co-area con la disuguaglianza isoperimetrica n ω n 1 / n λ n ( A ) ( n - 1) / n ≤ M n - 1 ( ∂ A ), dove ω n è il volume dell'unità palla di ℝ n , dimostriamo la disuguaglianza di Sobolev (en) per u ∈ W 1,1 con costante ottima: ${\ displaystyle \ left (\ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} | u | ^ {n / (n-1)} \ right) ^ {\ frac {n-1} {n}} \ leq n ^ {- 1} \ omega _ {n} ^ {- 1 / n} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ | \ nabla u \ |.}$

Note e riferimenti

(EN) H. Federer , “ misure di curvatura ” , Trans. Amaro. Matematica. Soc. , vol. 93, n o 3,1959, p. 418-491 ( leggi in linea )
(in) Wendel H. Fleming e Raymond Rishel , " Una formula integrale per la variazione totale del gradiente " , Archiv Math. , vol. 11, n o 1,1960, p. 218-222 ( leggi in linea )
(in) Mariano Giaquinta (it) e Giuseppe Modica , Mathematical Analysis: An Introduction to Functions of Divers Variables , Springer,2009, 348 p. ( ISBN 978-0-8176-4509-0 , leggi online ) , p. 117-118
(en) Herbert Federer , Teoria della misura geometrica , Springer , et al. “ Matematica Grundlehren. Wiss. "( N o 153),1969, xiv + 676 p. ( ISBN 978-3-540-60656-7 ), § 3.2.43

(en) Jan Malý , David Swanson e William P. Ziemer , " La formula della co-area per le mappature di Sobolev " , Trans. Amaro. Matematica. Soc. , vol. 355, n o 22002, p. 477-492 ( leggi in linea )

( fr ) Questo articolo è parzialmente o totalmente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato “ Coarea formula ” ( vedi la lista degli autori ) .

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Teorema di Brothers-Ziemer (it)