estremo

L'espressione "elemento estremo (plurale extrema )" significa "elemento massimo" o "elemento minimo". In matematica, l'espressione massimo-minimo , introdotta da Nicolas de Cues , corrisponde da Fermat e Leibniz agli estremi di una curva o di una funzione, identificati dal fatto che le derivate vi si annullano.

In un insieme ordinato E , un elemento di parte A è l' elemento più grande o un massimo di A , se appartiene a A ed è superiore a qualsiasi altro elemento di A . L'esistenza di un massimo non è generalmente garantita per nessuna parte di un insieme ordinato. D'altra parte, in condizione di esistenza, tale elemento è unico (che giustifica l'uso dell'articolo determinativo "il" nella definizione). Allo stesso modo, il più piccolo elemento o minimo è, se c'è un elemento di A minore di qualsiasi altro elemento di A .

Generale

Unicità

Se una parte A di E ammette due massimi, m 1 e m 2 , allora m 1 è maggiore di qualsiasi elemento di A , quindi in particolare di m 2  ; e allo stesso modo, m 2 è maggiore di m 1 . Per antisimmetria delle relazioni d'ordine se ne deduce l'uguaglianza m 1 = m 2 .

Confronto con altre nozioni

Altre nozioni relative agli insiemi ordinati sono vicine a quelle di massimo; confrontarli ti permette di capirli meglio:

• La nozione di limite superiore e limite inferiore  : se esiste, un elemento di E è un limite superiore di A se è maggiore di qualsiasi elemento di A  ; se esiste, un elemento di E è un limite inferiore di A se è minore di qualsiasi elemento di A  ; quindi, gli estremi (il massimo e il minimo) che esistono in un insieme E fanno parte (rispettivamente) del limite superiore e inferiore di E in sé.
• La nozione di limite ( limite superiore , detto anche supremo, o limite inferiore , detto anche infimum ): se esiste, il limite superiore di A è il più piccolo di tutti i limiti superiori di A in E (il limite superiore di A è quindi definito come il minimo di una certa parte di E e la sua unicità è garantita ma non la sua esistenza). A ammette un massimo se e solo se il suo limite superiore esiste e appartiene ad A (ed in questo caso è uguale al massimo); e viceversa per il limite inferiore.
• La nozione di elemento estremale ( elemento massimale o elemento minimo ) detta anche limite inclusivo: un elemento di E è massimale in A , se appartiene ad A , e non è inferiore a nessun altro elemento di A  ; un elemento E è minimo in A , se appartiene ad A , ed è superiore a qualsiasi altro elemento di A .

Se esistono, gli estremi (il massimo o il minimo) di un insieme E , sono sempre elementi estremi (limiti inclusivi: elemento massimo o elemento minimo) di E in sé; le nozioni di estremo (massimo e minimo) ed elemento estremo (un elemento massimo o un elemento minimo) coincidono negli insiemi dotati di ordine totale  ; quando E è finito, c'è equivalenza tra l'esistenza di un singolo elemento estremale (limite inclusivo: elemento massimo o elemento minimo) e l'esistenza di un estremo (il massimo o il minimo, ciascuno necessariamente unico con un ordine totale su un insieme finito ).

assegni

• Un elemento m di E è il massimo di A se e solo se m è il limite superiore di A e m appartiene ad A  : se A ha un massimo m allora in E , il limite superiore di A è esattamente il limite superiore di m e m è il più piccolo di essi quindi questo è il limite superiore di A . Viceversa, se il limite superiore di A esiste e appartiene ad A , allora questo è un limite superiore di A appartiene ad A , quindi questo è il massimo A .
• Il massimo, se esiste, è massimo  : se A ha un massimo m allora, per ogni elemento a di A , m maggiori a (per antisimmetria della relazione d'ordine) non è strettamente minore di esso, il che mostra che m è massimo in ben A .
• Se l'ordine è totale, ogni elemento massimo è massimo  : assumiamo ora che E abbia un ordine totale. O ha un elemento massimo di A . Oppure b un altro elemento di A . Allora a non è minore di b quindi, poiché l'ordine è totale, b è minore di a . Quindi una è maggiore o uguale a ogni elemento di A , quindi questo è il massimo A .

Ma questo non è necessariamente vero su un insieme vuoto o infinito o nel caso di un ordine non totale (dove due elementi possono essere ordinati allo stesso modo con gli altri e reciprocamente tra loro, e possono quindi essere ciascuno elementi estremali. ma tuttavia distinto). Ad esempio l'insieme di soli tre interi {0, 1, 2} provvisto dell'ordine parziale confrontando non il loro valore ma la loro parità (il resto della loro divisione euclidea per 2) non è completamente ordinato perché gli elementi 0 e 2 hanno lo stesso parità 0 (gli elementi 0 e 2 sono valori minimi per questo ordine parziale, ma sono diversi: questo insieme ordinato non ha quindi un minimo, ma ha un massimo con l'elemento 1). Nel sottoinsieme {0, 2} con lo stesso ordine, non c'è né minimo né massimo, ma esistono valori minimi (così come valori massimi) e formano questo stesso insieme di due elementi.

Quando l'insieme ordinato è un singleton , il suo elemento unico è sia il suo massimo che il suo minimo. Nel caso degenere in cui l'insieme ordinato è vuoto, non c'è estremo, né valore estremo, e ogni elemento di qualsiasi insieme (comprendo quindi l'insieme vuoto come parte) è allo stesso tempo un limite superiore e un limite inferiore, e quindi anche un vincolo se quest'altro insieme è totalmente ordinato.

Esempi

Nell'insieme N di interi naturali dotati del suo solito ordine, ogni parte non vuota ammette un elemento minimo e ogni parte aumentata (cioè ammettendo un limite superiore) è finita quindi ammette anche un massimo. Ad esempio, N stesso ha un minimo di 0 e non ha un massimo.

Nell'insieme R dei numeri reali provvisto del suo consueto ordine, alcune parti aumentate non ammettono un elemento più grande, ad esempio l' intervallo ] 0, 1 [numeri strettamente compresi tra 0 e 1.

In R , le funzioni minimo e massimo di una coppia possono essere espresse utilizzando valori assoluti  :

min(X,sì)=X+sì-|X-sì|2,max(X,sì)=X+sì+|X-sì|2{\ displaystyle \ min {(x, y)} = {\ frac {x + y- | xy |} {2}}, \ quad \ max {(x, y)} = {\ frac {x + y + | xy |} {2}}}.

In un insieme ordinato provvisto di un ordine non totale, alcune parti ammettono elementi massimali che non sono massimi.

Ad esempio nell'insieme E = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} delle parti dell'insieme {0, 1}, ordinate per inclusione, la parte A = {∅, {0} , {1}} ammette (un minimo e) due massimi non comparabili quindi nessun massimo (solo un limite superiore: {0, 1}, che non appartiene ad A ).

Estremi di una funzione

Il massimo di una funzione f definita su un insieme E e con valori in un insieme ordinato F è il massimo dell'insieme di valori assunto da f (della parte f ( E ) di F ). Quindi m è il massimo di f se esiste un elemento a di E tale che f ( a ) = m e tale che per ogni elemento x di E , f ( x ) ≤ f ( a ); l'elemento a (che non è necessariamente unico) è detto punto di massimo di f .

Nel caso in cui lo spazio di partenza di f sia dotato di una struttura topologica (ad esempio se f è funzione di una o più variabili reali con valori reali), si distinguono due tipi di estremi: gli estremi globali, che corrispondono ai precedenti definizione e gli estremi locali.

Estremo locale di una funzione

Sia f una funzione definita su uno spazio topologico E e che abbia un punto E . Dicono f raggiunto da un massimo locale se esiste un intorno V di a tale che per ogni elemento x di V , abbiamo f ( x ) ≤ f ( a ).

Diciamo allora che f ( a ) è un “massimo locale” di f su E e che a è un punto di massimo locale di f .

Quando esiste un intorno V di a tale che per ogni elemento x di V diverso da a , abbiamo f ( x ) < f ( a ), si dice che f raggiunge in a un massimo locale stretto.

Quando E è una parte di uno spazio metrico (per esempio di uno spazio vettoriale normato , come R k ), i dintorni di a in queste definizioni possono essere scelti uguali a ball . Ad esempio: f raggiunto da un massimo locale se esiste un reale ε> 0 tale che per ogni elemento x di E a distanza <ε per a , abbiamo f ( x ) ≤ f ( a ).

Sia una funzione , dove D è uno spazio topologico. Ad esempio, D può essere una parte di R (caso di funzione di una variabile reale), oppure di uno spazio R k , con k intero naturale (caso di funzione di k variabili reali). F:D→R{\ displaystyle f: D \ a \ mathbb {R}}

L'esistenza degli estremi globali è assicurata non appena la funzione f è continua e la parte D è compatta  : infatti, l' immagine f ( D ) è allora una parte compatta dello spazio di arrivo R  ; come parte limitata di R , ammette un limite superiore, e questo limite superiore è in f ( D ) poiché questa parte è chiusa .

In dimensione k = 1, è in particolare il caso se I è un intervallo chiuso limitato, cioè della forma [ a , b ] (vedi Teorema dei limiti ). In dimensione k superiore , è in particolare il caso se D è una palla chiusa (della forma , dove denota una norma su R k ). D=B(A,R)={X∈RK|‖X-A‖≤R}{\ displaystyle D = B (A, r) = \ {X \ in \ mathbb {R} ^ {k} \ mid \ | XA \ | \ leq r \}}‖ ‖{\ stile di visualizzazione \ | ~ \ |}

Metodi risultanti dal calcolo differenziale per la ricerca degli estremi locali

Sia una funzione , dove U è un aperto di R k  ; per esempio, nel caso di una variabile reale, U può essere un intervallo aperto della forma] un , b [(con un e b essendo numeri reali, o , o ). F:tu→R{\ displaystyle f: U \ a \ mathbb {R}}a=-∞{\ displaystyle a = - \ infty}B=+∞{\ displaystyle b = + \ infty}

Lo studio degli estremi comporta spesso la ricerca degli zeri della derivata , detti punti critici (o punti stazionari ) di f . Un punto critico non è necessariamente un punto finale, come mostra l'esempio della funzione al punto 0. Tuttavia, in determinate ipotesi aggiuntive, si può dire che un punto critico è un punto finale. F:R→R,X↦X3{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ a \ mathbb {R}, \, x \ mapsto x ^ {3}}

Caso di una funzione di una variabile Condizione necessaria per un estremo locale Nel caso di una funzione differenziabile f di una singola variabile, se f ha un estremo locale in un punto della definizione aperta di f , allora la derivata di f in questo punto è zero. Condizione sufficiente per un estremo locale Se f è differenziabile sulla U aperta e se, in un punto , la derivata di f si annulla cambiando segno, allora f raggiunge un estremo locale in . In particolare, ipotizzando  : a∈tu{\ displaystyle a \ in U}a{\ stile di visualizzazione a}F'(a)=0{\ stile di visualizzazione f \, '(a) = 0}Se c'è un vero tale cheα>0{\ displaystyle \ alfa> 0}[a-α,a+α]⊂tu{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a + \ alpha] \ subset U} e su , su ,F'≥0{\ displaystyle f \, '\ geq 0}[a-α,a]{\ displaystyle [a- \ alfa, \, a]}F'≤0{\ displaystyle f \, '\ leq 0}[a,a+α]{\ displaystyle [a, \, a + \ alfa]} allora f raggiunge un massimo locale in .a{\ stile di visualizzazione a} Se c'è un vero tale cheα>0{\ displaystyle \ alfa> 0}[a-α,a+α]⊂tu{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a + \ alpha] \ subset U} e su , su ,F'≤0{\ displaystyle f \, '\ leq 0}[a-α,a]{\ displaystyle [a- \ alfa, \, a]}F'≥0{\ displaystyle f \, '\ geq 0}[a,a+α]{\ displaystyle [a, \, a + \ alfa]} allora f raggiunge un minimo locale in .a{\ stile di visualizzazione a} Caso di una funzione di più variabili Condizione necessaria per un estremo locale Se la funzione f raggiunge un estremo locale in un punto a di U dove è differenziabile , allora tutte le sue derivate parziali si annullano in a . Condizione sufficiente per un estremo locale Si assume che f sia differenziabile due volte in un punto di U . La sua matrice dell'Assia in è registrata , vale a dire  ; secondo il teorema di Schwarz , questa matrice è simmetrica . a{\ stile di visualizzazione a}a{\ stile di visualizzazione a}∇2F(a){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}∇2F(a)io,J=∂2F∂Xio∂XJ(a){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a) _ {i, j} = {\ frac {\ parziale ^ {2} f} {\ parziale x_ {i} \, \ parziale x_ {j}}} ( A)}Se e se è definito negativo , allora f raggiunge un massimo locale stretto in .∇F(a)=0{\ displaystyle \ nabla f (a) = 0}∇2F(a){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}a{\ stile di visualizzazione a} Se e se è definita positiva , allora f raggiunge un minimo locale stretto in .∇F(a)=0{\ displaystyle \ nabla f (a) = 0}∇2F(a){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}a{\ stile di visualizzazione a} Caso di una funzione di più variabili con vincoli Le condizioni di ottimalità per questi problemi sono presentate in “  Condizioni di ottimalità  ”. <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">