Spazio separato
In matematica , uno spazio separato , chiamato anche spazio di Hausdorff , è uno spazio topologico in cui due punti distinti qualsiasi ammettono sempre quartieri disgiunti . Questa condizione è anche chiamata assioma T 2 all'interno degli assiomi di separazione .
Il nome si riferisce a Felix Hausdorff , un matematico tedesco e uno dei fondatori della topologia , che ha incluso questa condizione nella sua definizione originale di spazio topologico.
Questa proprietà di separazione è equivalente all'unicità del limite di qualsiasi filtro convergente (o ciò che equivale alla stessa cosa: di qualsiasi sequenza generalizzata convergente).
Esempi e controesempi
Tutto lo spazio metrico è separato. Infatti, due punti posti ad una distanza L l' uno dall'altro ammettono come quartieri disgiunti le sfere di raggio L / 3 centrate su ciascuna di esse.
Ogni spazio discreto è separato, ogni singleton costituisce un intorno del suo elemento. In particolare, uno spazio non numerabile discreto è separato e non separabile .
La topologia dell'ordine associata a un ordine totale è separata.
Esempi di spazi non separati sono forniti da:
- qualsiasi insieme avente almeno due elementi e provvisto della topologia grossolana (sempre separabile );
- qualsiasi insieme infinito dotato della topologia co-finita (che tuttavia soddisfa l'assioma T 1 dello spazio accessibile );
- alcuni spettri ad anello dotati di topologia Zariski .
Proprietà principali
- Per qualsiasi funzione f con valori in uno spazio separato e qualsiasi punto a aderente al dominio di definizione di f , il limite di f in a , se esiste, è unico. Questa proprietà è equivalente all'unicità del limite di qualsiasi filtro convergente (o qualsiasi sequenza generalizzata convergente) con valori in questo spazio.
- In particolare, il limite di una sequenza di valori in uno spazio separato, se esiste, è unico.
- Due mappature continue con valori in uno separato che coincidono su una parte densa sono uguali. Più esplicitamente: se Y è separato, se f , g : X → Y sono due mappe continue e se esiste una parte densa D in X tale cheallora
- Una topologia più fine di una topologia separata è sempre separata.
- Qualsiasi sottospazio di uno spazio separato è separato.
- Un prodotto di spazi topologici non vuoti è separato se e solo se ciascuno di essi lo è.
D'altra parte, un quoziente di spazio di uno spazio separato non è sempre separato.
- X è separato se e solo se, nello spazio prodotto X × X , la diagonale {( x , x ) | x ∈ X } è chiuso .
- Il grafico di una mappa continua f : X → Y viene chiuso in X × Y non appena Y viene separato. (Infatti, la diagonale di Y è quindi chiusa in Y × Y quindi il grafico di f , immagine reciproca di questa chiusa dalla mappa continua f × id Y : ( x , y ) ↦ ( f ( x ), y ), è chiuso in X × Y. ) “Il” reciproco è falso, nel senso che una mappatura a grafo chiuso non è necessariamente continua, anche se lo spazio di arrivo è separato.
- X è separato se e solo se, per qualsiasi punto x di X , l'intersezione degli intorno chiusi di x è ridotta al singoletto { x } (che porta alla separazione T 1 : l'intersezione di tutti gli intorno di x è ridotta in singleton).
Spazio separato localmente
Uno spazio topologico X è localmente separato quando qualsiasi punto di X ammette un vicinato separato.
Tale spazio è sempre T 1 ma non è necessariamente separato o anche solo in un singolo limite sequenziale . Possiamo ad esempio considerare la linea reale fornita con la sua topologia usuale e aggiungere un punto 0 '(che clona lo 0 reale) i cui dintorni sono i dintorni di 0 in cui sostituiamo 0 con 0'. In questo spazio, la sequenza (1 / n ) converge sia verso 0 che verso 0 '.
Note e riferimenti
- Per una dimostrazione, vedere ad esempio il .
- Considerando qualsiasi sequenza come una funzione definita su ℕ, per cui il punto è aderente in ℕ ∪ {+ ∞} dotato della topologia dell'ordine .
- È anche una conseguenza dei fatti (dimostrati nell'articolo Assioma della separazione (topologia) ) che ogni spazio separato è KC e tutto lo spazio KC ha un limite sequenziale univoco.
- Per una dimostrazione, vedere ad esempio il .
