Funzione omografica

Funzione omografica Curva rappresentativa della funzione .X↦2X-1X+2{\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {2x-1} {x + 2}}}

Valutazione	aX+bvsX+d{\ displaystyle {\ frac {ax + b} {cx + d}}}
Derivato	ad-bvs(vsX+d)2{\ displaystyle {\ frac {ad-bc} {(cx + d) ^ {2}}}}

Caratteristiche principali

Set di definizione	R∖{-dvs}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ left \ {- {\ frac {d} {c}} \ right \}}
Set di immagini	R∖{avs}{\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ left \ {{\ frac {a} {c}} \ right \}}

Valori speciali

Valore zero	bd{\ displaystyle {\ frac {b} {d}}} Se d≠0{\ displaystyle d \ neq 0}
Limite in + ∞	avs{\ displaystyle {\ frac {a} {c}}}
Limite in −∞	avs{\ displaystyle {\ frac {a} {c}}}

Particolarità

Asintoti	X=-dvs{\ displaystyle x = - {\ frac {d} {c}}} y=avs{\ displaystyle y = {\ frac {a} {c}}}
Zeri	-ba{\ displaystyle - {\ frac {b} {a}}}

In matematica , più precisamente in analisi e in geometria , una funzione omografica è una funzione che può essere rappresentata sotto forma di un quoziente di due funzioni affini . È quindi un caso speciale di una funzione razionale dove i polinomi al numeratore e al denominatore sono di grado uno.

Anche la funzione inversa di una funzione omografica è una funzione omografica.

Definizione

In un campo commutativo K (tipicamente: R o C ), un'omografia è una funzione di K in sé definita da:

f(X)=aX+bvsX+d{\ displaystyle f (x) = {\ frac {ax + b} {cx + d}}}

dove a , b , c e d sono elementi di K e ad - bc è diverso da zero.

Le funzioni omografiche con c = 0 formano l'insieme delle funzioni affini . Una funzione omografica con c diverso da zero è chiamata funzione omografica propria .

Se ad - bc è zero, la funzione corrispondente è costante. Una funzione omografica propria , con ad - bc diverso da zero, determina una biiezione (da K \ {- d / c } a K \ { a / c }), il cui reciproco è la funzione omografica:

f-1(y)=-dy-bvsy-a{\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = - {\ frac {dy-b} {cy-a}}}.

Possiamo estendere una funzione omografica f alla retta proiettiva ottenuta aggiungendo un punto all'infinito ω a K , ponendo f (- d / c ) = ω ef (ω) = a / c . La trasformazione ottenuta è una mappa proiettiva , detta anche “omografia”, di . K^=K∪{ω}{\ displaystyle {\ hat {K}} = K \ cup \ {\ omega \}}

Le funzioni omografiche non costanti definite su , fornite con la composizione delle mappe, formano quindi un gruppo. K^{\ displaystyle {\ hat {K}}}

Derivata e variazioni

Nel caso reale o complesso, il suo derivato è

f′(X)=|abvsd|(vsX+d)2{\ displaystyle f '(x) = {\ frac {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} {(cx + d) ^ {2}}}}

dov'è il determinante di |abvsd|=ad-bvs{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} a & b \\ c & d \ end {vmatrix}} = ad-bc}[abvsd]{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}}

Ne deduciamo che le variazioni della funzione omografica sono le seguenti:

• Se ad - bc è strettamente negativo, allora f è strettamente decrescente nei suoi due intervalli di definizione;
• Se ad - bc è strettamente positivo, allora f è strettamente crescente nei suoi due intervalli di definizione.

Forma canonica

Nel caso in cui c non sia zero, si scrive la forma canonica (detta anche forma ridotta) di una funzione omografica:

f(X)=αX-β+γ{\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ alpha} {x- \ beta}} + \ gamma}

o :

α=bvs-advs2{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {bc-ad} {c ^ {2}}}}

β=-dvs{\ displaystyle \ beta = {\ frac {-d} {c}}}

γ=avs{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {a} {c}}}

Effettuando un cambio di cornice in un nuovo sistema di coordinate di origine S , l'espressione della funzione omografica diventa: (β,γ){\ displaystyle (\ beta, \ gamma)}

f(X)=αX{\ displaystyle f (X) = {\ frac {\ alpha} {X}}}

che corrisponde alla funzione inversa moltiplicata per lo scalare .α=(bvs-ad)/vs2{\ displaystyle \ alpha = (bc-ad) / c ^ {2}}

Rappresentazione grafica

Nel caso in cui c non sia zero, la sua rappresentazione grafica nel caso reale è un'iperbole che viene dedotta dall'iperbole dell'equazione y = 1 / x da un'affinità di asse (Ox), direzione (Oy) e rapporto seguito da traduzione vettoriale . α{\ displaystyle \ alpha}u→=(βγ){\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ begin {pmatrix} \ beta \\\ gamma \ end {pmatrix}}}

Il grafico di una funzione omografica è un'iperbole equilatera , che ammette come asintoti le due linee di equazione e  ; il punto S di intersezione dei due asintoti è un centro di simmetria per il grafo. X=β{\ displaystyle x = \ beta}y=γ{\ displaystyle y = \ gamma}

Nell'aereo complesso

Per ciascuna funzione homographic complessa, possiamo associare una funzione punto F che, nel punto M di affisso z , associa il punto M ' di apporre f ( z ).

Possiamo distinguere i seguenti casi

• se c = 0 allora F è una somiglianza diretta
• se c non è zero, possiamo provare che F è il composto di un'inversione e somiglianze

Un'omografia non banale ha uno o due punti fissi , perché risolvere f ( z ) = z equivale, moltiplicando per il denominatore di f , a risolvere un trinomio quadratico .

Un'omografia è determinata dalle immagini di tre punti.

La funzione F preserva il rapporto incrociato di 4 punti, e viceversa qualsiasi biiezione che preserva il rapporto incrociato di quattro punti è un'omografia.

Proprietà geometriche delle coniche

Una funzione omografica può essere utilizzata per disegnare una sezione conica. Per questo è sufficiente prendere due tangenti a questa conica, sulla prima tangente a prendere un punto X di coordinate x , per effettuare una homographic trasformazione y = f ( x ) con i parametri di un , b , c e d scelti giudiziosamente e posizionare sulla seconda tangente il punto Y della coordinata y . La linea ( XY ) sarà tangente alla conica, ma non conosciamo la posizione del punto di contatto su questa linea. Esempio: costruzione di una parabola tangente per tangente . Allo stesso modo si può disegnare una sezione conica punto a punto sottoponendo una funzione omografica alle coordinate di due fasci di linee. Esempio: costruzione di un cerchio punto per punto .

Proprietà algebriche

Le funzioni omografiche sono composte come matrici in coordinate omogenee:

Siof(X)=aX+bvsX+detg(X)=a′X+b′vs′X+d′alorSf(g(X))=a″X+b″vs″X+d″{\ displaystyle {\ rm {si}} \ quad f (x) = {\ frac {ax + b} {cx + d}} \ quad {\ rm {e}} \ quad g (x) = {\ frac {a'x + b '} {c'x + d'}} \ quad {\ rm {quindi}} \ quad f (g (x)) = {\ frac {a''x + b ''} { c''x + d ''}}}

o

[abvsd][a′b′vs′d′]=[a″b″vs″d″].{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a '& b' \\ c '& d' \ end {bmatrix}} = {\ inizio {bmatrix} a '' & b '' \\ c '' & d '\ end {bmatrix}}.}

Questo dimostra che abbiamo un morfismo di gruppo suriettivo , matrici quadrate di dimensione 2 con coefficienti in K invertibili all'insieme delle omografie, tramite l'applicazione

[abvsd]↦(z↦az+bvsz+d),{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}} \ mapsto \ left (z \ mapsto {\ frac {az + b} {cz + d}} \ right),}

il cui nucleo è l'insieme di matrici tali che a = d e b = c = 0: queste sono tutte omotie diverse da zero, quindi il centro di GL 2 ( K ).

Dal 1 ° teorema di isomorfismo , otteniamo quindi un isomorfismo del gruppo PGL 2 ( K ) in quello delle funzioni omografiche.

Riferimenti

1. http://www.mathweb.fr/mathematiques/divers/Formes%20canonique.pdf
2. http://spiral.univ-lyon1.fr/mathsv/cours/analyse/chap4/c4p1d.html

Vedi anche

Trasformazione di Möbius

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