Advection
L' avvezione è il trasporto di una quantità (scalare o vettoriale) di un elemento (come il calore , l'energia interna, un elemento chimico , le cariche elettriche) da parte del movimento (e quindi la velocità) del mezzo circostante.
È una nozione comune nella meccanica dei fluidi perché tutte le caratteristiche di una particella fluida vengono sviluppate durante il suo movimento all'interno del flusso. Nella equazione di Navier-Stokes , l'avvezione del vettore di velocità appare nel termine inerzia, che corrisponde alla avvezione del momento.
In meteorologia e oceanografia , l'avvezione si riferisce principalmente al trasporto orizzontale di determinate proprietà considerate dai media, incluso il trasporto tramite vento o correnti: avvezione del vapore dell'acqua, calore, salinità, ecc .
Il fenomeno dell'avvezione è completamente codificato nell'equazione di conservazione .
Descrizione matematica
L'operatore di avvezione corrisponde al prodotto scalare del vettore velocità per il vettore gradiente (Nabla) , in coordinate cartesiane.
v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {vb}}}
∇→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ nabla}}}
v→⋅∇→=u∂∂X+v∂∂y+w∂∂z{\ displaystyle {\ overrightarrow {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ nabla}} = u {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial} {\ partial z}}}
dove sono le componenti della velocità secondo le coordinate .
(u,v,w){\ displaystyle (u, v, w)}
v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {vb}}}(X,y,z){\ displaystyle (x, y, z)}
Questo operatore viene quindi applicato alla proprietà considerata.
Avanzamento di una quantità vettoriale
Ad esempio, l'avvezione del vettore velocità è espressa da:
v→=(uvw){\ displaystyle {\ overrightarrow {v}} = {\ begin {pmatrix} u \\ v \\ w \ end {pmatrix}}}
(v→⋅∇→)v→=((v→⋅∇→)u(v→⋅∇→)v(v→⋅∇→)w)=(u∂u∂X+v∂u∂y+w∂u∂zu∂v∂X+v∂v∂y+w∂v∂zu∂w∂X+v∂w∂y+w∂w∂z){\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ nabla}} \ right) {\ overrightarrow {v}} = {\ begin {pmatrix} {\ left ({\ overrightarrow {v} } \ cdot {\ overrightarrow {\ nabla}} \ right) u} \\\\ {\ left ({\ overrightarrow {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ nabla}} \ right) v} \\\\ {\ left ({\ overrightarrow {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ nabla}} \ right) w} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {u {\ frac {\ partial u} { \ partial x}} + v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial u} {\ partial z}}} \\\\ {u {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial v} {\ partial z}}} \\\\ {u {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial w} {\ partial z}}} \ end {pmatrix}} }
L'avvezione di una quantità vettoriale equivale quindi ad applicare l'operatore di avvezione a ciascuna delle tre componenti del vettore, nel caso di velocità:
- avvezione dei componenti : u{\ displaystyle u}
(v→⋅∇→)u=u∂u∂X+v∂u∂y+w∂u∂z{\ displaystyle {\ left ({\ overrightarrow {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ nabla}} \ right) u} = u {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial u} {\ partial z}}}
- avvezione dei componenti : v{\ displaystyle v}
(v→⋅∇→)v=u∂v∂X+v∂v∂y+w∂v∂z{\ displaystyle {\ left ({\ overrightarrow {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ nabla}} \ right) v} = u {\ frac {\ partial v} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial v} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial v} {\ partial z}}}
- avvezione dei componenti : w{\ displaystyle w}
(v→⋅∇→)w=u∂w∂X+v∂w∂y+w∂w∂z{\ displaystyle {\ left ({\ overrightarrow {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ nabla}} \ right) w} = u {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial w} {\ partial z}}}
Casi specifici
Avanzamento della pressione idrostatica lungo la verticale
Se consideriamo che la distribuzione verticale delle pressioni è idrostatica , vale a dire che:
∂p=-ρg∂z{\ Displaystyle \ partial p = - \ rho g \ partial z}
quindi, possiamo sostituire la coordinata con la pressione:
z{\ displaystyle z}
v→⋅∇→=u∂∂X+v∂∂y+Ω∂∂p{\ displaystyle {\ overrightarrow {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ nabla}} = u {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial} {\ partial y}} + \ Omega {\ frac {\ partial} {\ partial p}}}
o
-
Ω=-vpρg{\ displaystyle \ Omega = -v_ {p} \ rho g}
è lo spostamento verticale in coordinate di pressione;
-
p{\ displaystyle p}
è la pressione;
-
ρ{\ displaystyle \ rho}
è la densità del fluido;
-
g{\ displaystyle g}
è l'accelerazione della terra.
- e con , in altre parole, abbiamo eseguito il cambio di variabile , cioè set tale che .vp(⋅,⋅,p)=vz(⋅,⋅,z){\ displaystyle v_ {p} (\ cdot, \ cdot, p) = v_ {z} (\ cdot, \ cdot, z)}
z=-1ρg(p-p(z=0)){\ displaystyle z = - {\ frac {1} {\ rho g}} \ left (pp (z = 0) \ right)}
vp{\ displaystyle v_ {p}}
vz(⋅,⋅,z)=vz(⋅,⋅,p(z=0)-pρg)=vp(⋅,⋅,p){\ displaystyle v_ {z} (\ cdot, \ cdot, z) = v_ {z} \ left (\ cdot, \ cdot, {\ frac {p (z = 0) -p} {\ rho g}} \ destra) = v_ {p} (\ cdot, \ cdot, p)}
Avanzamento applicato alla velocità
L'avvezione applicata alla velocità può essere scomposta nella cosiddetta forma “Agnello”:
(v→⋅grad→)v→=grad→v22+(rutto→v→)∧v→{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {v}} \, \ cdot \, {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} \ right) \, {\ overrightarrow {v}} = {\ overrightarrow {\ operatorname { grad}}} \, {\ frac {v ^ {2}} {2 \, \,}} + \ left ({\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ overrightarrow {v}} \ right ) \ wedge {\ overrightarrow {vb}}}
Ciò è verificato mediante calcolo.
Possiamo quindi definire:
- il vettore , chiamato vettore di vorticità.w→=rutto→v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {w}} = {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ overrightarrow {v}}}
- il vettore , chiamato vettore " Lamb "l→=(rutto→v→)∧v→=w→∧v→{\ displaystyle {\ overrightarrow {l}} = \ left ({\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \, {\ overrightarrow {v}} \ right) \ wedge {\ overrightarrow {v}} = {\ overrightarrow {w}} \ wedge {\ overrightarrow {v}}}
Queste definizioni sono molto utili per lo studio della turbolenza nei fluidi.
Avanzamento della quantità di calore (versione semplificata)
Applicando alcune ipotesi semplificative ( costante, costante) si scrive la quantità di calore:
vsp{\ displaystyle c_ {p}}
ρ{\ displaystyle \ rho}
q=ρvspT{\ displaystyle q = \ rho c_ {p} T}
L'equazione di avvezione del calore, ovvero l'equazione che descrive la quantità di calore trasportata da un fluido in movimento, è scritta:
ρvsp(v→⋅grad→)T=ρvsp(u∂T∂X+v∂T∂y+w∂T∂z){\ displaystyle \ rho c_ {p} \ left ({\ overrightarrow {v}} \ cdot {\ overrightarrow {\ text {grad}}} \ right) T = \ rho c_ {p} \ left (u {\ frac {\ partial T} {\ partial x}} + v {\ frac {\ partial T} {\ partial y}} + w {\ frac {\ partial T} {\ partial z}} \ right)}
Vedi anche