Derivata parziale
In matematica , la derivata parziale di una funzione di più variabili è la sua derivata rispetto a una delle sue variabili, mantenendo costanti le altre. E' un concetto base dell'analisi in dimensione della geometria differenziale e dell'analisi vettoriale .
non{\ stile di visualizzazione n}
Si nota spesso la derivata parziale della funzione rispetto alla variabile .
f{\ stile di visualizzazione f}X{\ stile di visualizzazione x}∂f∂X{\ displaystyle {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x}}}
Se è una funzione e sono le infinitesimali incrementi di rispettivamente, allora il corrispondente incremento infinitesimo è:
f{\ stile di visualizzazione f}X1,⋯,Xnon{\ displaystyle x_ {1}, \ cdots, x_ {n}}dX1,⋯,dXnon{\ displaystyle \ mathrm {d} x_ {1}, \ cdots, \ mathrm {d} x_ {n}} X1,⋯,Xnon{\ displaystyle x_ {1}, \ cdots, x_ {n}}f{\ stile di visualizzazione f}
df=∂f∂X1dX1+⋯+∂f∂XnondXnon{\ displaystyle \ mathrm {d} f = {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} \, \ mathrm {d} x_ {1} + \ cdots + {\ frac {\ partial f} {\ parziale x_ {n}}} \, \ mathrm {d} x_ {n}}.
Questa espressione è il " differenziale totale" di , ogni termine nella somma è un "differenziale parziale" di .
f{\ stile di visualizzazione f}f{\ stile di visualizzazione f}
Nel caso in cui la funzione dipenda da una sola variabile, la derivata e la derivata parziale sono identiche: .
f'=dfdX=∂f∂X{\ displaystyle f '= {\ frac {\ mathrm {d} f} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x}}}
Esempio
Considera il volume di un cono ; dipende dall'altezza e dal raggio della base secondo la formula
V{\ stile di visualizzazione V} h{\ stile di visualizzazione h} r{\ stile di visualizzazione r}
V=r2hπ3{\ displaystyle V = {\ frac {r ^ {2} h \ pi} {3}}}.
La derivata parziale di rispetto a is
V{\ stile di visualizzazione V}r{\ stile di visualizzazione r}
∂V∂r=2rhπ3{\ displaystyle {\ frac {\ parziale V} {\ parziale r}} = {\ frac {2rh \ pi} {3}}}.
Descrive come cambia il volume di un cono se il suo raggio viene modificato mantenendo costante la sua altezza.
La derivata parziale rispetto a is
h{\ stile di visualizzazione h}
∂V∂h=r2π3{\ displaystyle {\ frac {\ parziale V} {\ parziale h}} = {\ frac {r ^ {2} \ pi} {3}}}e rappresenta come varia il volume se è l'altezza del cono che viene modificata mantenendo costante il raggio.
Possiamo quindi esprimere come varia il volume se vengono modificati sia il raggio che l'altezza del cono.
dV=∂V∂rdr+∂V∂hdh=2rhπ3dr+r2π3dh=(∂V∂re→r+∂V∂he→z)⋅(dre→r+dhe→z){\ displaystyle \ mathrm {d} V = {\ frac {\ parziale V} {\ parziale r}} \ mathrm {d} r + {\ frac {\ parziale V} {\ parziale h}} \ mathrm {d} h = {\ frac {2rh \ pi} {3}} \ mathrm {d} r + {\ frac {r ^ {2} \ pi} {3}} \ mathrm {d} h = \ left ({\ frac {\ V parziale} {\ r parziale}} {\ vec {e}} _ {r} + {\ frac {\ V parziale} {\ h parziale}} {\ vec {e}} _ {z} \ destra ) \ cdot \ left (\ mathrm {d} r {\ vec {e}} _ {r} + \ mathrm {d} h {\ vec {e}} _ {z} \ right)}
=(2rhπ3e→r+r2π3e→z)⋅(dre→r+dhe→z)=laurea→V⋅dohM→{\ displaystyle = \ left ({\ frac {2rh \ pi} {3}} {\ vec {e}} _ {r} + {\ frac {r ^ {2} \ pi} {3}} {\ vec {e}} _ {z} \ destra) \ cdot \ sinistra (\ mathrm {d} r {\ vec {e}} _ {r} + \ mathrm {d} h {\ vec {e}} _ {z } \ right) = {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} \, V \ cdot {\ overrightarrow {\ mathrm {d} OM}}}
Il punto è l'apice del cono ed è un punto sul raggio della base.
oh{\ stile di visualizzazione O}M{\ stile di visualizzazione M}
Le equazioni differenziali che implicano derivate parziali, chiamate equazioni differenziali alle derivate parziali , si trovano in molti contesti scientifici.
Definizione formale e proprietà
Le derivate parziali sono definite dai limiti . La loro definizione è simile a quella dei derivati “ordinari”, che generalizzano.
Definizione -
Sia un punto di , un intorno di in e una funzione di variabili.
a=(a1,...,anon){\ displaystyle a = (a_ {1}, \ punti, a_ {n})}Rnon{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}tu{\ stile di visualizzazione U}a{\ stile di visualizzazione a}Rnon{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}f:tu→R{\ displaystyle f: U \ a \ mathbb {R}}non{\ stile di visualizzazione n}
La derivata parziale (di ordine 1, o prima) di nel punto rispetto alla variabile th è, se esiste, la derivata direzionale di nel punto nella direzione del vettore esimo della base canonica , o ancora, la derivata nel punto della funzione reale di una variabile reale :
f{\ stile di visualizzazione f}a{\ stile di visualizzazione a}j{\ stile di visualizzazione j}Xj{\ displaystyle x_ {j}}f{\ stile di visualizzazione f}aj{\ displaystyle a_ {j}}j{\ stile di visualizzazione j}aj{\ displaystyle a_ {j}} X↦f(a1,...,aj-1,X,aj+1,...,anon){\ displaystyle x \ mapsto f (a_ {1}, \ punti, a_ {j-1}, x, a_ {j + 1}, \ punti, a_ {n})}
∂f∂Xj(a)=limih→0f(a1,...,aj-1,aj+h,aj+1,...,anon)-f(a1,...,anon)h{\ displaystyle {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x_ {j}}} (a) = \ lim _ {h \ a 0} {f (a_ {1}, \ punti, a_ {j-1} , a_ {j} + h, a_ {j + 1}, \ punti, a_ {n}) - f (a_ {1}, \ punti, a_ {n}) \ su h}}.
Anche se tutte le derivate parziali esistono in un dato punto, la funzione potrebbe non essere continua in quel punto. Esiste però una condizione sufficiente di differenziabilità - e, a fortiori , di continuità - di una funzione in un punto:
∂f∂X1(a),...,∂f∂Xnon(a){\ displaystyle {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x_ {1}}} (a), \, \ punti, \, {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x_ {n}}} (a )}
Teorema - Se tutte le derivate parziali (di ordine 1) disono definite in un intorno die continue nel punto, alloraè differenziabile in questo punto.
f{\ stile di visualizzazione f}a{\ stile di visualizzazione a}a{\ stile di visualizzazione a}f{\ stile di visualizzazione f}
Quindi, se le derivate parziali sono definite e continue su un aperto, anche il differenziale lo è. In questo caso, diciamo che è di classe su .
tu{\ stile di visualizzazione U}f{\ stile di visualizzazione f} VS1{\ stile di visualizzazione C ^ {1}}tu{\ stile di visualizzazione U}
Il vettore le cui componenti sono le prime derivate parziali di in un dato punto si chiama gradiente da nel punto :
f{\ stile di visualizzazione f}a{\ stile di visualizzazione a}f{\ stile di visualizzazione f}a{\ stile di visualizzazione a}
laurea→f(a)=(∂f∂X1(a),...,∂f∂Xnon(a)){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} f (a) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a), \ dots, {\ frac { \ parziale f} {\ parziale x_ {n}}} (a) \ destra)} ; è anche annotato (leggi "
nabla ").
∇→f(a){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}} f (a)}Se è di classe , allora il gradiente di nel punto , quando non è zero, ha un'interpretazione geometrica: indica la direzione in cui la linea di maggiore pendenza varia più velocemente.
f{\ stile di visualizzazione f}VS1{\ stile di visualizzazione C ^ {1}}f{\ stile di visualizzazione f}a{\ stile di visualizzazione a}f{\ stile di visualizzazione f}
Derivate parziali di ordine superiore
Quando la derivata parziale è definita nell'intorno di un punto, può essa stessa ammettere in questo punto derivate parziali di ordine 1: si dicono derivate parziali di ordine 2, o seconde, di ; si nota la derivata parziale di ordine 1 di nel punto rispetto alla variabile th . Analogamente si definiscono le derivate parziali di ordine superiore.
∂f∂Xio{\ displaystyle {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x_ {i}}}}f{\ stile di visualizzazione f}∂f∂Xio{\ displaystyle {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x_ {i}}}}a{\ stile di visualizzazione a}j{\ stile di visualizzazione j}∂2f∂Xj∂Xio(a){\ displaystyle {\ frac {\ parziale ^ {2} f} {\ parziale x_ {j} \, \ parziale x_ {i}}} (a)}
Se è differenziabile due volte in un punto allora esistono tutte le seconde derivate parziali di in quel punto e l'ordine di derivazione può essere cambiato senza che questo modifichi il risultato, secondo il teorema di Schwarz :
f{\ stile di visualizzazione f}f{\ stile di visualizzazione f}
∂2f∂Xio∂Xj=∂2f∂Xj∂Xio{\ displaystyle {\ frac {\ parziale ^ {2} f} {\ parziale x_ {i} \, \ parziale x_ {j}}} = {\ frac {\ parziale ^ {2} f} {\ parziale x_ { j} \, \ parziale x_ {i}}}}.
Se tutte le seconde derivate parziali di sono definite e continue su un open , allora ( vedi sopra ) anche il secondo differenziale di è. In questo caso, diciamo che è di classe su .
f{\ stile di visualizzazione f}tu{\ stile di visualizzazione U}f{\ stile di visualizzazione f}f{\ stile di visualizzazione f}VS2{\ stile di visualizzazione C ^ {2}}tu{\ stile di visualizzazione U}
Valutazione
Il carattere ∂, simbolo della derivazione parziale , è detto tondo d , o talvolta tondo d (da non confondere con , il delta minuscolo dell'alfabeto greco ).
δ{\ displaystyle \ delta}
Sia una funzione di , e .
f{\ stile di visualizzazione f}X{\ stile di visualizzazione x}sì{\ stile di visualizzazione y}z{\ stile di visualizzazione z}
Si nota la derivata parziale rispetto alla prima variabile:
D1f{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {1} f}(
Chatterji p. 79 ) , , o
∂f∂X{\ displaystyle {\ frac {\ parziale f} {\ parziale x}}}fX'{\ displaystyle f_ {x} '}∂Xf{\ displaystyle \ parziale _ {x} f}
e quelli del secondo ordine:
D1,1f{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {1,1} f}(
Chatterji p. 123 ) , , , o .
∂2f∂X2{\ displaystyle {\ frac {\ parziale ^ {2} f} {\ parziale x ^ {2}}}}fX,X″{\ displaystyle f_ {x, x} ''}∂X,Xf{\ displaystyle \ parziale _ {x, x} f}∂X2f{\ displaystyle \ parziale _ {x} ^ {2} f}Quelle del secondo ordine che coinvolgono due variabili - dette derivate miste del secondo ordine - si scrivono:
D1,2f{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {1,2} f}(
Chatterji p. 123 ) , , o .
∂2f∂X∂sì{\ displaystyle {\ frac {\ parziale ^ {2} f} {\ parziale x \, \ parziale y}}}fX,sì″{\ displaystyle f_ {x, y} ''}∂X,sìf{\ displaystyle \ parziale _ {x, y} f}e
D2,1f{\ displaystyle \ mathrm {D} _ {2,1} f}(
Chatterji p. 123 ) , , o .
∂2f∂sì∂X{\ displaystyle {\ frac {\ parziale ^ {2} f} {\ parziale y \, \ parziale x}}}fsì,X″{\ displaystyle f_ {y, x} ''}∂sì,Xf{\ displaystyle \ parziale _ {y, x} f}Quando si tratta di funzioni di più variabili, alcune possono essere correlate tra loro e può essere necessario specificare quali sono mantenute costanti.
In campi come la termodinamica o la meccanica statistica si nota spesso la derivata parziale rispetto a , le variabili ed essendo mantenute costanti .
f{\ stile di visualizzazione f}X{\ stile di visualizzazione x}sì{\ stile di visualizzazione y}z{\ stile di visualizzazione z}(∂f∂X)sì,z{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right) _ {y, z}}
operatori
Pendenza
Nabla
laplaciano
Note e riferimenti
-
Srishti D. Chatterji, Corso di analisi , vol. 1: Analisi vettoriale , PPUR ,1997( leggi in linea ) , p. 79.
-
Le contro-esempi abbondano. Cfr. quello di S. Sarfati e M. Fegyvères, Matematica: metodi, conoscenze e suggerimenti , Bréal ,1997( leggi in linea ) , p. 375-376(preso ad esempio in F. Cottet-Emard, Analyze , vol. 2, De Boeck Supérieur ,2006( leggi in linea ) , p. 31e X. Oudot e Mr. Allano Chevalier matematica PCSI - PTSI 1 ° anno , Hachette Education ,2008( leggi in linea ) , p. 493-494) e quella di H. Muller, A. Boisseau e Weidenfeld, Mathematics PTSI , Bréal,2008( leggi in linea ) , p. 447o quello più semplice da “Differenziali di funzioni da R p a R q ” su Wikiversità .
-
Dimostrazione in "Condizione sufficiente di differenziabilità di una funzione definita su un prodotto" su Wikiversità .
-
Chatterji 1997 , p. 121.
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