Funzione caratteristica (probabilità)

In matematica e specialmente in teoria della probabilità e statistica , la funzione caratteristica di una variabile casuale $X$ reale è un numero che determina in modo univoco la sua distribuzione di probabilità . Se questa variabile casuale ha una densità , allora la funzione caratteristica è l' inversa trasformata di Fourier della densità. I valori zero delle successive derivate della funzione caratteristica consentono di calcolare i momenti della variabile casuale.

La funzione caratteristica è talvolta chiamata la prima funzione caratteristica mentre la seconda funzione caratteristica (o anche la seconda funzione caratteristica ) è la sua trasformata logaritmica .

Il teorema di Bochner e il teorema di Khintchine forniscono le condizioni necessarie e sufficienti affinché una funzione sia la funzione caratteristica di una variabile casuale.

Definizioni

Per una variabile reale

La funzione caratteristica di una variabile casuale reale $X$ è la funzione a valori complessi definita da on $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ varphi _ {X} (t) & = \ mathbb {E} \ left [\ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} tX} \ right] \\ & = \ mathbb {E} \ left [\ cos (tX) \ right] + \ mathrm {i} \ \ mathbb {E} \ left [\ sin (tX) \ right]. \ end {allineato}}}

Se questa variabile casuale ha una densità , diciamo $f X$ , allora

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ int _ {\ mathbb {R}} f_ {X} (x) \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} tx} \, \ mathrm {d } X.}

Quindi, nel caso di una variabile casuale con densità, la funzione caratteristica è l' inversa trasformata di Fourier (fino a un fattore 2 factor

nell'esponenziale

secondo la convenzione) della densità. Probabilmente per questo, capita che si scelga una convenzione diversa, ovvero . Si noterà che sebbene l'uso nella comunità dei probabilisti sia parlare di trasformata di Fourier, è strettamente una questione di trasformata di Fourier inversa .

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ mathbb {E} [\ operatorname {e} ^ {2 \ mathrm {i} \ pi tX}]}

Se questa variabile ha valori nell'insieme dei numeri naturali allora

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ mathbb {P} (X = k) e ^ {\ mathrm {i} tk} = G_ {X } (e ^ {\ mathrm {i} t})}

dove

G X

denota la sua funzione generatrice di probabilità generalizzata a un parametro complesso.

Per una variabile di uno spazio euclideo

Più in generale, la funzione caratteristica di una variabile casuale $X$ con valori in è la funzione con valori complessi definita su da $\ mathbb {R} ^ {d}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$

{\ displaystyle \ varphi _ {X} (u) = \ mathbb {E} \ left [\ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} \ langle u, X \ rangle} \ right]}

dove è il prodotto scalare di $u$ con $X$ . ${\ displaystyle \ langle u, X \ rangle}$

Per una funzione di distribuzione

La funzione caratteristica di una funzione di distribuzione $F$ è la funzione a valori complessi definita da $\ mathbb {R}$

{\ displaystyle \ varphi _ {F} (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ textrm {e}} ^ {\ mathrm {i} tz} \, \ mathrm {d} F(z)}

dove l'integrale è un integrale di Stieltjes .

Proprietà

La funzione caratteristica determina in modo univoco la legge di una variabile casuale nel senso che " $φ X = φ Y$ " (uguaglianza di funzioni) è equivalente a " $X$ e $Y$ hanno la stessa legge".
Se $X$ e $Y$ sono due variabili casuali indipendenti , $φ X + Y = φ X φ Y$ . Più in generale, se $X 1 , ..., X n$ sono variabili casuali indipendenti nel loro insieme, allora $φ X 1 + ... + X n = φ X 1 ... φ X n$ . Da allora applicando la trasformata di Fourier $φ X + Y$ , aiuta a trovare la legge di $X + Y$ .
Esiste una relazione tra i momenti e la funzione caratteristica di una variabile casuale. Quando esistono momenti di qualsiasi ordine e la loro serie generatrice esponenziale ha raggio di convergenza $R$ diverso da zero allora: ${\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {i} ^ {k} \ mathbb {E} [X ^ {k} ]} {k!}} t ^ {k} ~~~ \ forall t \ in \ left] -R, R \ right [}$ .

Dimostrazione

In entrambi i casi , abbiamo . ${\ stile di visualizzazione t \ in [0, R [}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {X} (t) = \ mathbb {E} \ left [\ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} tX} \ right] = \ mathbb {E} \ left [\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(\ mathrm {i} tX) ^ {k}} {k!}} \ right] = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} { \ frac {\ mathrm {i} ^ {k}} {k!}} t ^ {k} \ mathbb {E} \ sinistra [X ^ {k} \ destra]}$

Per giustificare l'inversione tra la somma e l'aspettativa è sufficiente dimostrare che è finita e applicare il teorema di Fubini. Notiamo che per tutto : ${\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathbb {E} [| X | ^ {k}]} {k!}} t ^ {k}}$ ${\ displaystyle k \ geq 0}$

{\ displaystyle \ mathbb {E} [| X | ^ {2k + 1}] = \ mathbb {E} [| X | ^ {2k + 1} \ mathbf {1} _ {| X | \ leq 1}] + \ mathbb {E} [| X | ^ {2k + 1} \ mathbf {1} _ {| X |> 1}] \ leq 1+ \ mathbb {E} [X ^ {2k + 2}]}

Quindi abbiamo per tutto : ${\ displaystyle t \ in \ left [0, R \ right [}$

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathbb {E} [| X | ^ {k}]} {k!}} t ^ {k} \ leq e ^ { t} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathbb {E} [X ^ {2k}]} {(2k)!}} t ^ {2k} \ leq e ^ {t} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {| \ mathbb {E} [X ^ {k}] |} {k!}} t ^ {k} <+ \ infinito}

L'ultima somma è infatti convergente perché sappiamo che un'intera serie è assolutamente convergente all'interno del suo disco di convergenza. Procediamo quindi allo stesso modo per . ${\ displaystyle t \ in \ a sinistra] -R, 0 \ a destra]}$

Questa relazione viene talvolta utilizzata per calcolare l' aspettativa (momento di ordine 1) e la varianza di una variabile casuale. Più esplicitamente: ${\ displaystyle \ varphi _ {X} ^ {(k)} (0) = \ mathrm {i} ^ {k} \ mathbb {E} [X ^ {k}]}$ pertanto : ${\ displaystyle \ mathbb {E} [X] = - \ mathrm {i} \ varphi _ {X} ^ {\ prime} (0)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [X ^ {2} \ right] = - \, \ varphi _ {X} ^ {\ prime \ prime} (0)}$ ${\ displaystyle {\ textrm {Var}} (X) = - \, \ varphi _ {X} ^ {\ prime \ prime} (0) + \ left (\ varphi _ {X} ^ {\ prime} (0 ) \ destra) ^ {2}}$ .
La seguente relazione viene utilizzata, ad esempio, per calcolare la funzione caratteristica di una variabile centrata ridotta , dalla funzione caratteristica della variabile di partenza: ${\ displaystyle \ varphi _ {aX + b} (t) = \ varphi _ {X} (at) \, \ operatorname {e} ^ {\ mathrm {i} tb}}$ .
Il teorema di convergenza di Lévy dice che la convergenza in distribuzione è equivalente alla semplice convergenza della funzione caratteristica in ogni punto.

Seconda funzione caratteristica

Definizione

La seconda funzione caratteristica di una variabile casuale reale $X$ è la funzione a valori complessi definita da

{\ displaystyle \ psi _ {X} (t) = {\ text {Log}} \ varphi _ {X} (t) = {\ text {Log}} \ mathbb {E} [e ^ {\ mathrm {i } tX}]}

dove Log indica il ramo principale del logaritmo che è definito e olomorfo sul piano complesso privato della semiretta dei reali negativi o nulli e che è uguale a 0 in 1.

Poiché la funzione caratteristica è sempre continua ed è uguale a 1 a 0, la seconda funzione caratteristica è sempre ben definita su un intorno di 0.

Collegamento con la funzione generatore di cumulanti

La seconda funzione caratteristica è talvolta chiamata funzione generatrice di cumulanti . Il matematico Eugène Lukacz, nel suo libro Funzioni caratteristiche , osserva lo sfortunato uso del termine "funzione generatrice di cumulanti" perché la seconda funzione generatrice esiste sempre nell'intorno di 0 mentre i cumulanti e i momenti di $X$ potrebbero benissimo non esistere. . Aggiunge anche che il termine “seconda funzione caratteristica” deriva dalla letteratura matematica francese.
La funzione generatore cumulativo può anche denotare il logaritmo naturale della funzione generatore di momento .

Riferimenti

(in) Eugene Lukacz, Funzioni caratteristiche , Londra, Griffin,1970, pag. 27

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