In teoria della probabilità e statistica , curtosi (dal nome femminile greco antico κύρτωσις , "curvatura"), tradotto anche come coefficiente di nitidezza , coefficiente di appiattimento e grado di curtosi , è una misura diretta di nitidezza e una misura indiretta della curtosi della distribuzione di una variabile aleatoria reale . Esistono diverse misure di acutezza e la curtosi corrisponde al metodo Pearson .
È il secondo dei parametri di forma , insieme al coefficiente di asimmetria (i parametri basati sui momenti di ordine 5 e superiori non hanno un nome proprio).
Misura, oltre alla dispersione (data dalla deviazione standard ), la distribuzione delle masse probabilistiche attorno al loro centro, data dall'aspettativa matematica , cioè, in un certo modo, la loro concentrazione vicino o lontano dal centro di probabilità.
Data una reale variabile casuale di aspettativa e deviazione standard , definiamo la sua curtosi non standardizzata come il momento del quarto ordine della variabile centrata ridotta :
quando questa speranza esiste. Quindi abbiamo:
con i momenti centrali dell'ordine .
Poiché la curtosi non normalizzata è definita come una funzione di momenti centrati , è difficile da gestire quando si tratta di calcolare quella della somma di variabili indipendenti .
Definiamo così la curtosi normalizzata in funzione dei cumulanti :
Sapendo che e , abbiamo quindi:
I momenti centrati e cumulativi aventi per dimensione quella della variabile elevata alla potenza , la curtosi e sono quantità adimensionali .
Sia la reale variabile casuale . Questa variabile casuale ha per aspettativa e per varianza . Sapendo ciò , deduciamo quindi che:
Questo limite inferiore viene raggiunto solo nel caso della legge dei parametri di Bernoulli ( lancio di una singola moneta con una moneta perfettamente bilanciata). Per la distribuzione normale abbiamo .
La curtosi non ha limiti superiori.
Sia una variabile aleatoria reale e la somma delle realizzazioni indipendenti di (esempio: la legge binomiale dei parametri e , somma delle realizzazioni indipendenti della legge di Bernoulli dei parametri ). Grazie alla proprietà di additività dei cumulanti , sappiamo che , quindi:
Un alto coefficiente di curtosi indica che la distribuzione è mediamente piuttosto netta e ha code di distribuzione spesse ( coda grassa in inglese, coda grassa al singolare). Ciò si deduce considerando la distribuzione sopra definita, la cui aspettativa è 1 e il cui momento centrato di ordine due è la curtosi non normalizzata di . Poiché la sua aspettativa è fissa, il suo momento di secondo ordine può evolvere solo per compensazione: per aumentarlo, è necessaria l'inerzia in una posizione lontana, controbilanciata da un'inerzia vicina. In altre parole, i fianchi vengono “pizzicati” e le probabilità quindi si spostano verso il centro e le estremità.
Il termine "eccesso di appiattimento", derivato dall'eccesso di curtosi in inglese, utilizzato per la curtosi standardizzata può essere fonte di ambiguità. Infatti, un eccesso di curtosi positiva corrisponde a una distribuzione appuntita e un eccesso di curtosi negativa a una distribuzione appiattita (ci si aspetterebbe il contrario).
distribuzione mesokurticaSe parliamo di distribuzione mésokurtique (o mesokurtic ). La legge normale è un caso particolare di distribuzione mesokurtica per cui il coefficiente di asimmetria è uguale a 0.
Distribuzione leptocurticaSe parliamo di distribuzione leptokurtic (o leptokurtic ). La nozione di leptocurticità è ampiamente utilizzata nella finanza di mercato, con campioni che hanno estremità più spesse del normale, il che implica valori anomali più frequenti.
Distribuzione platikurticaSe parliamo di distribuzione platykurtique (o platycurtique , platikurtique , platykurtic ). Per la stessa varianza, la distribuzione è relativamente "appiattita", il suo centro e le sue code sono impoveriti a favore dei fianchi.
La figura seguente mostra alcune distribuzioni densità unimodali centrate ridotte simmetriche ( , e ).
Legge della probabilità | Kurtosi normalizzata | Simbolo in figura | Colore in figura |
---|---|---|---|
legge di Laplace | 3 | D | Curva rossa |
Legge secante iperbolica | 2 | S | Curva arancione |
Diritto della logistica | 1.2 | L | Curva verde |
Legge normale | 0 | NON | Curva nera |
Legge del coseno rialzato | -0.593762 ... | VS | Curva ciano |
legge triangolare | -0.6 | ||
Legge del semicerchio | -1 | W | Curva blu |
Legge uniforme continua | -1.2 | tu | Curva magenta |
L'uso ingenuo delle definizioni teoriche e del coefficiente di curtosi si traduce in misurazioni distorte. Diversi software statistici ( SAS , Tanagra , Minitab , PSPP / SPSS ed Excel per esempio, ma non BMDP ) utilizzano uno stimatore imparziale per la normale distribuzione della curtosi normalizzata:
dove , e sono stimatori imparziali, rispettivamente, dell'aspettativa, della varianza e del momento di 4° ordine della variabile studiata.