Velocità dell'area

Velocità dell'area La seconda delle leggi di Keplero è che la velocità dell'area di un pianeta rispetto al Sole è costante. Dati chiave

Unità SI	metro quadro al secondo ( m 2 ⋅ s −1 )
Dimensione	Il 2 · T -1 $\,$ $\,$
Natura	Dimensione vettoriale ampia
Simbolo usuale	${\ displaystyle {\ dot {A}}}$
Collegamento ad altre dimensioni	${\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {\ Delta A} {\ Delta t}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {A}} = \ lim _ {\ Delta t \ rightarrow 0} {\ frac {\ Delta A} {\ Delta t}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ matematica {d} t}}}$

La velocità area è una quantità che esprime il limite del rapporto dell'aumento infinitesimale di un'area spazzata dal raggio vettoriale di un oggetto in movimento su un aumento infinitesimale nel tempo. È la prima derivata rispetto al tempo dell'area scansionata dal raggio vettoriale di un mobile. È il rapporto tra quest'area e il tempo utilizzato. È definito da:

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} A (t)} {\ mathrm {d} t}}}

dove $A$ è l'area del settore scansionata dal raggio vettoriale $ρ$ , $θ$ è l'angolo attraversato, essendo la velocità angolare . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}$

Valutazione

La velocità dell'area è comunemente nota , simbolo corrispondente alla lettera latina A con un punto sopra . ${\ displaystyle {\ dot {A}}}$

Spiegazione

A

è la notazione della superficie o dell'area. Il punto precedente è usato per esprimere che è la prima derivata di

A

rispetto al tempo.

{\ displaystyle {\ dot {A}}}

Dimensione e unità

La dimensione della velocità area è:

{\ displaystyle [{\ dot {A}}] = \ mathrm {L ^ {2}} \ cdot {\ mathrm {T} ^ {- 1}}.}

Spiegazione

{\ displaystyle [{\ dot {A}}] = {\ frac {[A]} {[t]}} = {\ frac {\ mathrm {L ^ {2}}} {\ mathrm {T ^ {1 }}}} = \ mathrm {L ^ {2}} \ cdot {\ mathrm {T} ^ {- 1}}.}

Il metro quadrato al secondo , un'unità derivata dal Sistema Internazionale (SI) , è la sua unità .

Espressioni

La velocità media dell'area è espressa da:

{\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}}.}

La velocità area istantanea è espressa da:

{\ displaystyle {\ dot {A}} = \ lim _ {\ Delta {t} \ rightarrow {0}} {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} {r ^ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d } t}} = {\ frac {1} {2}} {r ^ {2}} {\ dot {\ theta}}.}

La velocità area costante è espressa da:

{\ displaystyle {\ dot {A}} = {\ frac {\ Delta {A}} {\ Delta {t}}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {C} {2}},}

dove $C$ è la costante dell'area : ${\ displaystyle C = {r ^ {2}} {\ dot {\ theta}}.}$

Dimostrazione geometrica

Considera una traiettoria piana.

All'istante $t 0 = 0$ , il cellulare è in $M 0$ . Al tempo $t$ , il mobile è in $M$ .

Chiamiamo $A$ l'area scansionata dal raggio vettoriale dal tempo $t 0$ al tempo $t$ .

Dopo il tempo $di t$ , il raggio vettore ha spazzato il settore $WMO ' = d A$ .

Le coordinate del punto $M$ sono, in coordinate cartesiane, $x$ ed $y$ o altro, in coordinate polari, $ρ$ (per il raggio) e $θ$ (per l' angolazione ).

Quelli di $M '$ sono, in coordinate cartesiane, $x + d x$ e $y + d y$ , oppure, in coordinate polari, $ρ + d ρ$ e $θ + d θ$ .

Valutazione delle coordinate polari

Valutiamo l'area del settore $OMM '$ , che si fonde con l' area del triangolo $OMM'$ .

{\ displaystyle OMM '= \ mathrm {d} A = {\ frac {1} {2}} \ cdot OM \ cdot OM' \ cdot \ sin ({\ widehat {MOM '}}).}

cioè :

{\ displaystyle \ mathrm {d} A = {\ frac {1} {2}} \ rho (\ rho + \ mathrm {d} \ rho) \ sin (\ mathrm {d} \ theta)}

Possiamo trascurare l'infinitamente piccolo $d ρ$ davanti alla quantità finita $ρ$ , e confondere il seno con l'angolo infinitamente piccolo $d θ$ , perché ha un limite di 1. ${\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ mathrm {d} \ theta)} {\ mathrm {d} \ theta}}}$

Otteniamo così l'area del triangolo infinitesimale $OMM '$ :

{\ displaystyle dA = {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} \ mathrm {d} \ theta}

E quindi la velocità dell'area in coordinate polari:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}

Valutazione in coordinate cartesiane

L'area del triangolo infinitesimale $OMM '$ è data dal determinante :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} A & = {\ frac {1} {2}} {\ begin {vmatrix} x & x + \ mathrm {d} x & 0 \\ y & y + \ mathrm {d} y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {vmatrix}} = {\ frac {1} {2}} (x \ mathrm {d} yy \ mathrm {d} x) \ end {align}}}

Da cui si ricava la velocità area in coordinate cartesiane:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ left (x {\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} t}} - y {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right)}

Collegamento con momento angolare

Per definizione, il momento angolare è dato, per un mobile di massa $m$ , da:

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {O} = m \, {\ vec {OM}} \ wedge {\ vec {v}}}

con la posizione del corpo in movimento, ed è la velocità del corpo in movimento. ${\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {OM}} & = \ left ({\ begin {matrix} x \\ y \\ 0 \ end {matrix}} \ right) \ end {align}}}$
${\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {v}} & = \ left ({\ begin {matrix} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \\ { \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} \\ 0 \ end {matrix}} \ right) \ end {align}}}$

Tuttavia, in base alle proprietà del prodotto vettoriale $\land$ , essendo il movimento nel piano , ${\ displaystyle \ left ({\ vec {Ox}}, {\ vec {Oy}} \ right)}$

{\ displaystyle {\ vec {OM}} \ wedge {\ vec {v}} = \ left (x {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} - y {\ frac { \ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) {\ vec {Oz}}}

Pertanto :

{\ displaystyle {\ vec {L}} _ {O} = 2 m {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {Oz}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {Oz}} = {\ frac {{\ vec {L}} _ {O}} {2m} }}

Il momento angolare è quindi una quantità di movimento areolare, trasferita all'asse perpendicolare al piano di movimento.
Storicamente, questi due concetti sono stati sviluppati in parallelo, dagli scienziati Patrice d'Arcy , Daniel Bernoulli , Leonhard Euler , a seguito di osservazioni simili.

Analogia tra moto traslazionale e moto areolare

Supponiamo che una massa $m$ , posizionata in $( x , y , 0)$ , assegni una forza le cui coordinate sono $( F x , F y , 0)$ . Il principio fondamentale della dinamica consente di scrivere:

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F_ {x}}

(1)

{\ displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} y} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = F_ {y}}

(2)

L'equazione (1) moltiplicata per $x$ , poi sottratta dall'equazione (2), essa stessa precedentemente moltiplicata per $y$ , permette di ottenere:

{\ displaystyle m \ left ({\ frac {x \, \ mathrm {d} ^ {2} yy \, \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) = x \, F_ {y} -y \, F_ {x}}

(3)

Da un lato, nella parte sinistra dell'equazione, si riconosce la derivata seconda dell'area scansionata rispetto al tempo, ovvero l'accelerazione areolare:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x \, \ mathrm {d} ^ {2} yy \, \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ a destra) = 2 {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}

D'altra parte, nella parte destra dell'equazione, riconosciamo il momento della forza rispetto all'origine:

{\ displaystyle x \, F_ {y} -y \, F_ {x} = OM \ wedge F = {\ mathcal {M}} _ {F / O}}

In modo che l'equazione (3) possa essere riscritta:

{\ displaystyle 2m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ mathcal {M}} _ {F / O}}

Possiamo anche notare che, moltiplicando l'accelerazione areolare per l'elemento superficiale $d A$ , si ottiene il differenziale del quadrato della velocità dell'area:

{\ displaystyle \ mathrm {d} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} = 2 {\ frac {\ mathrm {d} A } {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ mathrm {d} A {\ frac {\ mathrm {d } ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = 2 {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} A} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ mathrm {d} A}

Da lì, si finisce con una forma differenziale di ordine 2, che collega il quadrato della velocità dell'area e il momento della forza:

{\ Displaystyle m \ \ mathrm {d} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ { F / O} \, \ mathrm {d} A}

Oppure, notando : ${\ displaystyle {\ mathcal {W}} = {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}}}$

{\ displaystyle m \ \ mathrm {d} {\ mathcal {W}} ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ {F / O} \, \ mathrm {d} A}

Per confronto, in un movimento traslazionale unidimensionale, si scriverà il differenziale del quadrato della velocità:

{\ displaystyle \ mathrm {d} v ^ {2} = 2 \ v \ \ mathrm {d} v = 2 {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} {\ frac { \ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t}} = 2 \ \ mathrm {d} x \ {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d } t ^ {2}}} = 2F_ {x} \ mathrm {d} x}

Questo permette di scrivere il principio fondamentale della dinamica come forma differenziale di ordine 1: , ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ mathrm {d} v ^ {2} = F_ {x} \ mathrm {d} x}$

la cui forma è fino a un fattore 2 simile alla formula trovata nel caso precedente:

{\ displaystyle m \, \ mathrm {d} {\ mathcal {W}} ^ {2} = {\ mathcal {M}} _ {F / O} \, \ mathrm {d} A}

a condizione che si prenda la velocità areolare per la velocità, il momento della forza per la forza, l'elemento di superficie spazzato per lo spostamento elementare.

Legge delle aree

Se la velocità dell'area è costante, le aree scansionate sono proporzionali al tempo.

Sia quindi $C$ una costante. Se la velocità dell'area è costante, abbiamo:

{\ displaystyle \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = C}

La derivata nel tempo dà:

{\ displaystyle 2 \ rho {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = 0}

O :

{\ displaystyle \ rho \ left (2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) = 0}

Ora, è la componente dell'accelerazione perpendicolare al vettore del raggio. ${\ displaystyle 2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}}$

Ciò mostra che se la velocità dell'area è costante, la componente dell'accelerazione perpendicolare al vettore del raggio è zero .

Esempi

Mobile che descrive un'ellisse, la cui velocità area al centro dell'ellisse è costante.

In una tale situazione l'accelerazione verso il centro (quindi la forza) è proporzionale alla distanza dal centro dell'ellisse. È una legge del tipo legge di Hooke .

In effetti, l'ellisse ha per equazione:

{\ Displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos (\ phi) \\ y = b \ sin (\ phi) \ end {cases}}}

Nelle coordinate rettangolari, la derivazione per tempo dà:

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {dx} {dt}} = - a \ sin (\ phi) \, {\ frac {d \ phi} {dt}} \\ {\ frac {dy} {dt}} = b \ cos (\ phi) \, {\ frac {d \ phi} {dt}} \ end {case}}}

Quindi viene scritta la velocità dell'area ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {2}} \ left (x {\ frac {\ mathrm {d} y} { \ mathrm {d} t}} - y {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} \ right) = a \, b \, {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = \ mathrm {C}}$

Ne deduciamo che la velocità angolare è costante:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ phi} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {C}} {a \, b}} = \ mathrm {K}}

da dove ${\ displaystyle \ phi = \ mathrm {K} t}$

E quindi la legge del moto è:

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = a \ cos (\ mathrm {K} t) \\ y = b \ sin (\ mathrm {K} t) \ end {cases}}}

D'altra parte, è noto che essendo costante la velocità dell'area, la componente dell'accelerazione perpendicolare al raggio del vettore è zero. Allora abbiamo

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = \ Gamma _ {n} \ cos (\ phi) = \ Gamma _ {n } {\ frac {x} {\ rho}}}

Con le seguenti notazioni:

Γ n

: accelerazione sul raggio vettoriale (quindi rivolto verso il centro dell'ellisse)

ϕ

: angolo tra il vettore del raggio e l'asse

x

ρ

: raggio vettore, distanza tra il mobile e il centro dell'ellisse.

Questo da :

{\ displaystyle -a \, \ mathrm {K} ^ {2} \ cos (\ mathrm {K} t) = \ Gamma _ {n} a {\ frac {\ cos (\ mathrm {K} t)} { \ rho}}}

da dove :

{\ displaystyle \ Gamma _ {n} = - \ mathrm {K} ^ {2} \ rho}

Mobile che descrive un'ellisse, la cui velocità areolare in un punto focale dell'ellisse è costante

In tal caso, l'accelerazione sul raggio del vettore è proporzionale all'inverso del quadrato della distanza dal fuoco dell'ellisse. È una legge di tipo Legge di gravitazione universale . Vedi anche le leggi di Keplero .

Link esterno

Definizione di velocità area [1]

Riferimenti

Diario ,1823, 612 p. ( leggi in linea ) , p. 163.