Nella simulazione numerica , un problema dipendente dal tempo può essere formulato implicitamente o esplicitamente . Un problema dipendente dal tempo descrive una situazione in evoluzione; il sistema è modellato a vari discreti volte t chiamato “tempo di fase”.
Il metodo esplicito consiste nel determinare la soluzione di t + Δ t in funzione del valore della funzione in t . Se la funzione da valutare è chiamata y ( t ), allora il problema è formulato come segue:
y ( t + Δ t ) = F ( y ( t )).Il metodo Eulero è un metodo esplicito.
Il metodo implicito consiste nel determinare la soluzione di t + Δ t risolvendo un'equazione che tenga conto del valore della funzione in t e in t + Δ t . Il problema è formulato come segue:
G ( y ( t ), y ( t + Δ t )) = 0.I metodi di Runge-Kutta sono metodi noti come implicito-esplicito (o "imex") perché una parte viene risolta da un metodo implicito e l'altra da un metodo esplicito.
La formulazione implicita è la formulazione più semplice ma è limitata ai problemi quasi statici .
La formulazione esplicita permette di modellare i fenomeni in modo più fine ma è molto avida di risorse (numero di operazioni, durata del calcolo, memoria necessaria). Viene quindi utilizzato per simulazioni di fenomeni di breve durata e non simulabili con la formulazione implicita: si tratta essenzialmente di problemi di dinamica veloce, shock, propagazione delle onde.
In termini di software, parliamo di un risolutore implicito o di un risolutore esplicito.
Nella formulazione implicita , il fenomeno è rappresentato dall'equazione
o
Per essere più precisi, nel metodo degli elementi finiti , questa equazione descrive il comportamento degli elementi, i diversi termini dell'equazione sono quindi matrici . Ad ogni passo temporale, il risolutore cerca una soluzione stazionaria a questa equazione, che quindi rappresenta una situazione di equilibrio.
Essendo una risoluzione quasi statica, il sistema viene risolto staticamente per ogni fase temporale.
Nella formulazione esplicita , il fenomeno è rappresentato dalle equazioni di Navier-Stokes , equazioni alle derivate parziali corrispondenti alla conservazione di massa, quantità di moto (quantità di moto) ed energia in coordinate lagrangiane :
conservazione della massa :; conservazione della quantità di moto : conservazione dell'energia:o
Queste equazioni vengono risolte in ogni fase temporale considerando i risultati della simulazione nella fase temporale precedente, ma senza cercare l'equilibrio.
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