Metodo di Eulero

In matematica , il metodo di Eulero , chiamato in onore del matematico Leonhard Euler (1707-1783), è una procedura numerica per risolvere equazioni differenziali del primo ordine per approssimazione con una condizione iniziale . È il metodo più semplice per risolvere numericamente le equazioni differenziali .

Principio del metodo

Il metodo di Eulero è un metodo numerico elementare per risolvere equazioni differenziali del primo ordine, della forma

\ forall x \ in I, u '(x) = f (x, u (x))

dove $I$ è un intervallo e $f$ , una vera e propria funzione . $\ mathbb {R}$ $I \ times {\ mathbb R}$

Data una condizione iniziale , il metodo prevede per ogni punto $b$ $\in$ $I$ una serie di approssimazioni del valore $u$ $($ $b$ $)$ che assume, quando esiste, la soluzione dell'equazione che corrisponde a questa condizione iniziale. Vari insiemi di condizioni su $f$ possono assicurare la convergenza di questa sequenza. $(a, u (a)) \ in I \ times {\ mathbb R}$ $(u_ {n} (b)) _ {{n \ in {\ mathbb N}}}$

Il valore $u n ( b ) viene$ ottenuta calcolando n valori intermedi della soluzione approssimata nei punti distribuiti regolarmente tra $una$ e $b$ , in ${\ displaystyle (y_ {i}) _ {i \ in \ {0, n \}}}$ ${\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ in \ {0, n \}}}$

x_ {i} = a + i {\ frac {ba} {n}}.

Eulero esplicito

Estendendo questa notazione a $x 0 = a$ , $y 0 = u ( a )$ e $x n = b$ , $y n = u n ( b )$ e usando l'approssimazione della derivata

u '(x_ {i}) \ simeq {\ frac {u (x _ {{i + 1}}) - u (x_ {i})} {x _ {{i + 1}} - x_ {i} }}

Si deduce la seguente relazione:

{\ frac {y _ {{i + 1}} - y_ {i}} {x _ {{i + 1}} - x_ {i}}} = f (x_ {i}, y_ {i})

I valori intermedi sono poi dati dalla relazione di ricorrenza

{\ displaystyle y_ {i + 1} = y_ {i} + (x_ {i + 1} -x_ {i}) f (x_ {i}, y_ {i}), \ i \ in \ {0, n -1 \}.}

che è l'esplicito schema di Eulero.

Eulero implicito

Nota che possiamo anche avvicinarci alla derivata in $x i +1$ con la stessa relazione

{\ Displaystyle u '(x_ {i + 1}) \ approx {\ frac {u (x_ {i + 1}) - u (x_ {i})} {x_ {i + 1} -x_ {i}} }}

deduciamo la relazione di ricorrenza

{\ displaystyle y_ {i + 1} = y_ {i} + (x_ {i + 1} -x_ {i}) f (x_ {i + 1}, y_ {i + 1}), \ i \ in \ {0, n-1 \}.}

che è lo schema implicito di Eulero. Si noterà che in questo diagramma, il termine $y i +1$ appare su entrambi i lati dell'equazione, il che costringe a utilizzare metodi numerici di risoluzione del tipo della relazione di Newton-Raphson per determinare $y i +1$ ad ogni iterazione se la funzione $f$ è non lineare.

Esempi

Applicazione all'integrazione

L'integrazione di una funzione continua su un segmento può essere visto come un caso particolare in cui la funzione $f$ è continua e dipende solo da $x$ : . Dimostriamo quindi, usando la continuità uniforme di $f$ su $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ ( teorema di Heine ), che la successione è di Cauchy , e quindi converge per completezza di . $u '(x) = f (x)$ $(u_ {n} (b)) _ {{n \ in {\ mathbb N}}}$ $\ mathbb {R}$

Infatti abbiamo: $y_ {n} = h \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} f (kh) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} f \ left ({\ frac {k (ba)} {n}} \ right).$

Riconosciamo il metodo dei rettangoli a sinistra per il calcolo della soluzione esatta . ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {x_ {n}} f (u) \, du}$

Esempio

f (x) = {\ frac {x} {2}}

Data la funzione ei valori iniziali $x$ $0$ $= 1$ e $y$ $0$ $=$ $F$ $($ $x$ $0$ $) =$ $1$ $/$ $4$ . $f: x \ mapsto {\ frac {x} {2}}$

Il calcolo dei valori $F ( x 1 ), F ( x 2 ), F ( x 3 )\dots$ permette di ottenere la rappresentazione grafica di $F$ dai segmenti [A 0 A 1 ], [A 1 A 2 ], [A 2 A 3 ] ...

La funzione $f$ ha per primitiva con $x$ $0$ $= 1$ e $y$ $0$ $=$ $G$ $($ $x$ $0$ $) =$ $1$ $/$ $4$ . $G: x \ mapsto {\ frac {x ^ {2}} {4}}$

La curva (C) rappresentativa di $G$ è qui posta sullo stesso grafico per visualizzare il calcolo delle tangenti.

La funzione a tratti affine è un'approssimazione dell'originale $G$ .

Case lineare

Un altro caso classico è dove f è una funzione lineare u : . Il diagramma quindi fornisce: $u '= cu$

$y _ {{n + 1}} = y_ {n} + hcy_ {n} = (1 + ch) y_ {n},$ è

$y_ {n} = (1 + ch) ^ {n} = \ left (1 + c {\ frac {ba} {N}} \ right) ^ {n}.$

Si trova al punto finale un valore approssimativo della soluzione esatta a condizione che N sia sufficientemente grande: $y_ {N} = \ sinistra (1 + c {\ frac {ba} {N}} \ destra) ^ {N} \ simeq \ exp (c (ba))$ .

Si può anche notare che se il passo è troppo grande, la sequenza (geometrica) assume sempre più valori e diverge dalla soluzione (il diagramma è instabile ). Una soluzione alternativa consiste nell'usare un metodo di Eulero implicito : $y _ {{n + 1}} = y_ {n} + hcy _ {{n + 1}} \ Longleftrightarrow y_ {n} = (1-ch) ^ {{- n}}.$

Questo diagramma è numericamente più stabile e garantisce più semplicemente la convergenza verso la soluzione.

Errore di metodo

Il metodo di Eulero è semplice ma l'errore indotto può essere piuttosto elevato se il passo è scelto troppo grande. Infatti, il calcolo dell'errore di consistenza dà dalla formula di Taylor-Lagrange : $\ epsilon _ {n} = u (t _ {{n + 1}}) - u _ {{n + 1}} = u (t _ {{n + 1}}) - u (t_ {n}) - hf (t_ {n}, u (t_ {n})) = u (t _ {{n + 1}}) - u (t_ {n}) - hu '(t_ {n}) = {\ frac {1} {2}} h ^ {2} u '' (t_ {n}) + o (h ^ {2}).$

Vedi anche

link esterno

Metodo di Eulero. Costruzione punto per punto di una curva integrale con GeoPlan. sul sito web di P. Debart