Nascita |
Fine del X ° secolo, nella parte orientale della dell'impero arabo-musulmano |
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Morte | Inizio del XI ° secolo |
Attività | matematico e ingegnere |
Abu Bakr Muhammad ibn al-Hasan al-Karaji o Al-Karkhi , nato alla fine del X ° secolo , è morto all'inizio del XI ° secolo , è un matematico e ingegnere che ha vissuto e lavorato a Baghdad .
Di origine persiana, trascorse una parte significativa della sua vita scientifica a Baghdad dove scrisse opere per la matematica , le principali erano Al-Badi 'fi'l-hisab , Al-Fakhri fi'l-jabr wa' l-muqabala , e Al-Kafi fi'l-hisab .
Al-Karaji è anche l'autore di un trattato sull'idrologia, Inbat al-Miyah al-khafiya (La civiltà delle acque nascoste) .
Sappiamo molto poco della vita di al-Karaji, a cominciare dal suo nome poiché esitiamo tra al-Karaji e al-Kharki. I successori di al-Karaji, in particolare al-Samaw'al , chiamandolo per la maggior parte al-Karaji, è questo nome che sembra designarlo attualmente. Per quanto riguarda la sua data di nascita e morte, siamo ridotti a congetture basate sui rari indizi che compaiono nei suoi scritti. E 'generalmente accettato che nasce alla fine del X ° secolo ed è morto nei primi anni del XI ° secolo, e certamente dopo 1015. Esiste la stessa dubbio sulla sua città natale. Si dice da tempo di lui che sia nato a Karkh (in) , nei sobborghi di Baghdad , ma un recente studio del ricercatore italiano Giorgio Levi Della Vida lo ha partorito a Karaj , nell'attuale Iran . Secondo Roshdi Rashed, questa ipotesi è plausibile senza esserne certa.
Avrebbe lasciato la sua regione montuosa per vivere a Baghdad dove avrebbe ricoperto una posizione ufficiale e avrebbe quindi intrapreso un lavoro matematico raggiungendo l'apice della sua arte intorno al 1012. Se dobbiamo credere ai pochi elementi biografici del suo trattato Inbat al -miyah al-khafiya , sarebbe rimasto colpito dalla curiosità intellettuale delle persone che incontrava lì. Fu durante il suo soggiorno a Baghdad che scrisse i suoi principali trattati di matematica.
Ha poi lasciato Baghdad per una regione montuosa e ha scritto il suo trattato di idrologia.
Il lavoro scientifico di al-Karaji è essenzialmente matematico con 3 opere conosciute e studiate nel campo dell'aritmetica e dell'algebra. Ci sono anche altre opere perdute attribuite ad al-Karaji riguardanti analisi indeterminate , algebra di al-Khwârizmî , problemi di ereditarietà, sviluppo binomiale . La sua maestria in questo campo gli valse il soprannome di "calcolatrice" (al-Hasib).
In idrologia, conosciamo di lui il suo trattato sulle acque sotterranee.
Secondo quanto riferito, ha anche scritto sui contratti di costruzione.
Al-Karaji è il mentore di una corrente che si sviluppa dal XI ° secolo su una "polinomi aritmetizzazione." Nelle sue due opere, Al-Fakhri fi'l-jabr wa'l-muqabala , seguito da Al-Badi 'fi'l-hisab ( Wonderful Book on Calculus ), definisce le regole dei prodotti e dei quozienti sui monomi di positivo o potenze intere negative. Lavora su polinomi estesi a potenze negative, cioè su espressioni scritte in notazione moderna nella forma sviluppare regole sulla somma e sul prodotto di tali espressioni, nonché sulla divisione di un polinomio per un monomio. Presenta una tecnica per trovare i coefficienti di un trinomio di qualsiasi grado conoscendo lo sviluppo del suo quadrato. I coefficienti sono presi sia dai numeri razionali che dai numeri irrazionali . Il suo lavoro sarà esteso da al-Samaw'al che, con una presentazione di polinomi sotto forma di tabella di coefficienti, permette di trattare l'algebra dei polinomi come trattiamo i numeri in scrittura decimale.
Sappiamo, sempre grazie ad al-Samaw'al, che avrebbe sviluppato in un'opera ormai perduta la formula della coppia fino all'esponente 12, spiegando che lo stesso metodo può essere proseguito oltre e nel presentare i vari coefficienti nel forma di una tavola triangolare, antenata del triangolo di Pascal . Spiega la costruzione di questo triangolo grazie alla cosiddetta formula Pascal : ogni coefficiente di una retta è la somma dei due coefficienti della retta precedente posta appena sopra di essa. Questo è, secondo Roshdi Rached, uno dei primi esempi di una forma arcaica di ragionamento di induzione .
Un altro esempio di ragionamento di questo tipo, diminuendo l'induzione, si trova in Le Fahkri dove al-Karaji dimostra la formula per la somma dei cubi di tutti i numeri interi da 1 a 10. Il ragionamento è duplice, coinvolge la geometria e l'algebra e utilizza le formule 1 + 2 + ... + n = n (n + 1) / 2 così come l'uguaglianza 2n × n (n-1) / 2 + n 2 = n 3 . Lo mostra così (1 + 2 + 3 + ... + 10) 2 = 1 3 + 2 3 + 3 3 + ... + 10 3 . Lo fa mostrando prima quello (1 + 2 + 3 + ... + 10) 2 = (1 + 2 + 3 + ... + 9) 2 + 10 3 . Infatti, (1 + 2 + 3 + ... + 10) 2 = (1 + 2 + 3 + ... + 9) 2 + 2 × 10 × (1 + 2 + ... + 9) + 10 2 (Dimostra questa uguaglianza geometricamente e non algebricamente).
Può quindi usare la stessa regola in (1 + 2 + 3 + ... + 9) 2 , poi in (1 + 2 + 3 + ... + 8) 2 , ecc. ottenere :
Al-Karaji sviluppa anche, come il suo predecessore Abu Kamil , tecniche di calcolo su numeri irrazionali.
Al Istiqra o l'analisi indeterminataAl-Karaji apporta una pietra significativa allo studio dell'analisi indeterminata , vale a dire lo studio di equazioni algebriche con coefficienti interi con diverse incognite aventi un'infinità di soluzioni razionali. L'argomento non è nuovo. I problemi dell'Aritmetica di Diofanto riguardano in gran parte questo tema, tanto che si dice che equazioni di questo tipo siano diofantine . Al-Karaji conosce molti dei libri di aritmetica tradotti intorno all'870 da Qusta ibn Luqa , ma è con l'illuminazione dell'algebra di Al-Khwârizmî e le opere di Abu Kamil che cerca di identificarli. Tra i 254 problemi del suo Fakhri, la maggior parte sono già con Diofanto o con Abu Kamil, ad eccezione di 60 problemi originari.
Denomina questo campo di studi al-Istiqra e gli dedica un trattato che ora è andato perduto. Il principio generale di risoluzione consiste nell'utilizzare una variabile ausiliaria (parametro) che consente di ridurre l'equazione a forme note. Gli basta quindi fornire i valori del parametro per fornire esempi di soluzioni. Il suo studio si concentra principalmente sulle equazioni della forma P ( x ) = y 2 dove P ( x ) è un polinomio quadratico con coefficienti interi o un polinomio della forma ax 2 n + bx 2n-1 o ax 2 n + bx 2n- 2 ma il suo studio si estende a sistemi di equazioni diofantine con tre incognite o equazioni di grado maggiore di due.
Principio di risoluzione su due esempiPer un'equazione del tipo ax 2 + bx + c = y 2 , una soluzione ( x 0 , y 0 ) essendo noto, è sufficiente set x = x 0 + t e y = y 0 + λt trovare t come soluzione d 'un'equazione di primo grado con parametro λ. È attorno a questo principio, con l'affermazione delle condizioni sufficienti per l'esistenza di una particolare soluzione, che ruota gran parte delle risoluzioni del Fakhri .
Per l'equazione x 3 + y 3 = z 2 , è sufficiente insieme y = λx e z = μx , per trovare x come la soluzione di un'equazione di primo grado con parametri À e μ.
È quindi sufficiente dare valori particolari a λ, oppure a λ e μ, per dare possibili soluzioni ai problemi affrontati.
Piuttosto, il suo Fakhri è una raccolta organizzata di tali problemi, ma nel suo Badi , destinato a un pubblico più informato, al-Karaji presenta una teoria organizzata di tali equazioni. Si libera da ogni vincolo geometrico e da ogni vincolo di omogeneità per rendere i suoi problemi il più generali possibile.
Le sue opere sono discusse e ulteriormente sviluppate dai suoi successori al-Samaw'al al-Zanjani, Ibn al-Khawwam e Kamāl al-Dīn al-Fārisī , e per giungere in Occidente attraverso il Liber Abaci di Fibonacci .
Kafi fi'l-hisabQuest'ultimo lavoro, Kafi fi'l-hisab ( Sufficient Book on Arithmetic Science ) è probabilmente un lavoro commissionato. Non è destinato ai matematici ma ai dipendenti pubblici. Spiega le regole di calcolo su interi e frazioni, estrazione della radice quadrata. Contiene alcune formule di area e volume e molti esempi. Non utilizza il sistema indiano (sistema decimale ), ma il sistema digitale in cui i numeri vengono scritti per intero. È molto vicino, soprattutto per quanto riguarda i calcoli dell'area e del volume, a un libro didattico scritto da Abu l-Wafa , Libro su ciò che gli scribi, gli artigiani e altri dovrebbero sapere nella scienza aritmetica .
Il trattato Inbat al-miyah al-khafiya ( La civiltà delle acque nascoste ) è stato scritto da al-Karaji probabilmente dopo i suoi trattati matematici. Se si crede agli elementi biografici che compaiono nella sua introduzione, al-Karaji avrebbe rinunciato a scrivere trattati di matematica per intraprendere la ricerca scientifica. Incoraggiato da un allora ministro, Abu Ghanim Ma'ruf b. Maometto, avrebbe intrapreso la stesura di questo trattato idrologico. Datiamo questa scrittura intorno al 1015 (406 H) o al 1017.
Risponde ad una reale esigenza: la rapida crescita delle grandi città del mondo arabo-musulmano, poi in piena “ età dell'oro ”, richiede nuove modalità di approvvigionamento idrico. Inoltre, lo sviluppo dell'agricoltura e dei suoi sistemi di irrigazione è una preoccupazione importante di questo periodo.
Quest'opera, una delle più antiche sull'idrologia, rivela nel suo autore una vera padronanza della materia. Dopo un'introduzione contenente alcune note biografiche, considerazioni generali sulla geografia del globo, i fenomeni naturali, il ciclo dell'acqua, lo studio del territorio, l'autore descrive le tecniche di ricerca delle acque sotterranee, si occupa del loro funzionamento. Presenta una descrizione tecnica della costruzione e manutenzione dei quanat (condotte idriche sotterranee). Ci sono anche considerazioni legali sulla costruzione di pozzi e tubi. Al-Karaji presenta anche alcuni strumenti, alcuni dei quali sono di sua invenzione.
Questo libro è considerato un contributo originale in idrologia e un documento prezioso sulla conoscenza in questo campo nel mondo arabo e musulmano X ° secolo .