In matematica , e più precisamente in geometria algebrica , la congettura Jacobiana è una congettura riguardante polinomi con più variabili . Fu proposto nel 1939 da Ott-Heinrich Keller (in) , e Shreeram Abhyankar gli diede dopo il suo nome attuale, reso popolare come esempio di una questione di geometria algebrica che richiede solo poca conoscenza per essere dichiarata.
La congettura giacobiana è famosa anche per il gran numero di tentativi di prove che ha suscitato, che contenevano sottili errori. Nel 2015 nessuna dimostrazione è riconosciuta valida.
Per N > 1, siano N polinomi F i (per 1 ≤ i ≤ N ) nelle variabili X 1 , ..., X N , e i cui coefficienti appartengono ad un campo algebricamente chiuso k (possiamo infatti supporre che k = C , il campo dei numeri complessi). Considera questa successione di polinomi come una funzione vettoriale F : k N → k N le cui componenti sono F i . Lo Jacobiano J di F è per definizione il determinante della matrice Jacobiana N × N formata dalle derivate parziali di F i rispetto a X j : J è essa stessa una funzione delle N variabili X 1 ,…, X N ; e anche una funzione polinomiale.
La condizione J ≠ 0 assicura (per le funzioni regolari, e quindi in particolare per i polinomi) l'esistenza di un inverso locale per F (questo è il teorema delle funzioni implicite ) in ogni punto in cui si verifica. Poiché k è algebricamente chiuso e J è un polinomio, J svanisce per alcuni valori di X 1 ,…, X N , a meno che J non sia costante. Possiamo facilmente dedurre che:
Se F ha una funzione inversa (globale), cioè se esiste G : k N → k N tale che G ∘ F = F ∘ G = identità (di k N ), allora J è una costante diversa da zero.La congettura giacobiana afferma che su qualsiasi campo con caratteristica 0, è vero il seguente (alquanto rinforzato) inverso :
Se J è una costante diversa da zero e se k è un campo di caratteristica 0, allora F ammette una G inversa : k N → k N , e G è regolare , cioè le sue componenti sono date da polinomi.Nel 1980, Wang dimostrò la congettura giacobiana per i polinomi di grado 2 e nel 1982 Bass , Connell e Wright dimostrarono che il caso generale è una conseguenza del caso speciale dei polinomi di grado 3. La congettura fu verificata da Moh per i polinomi con due variabili di laurea al massimo 100.
La congettura Jacobiana è equivalente alla congettura Dixmier (in) .