Classe di regolarità

In matematica e analisi , le classi di regolarità delle funzioni digitali costituiscono un catalogo frammentario basato sull'esistenza e sulla continuità di derivato iterato , indipendentemente dalla forma o forma della funzione ( monotonia , convessità , zeri , ecc.).

Tuttavia, le classi di regolarità non riflettono in alcun modo un tipo esaustivo di funzioni: in particolare, i criteri si riferiscono a tutto il dominio di definizione .

Dominio nella dimensione n = 1

Se $J$ è un intervallo di ℝ e un intero, consideriamo i seguenti spazi funzionali : $k \ geq 1$

${\ mathcal {C}} ^ {0} (J, \ mathbb {R})$ : l'insieme delle funzioni continue da $J$ a ℝ;
${\ mathcal {D}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ : l'insieme delle funzioni da $J$ a ℝ differenziabili volte; $K$
${\ mathcal {C}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ : il sottoinsieme di composto da funzioni la cui iesima derivata è continua; ${\ mathcal {D}} ^ {k} (J, \ mathbb {R})$ $K$
${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J, \ mathbb {R})$ , o in modo strettamente equivalente : l'insieme delle funzioni indefinitamente differenziabili (cioè differenziabili in tempi per tutti gli interi ) da $J$ a ℝ, dette anche funzioni regolari o lisce . ${\ mathcal {D}} ^ {\ infty} (J, \ mathbb {R})$ $non$ $non$

Questi insiemi sono l'algebra , così ancora di più nei spazi vettoriali su ℝ.

La continuità è legata alle usuali topologie su $J$ e su ℝ. D'altra parte, non è specificato se $J$ è aperto , chiuso , semiaperto, mezzo destro o intero ℝ. La topologia (o forse lo standard ) associata a questi spazi non è spiegata neanche qui (vedi Spazio di Fréchet ).

Quando il contesto è chiaro, l '"argomento" ℝ viene ignorato nella notazione, e lo stesso vale a volte per il dominio della definizione (questo è di solito il caso di $J$ = ℝ).

Poiché la derivabilità implica continuità, questi insiemi soddisfano la sequenza di inclusioni:

{\ mathcal {C}} ^ {0} (J) \ supset {\ mathcal {D}} ^ {1} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {1} (J) \ supset {\ mathcal {D}} ^ {2} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {2} (J) \ supset \ cdots \ supset {\ mathcal {D}} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {k} (J) \ supset \ cdots \ supset {\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J).

Vengono comunemente menzionate altre due categorie:

${\ mathcal {C}} _ {I} ^ {0} (J)$ l'insieme delle funzioni continue a tratti ;
${\ mathcal {C}} _ {I} ^ {k} (J)$ (con ) il sottoinsieme costituito da funzioni la cui iesima derivata è continua a tratti; $k \ geq 1$ ${\ mathcal {D}} ^ {k} (J)$ $K$
${\ mathcal {C}} _ {0} ^ {k} (J)$ il sottoinsieme di costituito da funzioni il cui supporto è compatto in un insieme aperto contenuto in $J$ ; ${\ mathcal {C}} ^ {k} (J)$
${\ mathcal {C}} _ {0} ^ {\ infty} (J)$ il sottoinsieme è costituito dalle funzioni cui sostegno è compatto in un contenuto aperta in $J$ . ${\ mathcal {C}} ^ {\ infty} (J)$

Soddisfano le seguenti inclusioni:

{\ mathcal {D}} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} _ ​​{I} ^ {k} (J) \ supset {\ mathcal {C}} ^ {k} ( J) \ supset {\ mathcal {C}} _ ​​{0} ^ {k} (J).

Se l'intervallo

J

non è banale , tutti questi insiemi costituiscono, con le loro leggi, spazi vettoriali della carta dimensionale (ℝ) .

Dominio nella dimensione n > 1

Vale a dire un limitato aperto, di confine e di adesione . $\ Omega \ subset \ mathbb {R} ^ {n}$ $\ partial \ Omega$ ${\ overline {\ Omega}}$

Per semplicità, supponiamo che sia un dominio "normale"; per esempio e per fissare le idee, che il teorema della divergenza è valido per qualsiasi funzione sufficientemente liscia . $\Omega$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

In questo contesto, le definizioni precedenti mantengono la loro validità sostituendo $J$ con e assumendo "derivato" nel senso di " differenziale ". ${\ overline {\ Omega}}$

Classe di regolarità

Dominio nella dimensione n = 1

Dominio nella dimensione n > 1

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