Legge di Levy

Distribuzione di Lévy
Densità di probabilità per diversi valori di c .
Funzione di distribuzione per diversi valori di c .
impostazioni	μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}} vs>0{\ displaystyle c> 0 \,}
Supporto	X∈]μ,+∞[{\ displaystyle x \ in] \ mu, + \ infty [\,}
Densità di probabilità	vs2π⋅1(X-μ)3/2e-vs2(X-μ){\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} \ mathrm {e} ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}}
Funzione di distribuzione	erfvs vs2(X-μ){\ displaystyle \ mathrm {erfc} ~ {\ sqrt {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} \!}
Speranza	+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
Mediano	vs/2(erf-1(1/2))2{\ displaystyle c / 2 ({\ textrm {erf}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} \,} per μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
Moda	vs3{\ displaystyle {\ frac {c} {3}} \,} per μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}
Varianza	+∞{\ displaystyle + \ infty \,}
Asimmetria	non definito
Curtosi normalizzata	non definito
Entropia	1+3γ+ln⁡(16πvs2)2{\ displaystyle {\ frac {1 + 3 \ gamma + \ ln (16 \ pi c ^ {2})} {2}} \,}
Funzione generatrice di momenti	non definito
Funzione caratteristica	eioμt--2iovst{\ displaystyle e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}} \,}

Nella teoria della probabilità e nella statistica , la legge di Lévy , dal nome del matematico Paul Lévy , è una legge di probabilità continua. In fisica , più precisamente in spettroscopia , porta il nome di profilo di van der Waals e descrive il profilo di alcune linee spettrali .

Questa legge dipende da due parametri: un parametro di posizione che sposta il supporto e un parametro di scala . μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}[μ,∞[{\ displaystyle [\ mu, \ infty [} vs{\ displaystyle c}

Se X segue una Lévy, nota: . X∼Levy(μ,vs){\ Displaystyle X \ sim \ mathrm {Levy} (\ mu, c)}

Con la legge di Cauchy e la legge normale , è uno dei tre ad essere stabile per convoluzione e ad avere una densità di probabilità esprimibile analiticamente.

Caratteristiche

Densità di probabilità

La densità di probabilità della legge di Lévy è data da:

f(X;μ,vs)={vs2π1(X-μ)3/2e-vs2(X-μ) Se X>μ0 altrimenti{\ displaystyle f (x; \ mu, c) = {\ begin {case} \ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} {\ frac {1} {(x- \ mu) ^ {3/2}}} e ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {altrimenti }} \ end {case}}}

dove è il parametro di posizione ed è il parametro di scala . Come tutte le leggi stabili , esiste una forma standard della legge, definita dalla densità che otteniamo dal cambiamento di variabile: nell'espressione di . μ∈R{\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}vs>0{\ displaystyle c> 0}f(X;0,1){\ displaystyle f (x; 0,1)}y=X-μvs{\ displaystyle y = {\ frac {x- \ mu} {c}}}f(X;μ,σ){\ displaystyle f (x; \ mu, \ sigma)}

La legge di Lévy ha una coda pesante , espressa dalla formula:

f(X;μ,vs)∼X→∞vs2π 1X3/2.{\ displaystyle f (x; \ mu, c) \, {\ underset {x \ rightarrow \ infty} {\ sim}} \, {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} ~ {\ frac {1} {x ^ {3/2}}}.}

Questa proprietà è illustrata dalla rappresentazione della densità su un benchmark log-log .

Funzione di distribuzione

La funzione di distribuzione della legge di Lévy è data da:

F(X;μ,vs)={erfc(vs/2(X-μ)) Se X>μ0 altrimenti{\ displaystyle F (x; \ mu, c) = {\ begin {case} \ displaystyle {\ textrm {erfc}} \ left ({\ sqrt {c / 2 (x- \ mu)}} \ right) & {\ text {si}} x> \ mu \\ 0 & {\ text {altrimenti}} \ end {case}}}

dove erfc è la funzione di errore complementare.

Funzione caratteristica

La funzione caratteristica della legge di Lévy è:

φ(t;μ,vs)=eioμt--2iovst.{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}.}

Possiamo scrivere questa funzione caratteristica nella forma più classica di leggi stabili:

φ(t;μ,vs)=eioμt-|vst|1/2 (1-io cartello(t)).{\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-i ~ {\ textrm {sign}} (t))}. }

Momenti

Per il n -esimo momento della legge di Lévy è dato formalmente da: μ=0{\ displaystyle \ mu = 0}

mnon =def vs2π∫0∞e-vs/2XXnonX3/2dX.{\ displaystyle m_ {n} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x} \, x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}

Questo integrale diverge per ogni n > 0, quindi i momenti della legge di Lévy non sono definiti. La funzione generatrice di momento è formalmente data da:

M(t;vs) =def vs2π∫0∞e-vs/2X+tXX3/2dX.{\ displaystyle M (t; c) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} \, {\ rm {d}} x.}

L'integrale diverge per ed è quindi indefinito su qualsiasi intervallo intorno allo zero, quindi la funzione generatrice di momento è indefinita. t>0{\ displaystyle t> 0}

Collegamenti ad altre leggi

• Se alloraX∼Levy(μ,vs){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Levy}} (\ mu, c) \,}KX+b∼Levy(Kμ+b,Kvs){\ Displaystyle kX + b \ sim {\ textrm {Levy}} (k \ mu + b, kc) \,}
• Se allora ( legge gamma inversa )X∼Levy(0,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}X∼Inv-Gamma(12,vs2){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}})}
• La legge di Lévy è un caso speciale di una funzione di Pearson di tipo V.
• If ( distribuzione normale ) alloraY∼Normale(μ,σ2){\ displaystyle Y \, \ sim \, {\ textrm {Normale}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}(Y-μ)-2∼Levy(0,1/σ2){\ displaystyle {(Y- \ mu)} ^ {- 2} \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0,1 / \ sigma ^ {2})}
• Se alloraX∼Normale(μ,1σ){\ displaystyle X \ sim {\ textrm {Normale}} (\ mu, {\ tfrac {1} {\ sqrt {\ sigma}}}) \,}(X-μ)-2∼Levy(0,σ){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- 2} \ sim {\ textrm {Levy}} (0, \ sigma) \,}
• Se allora ( legge stabile )X∼Levy(μ,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}X∼Stabile(1/2,1,vs,μ){\ Displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Stabile}} (1 / 2,1, c, \ mu) \,}
• Se allora ( legge inversa-χ² ha cambiato scala)X∼Levy(0,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}X∼Scala-inv-χ2(1,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Scale-inv -}} \ chi ^ {2} (1, c)}
• Se allora ( distribuzione normale piegata )X∼Levy(μ,vs){\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}(X-μ)-12∼Piegato Normale(0,1/vs){\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \ sim \, {\ textrm {FoldedNormal}} (0,1 / {\ sqrt {c}})}

Riferimento

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  Distribuzione di Lévy  " ( vedere l'elenco degli autori ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">