Vettore d'onda

In fisica , un vettore d'onda (o "vettore di fase" soprattutto in elettronica) è un vettore usato per descrivere un'onda : il suo modulo è il numero di onde o il numero di onde angolari dell'onda (che è inversamente proporzionale alla lunghezza d'onda ) , la sua direzione è solitamente la direzione di propagazione dell'onda (ma non sempre, vedi sotto). Per un'onda monocromatica, questo vettore è perpendicolare al fronte d'onda .

Per la luce , e nella relatività speciale e generale , la frequenza è associata al vettore d'onda, che dà il quadrivettore d' onda.

uso

Il vettore d'onda è molto utile per generalizzare l'equazione di un'onda alla descrizione di una famiglia di onde. Se tutte le onde di una famiglia si propagano nella stessa direzione e hanno la stessa lunghezza d'onda , possono essere descritte tutte dallo stesso vettore d'onda. Il caso più comune di una famiglia di onde che rispetta queste condizioni è quello di un'onda piana , per la quale anche la famiglia di onde è coerente (tutte le onde hanno la stessa fase ).

Definizioni

Esistono due definizioni del vettore d'onda, la cui differenza è un fattore di 2π nel suo modulo. Uno di questi è preferito in fisica e nei suoi vari campi, l'altro in cristallografia . Nel resto di questo articolo, queste due definizioni saranno chiamate "definizione fisica" e "definizione cristallografica".

Definizione fisica

Un ideale viaggio unidimensionale onda segue la seguente equazione:

{\ Displaystyle \ psi (x, t) = A \ cos (kx- \ omega t + \ varphi)}

o :

x è la posizione;
t è il tempo;
$\ psi$ (una funzione di xe di t ) è il disturbo che descrive l'onda (ad esempio per un'onda , rappresenterebbe l'altezza aggiuntiva dell'acqua, o per un'onda sonora , sarebbe la sovrapressione dell'aria); $\ psi$ $\ psi$
A è l' ampiezza dell'onda (l'ampiezza massima dell'oscillazione);
$\ varphi$ è lo sfasamento dell'onda, che descrive la possibile desincronizzazione tra due onde;
$\omega$ è la frequenza angolare o pulsazione dell'onda, cioè il numero di oscillazioni che l'onda compie nell'unità di tempo; è direttamente correlato al periodo dell'onda ,, dall'equazione ; $T$ ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi / T}$
$K$ è il numero di onde , o la frequenza spaziale angolare dell'onda: questa quantità descrive quante oscillazioni l'onda completa per unità di spazio, ed è direttamente correlata alla lunghezza d'onda dall'equazione . $k = 2 \ pi / \ lambda$

Tale onda viaggiante viaggia nella direzione di xs positivo, con velocità (più precisamente, velocità di fase ) . ${\ displaystyle \ omega / k}$

Nel caso di un'onda tridimensionale, generalizziamo la formula precedente sostituendo il numero d'onda k con il vettore d'onda k e la variabile spaziale x con il vettore di posizione r , il prodotto precedente kx essendo sostituito dal prodotto scalare k r :

{\ Displaystyle \ psi \ left ({\ mathbf {r}}, t \ right) = A \ cos \ left ({\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}} - \ omega t- \ phi \ giusto) \,}

Definizione cristallografica

Nella cristallografia , questa stessa onda è descritta da un'equazione leggermente diversa. Per un'onda unidimensionale:

{\ Displaystyle \ psi (x, t) = A \ cos (2 \ pi (kx- \ nu t) + \ varphi)}

e per un'onda tridimensionale:

{\ Displaystyle \ psi \ left ({\ mathbf {r}}, t \ right) = A \ cos \ left (2 \ pi ({\ mathbf {k}} \ cdot {\ mathbf {r}} - \ nu t) + \ varphi \ right)}

Le differenze sono:

$\nudo$ , La frequenza utilizzata al posto della frequenza angolare . Queste due quantità sono correlate dall'equazione . $\omega$ ${\ displaystyle 2 \ pi \ nu = \ omega}$
Il numero d'onda k e il vettore d'onda k sono definiti in modi diversi. Qui , come nella definizione fisica . ${\ displaystyle k = | {\ mathbf {k}} | = 1 / \ lambda}$ ${\ displaystyle k = | {\ mathbf {k}} | = 2 \ pi / \ lambda}$

La direzione di k è discussa di seguito.

Direzione del vettore d'onda

La direzione in cui punta un vettore d'onda deve essere differenziata dalla direzione di propagazione dell'onda. Quest'ultima è la direzione del flusso di energia dell'onda e la direzione in cui si muoverà un piccolo pacchetto d'onda , cioè la direzione della velocità del gruppo . Per le onde elettromagnetiche, è anche la direzione del vettore Poynting . La direzione del vettore d'onda corrisponde a quella della velocità di fase , cioè punta nella direzione normale alla superficie di uguale fase dell'onda, cioè il fronte d'onda .

In un mezzo isotropico senza perdite, come l'aria, qualsiasi gas, liquido e alcuni solidi (come il vetro ), queste due direzioni sono identiche: il vettore d'onda quindi punta esattamente nella stessa direzione di quella di propagazione dell'onda. Al contrario, in un mezzo con perdita, il vettore d'onda generalmente punta in una direzione diversa. La condizione affinché i due puntino nella stessa direzione è che l'onda sia omogenea, il che non è necessariamente il caso di un mezzo con perdita. In un'onda omogenea, la superficie di uguale fase dell'onda è anche la superficie di uguale ampiezza. Per onde disomogenee, queste due superfici hanno orientamenti diversi e il vettore d'onda rimane sempre perpendicolare alla superficie di uguale fase.

Quando un'onda si propaga in un mezzo anisotropo , ad esempio quando un'onda luminosa passa attraverso un cristallo asimmetrico o un'onda sonora attraversa una roccia sedimentaria , il vettore d'onda potrebbe non puntare nella direzione esatta di propagazione dell'onda.

Onda elettromagnetica piana

Il valore può anche designare il valore complesso della proiezione lungo un asse (x per esempio) di un campo elettrico $\ psi$

${\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {E}}} = {\ begin {bmatrix} E_ {0} \ cdot e ^ {i \ phi _ {E}} \ cdot e ^ {i \ left (\ omega t - {\ vec {\ mathbf {k}}} \ cdot {\ vec {\ mathbf {r}}} \ right)} \\ 0 \\ 0 \\\ end {bmatrix}}}$

O altrettanto bene il valore complesso della proiezione lungo un asse (y per esempio) di un campo magnetico

${\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {B}}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ B_ {0} \ cdot e ^ {i \ phi _ {B}} \ cdot e ^ {i \ left ( \ omega t - {\ vec {\ mathbf {k}}} \ cdot {\ vec {\ mathbf {r}}} \ right)} \\ 0 \\\ end {bmatrix}}}$

Nel caso dell'approssimazione di un'onda piana, questi due vettori e il vettore d'onda (posto in questo caso lungo l'asse z) formano un triedro ortogonale.

${\ displaystyle {\ vec {\ mathbf {K}}} = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ k_ {z} \\\ end {bmatrix}}}$

Molte dimostrazioni fatte con numeri complessi (ed esponenziali) non solo sono più eleganti ma anche più facili da capire. Il risultato deve comunque essere trasformato in un numero reale rispettando la convenzione del segno scelto: i o -i.

Onda quadrivettrice nella relatività

Per quanto riguarda le onde elettromagnetiche, possiamo introdurre un quadrivettore d' onda e un quadrivettore di posizione dallo spazio di Minkowski , e usando la forma bilineare dello spazio di Minkowski, abbiamo: ${\ Displaystyle K_ {4} = \ left ({\ omega \ over c}; k_ {x}; k_ {y}; k_ {z} \ right)}$ ${\ displaystyle \ R_ {4} = (ct; x; y; z)}$

${\ displaystyle \ psi \ left (t, {\ vec {\ mathbf {r}}} \ right) = A_ {0} \ cdot e ^ {i \ phi} \ cdot e ^ {iK_ {4} \ cdot R_ {4}}}$

con c la velocità della luce .

Note e riferimenti

esempio di definizione "fisica" Harris, Benenson e Stöcker, Handbook of Physics ,2002, 1186 p. ( ISBN 978-0-387-95269-7 , leggi online ) , p. 288. e definizione "cristallografica" Vaĭnshteĭn, Cristallografia moderna ,1994, 482 p. ( ISBN 978-3-540-56558-1 , leggi online ) , p. 259
Boris Konstantinovich Vaĭnshteĭn , Cristallografia moderna ,1994, 482 p. ( ISBN 978-3-540-56558-1 , leggi online ) , p. 259
Grant Fowles , Introduzione all'ottica moderna , Holt, Rinehart e Winston,1968, p. 177
"Questo effetto è stato spiegato da Musgrave (1959), che ha mostrato che l'energia di un'onda anelastica in un mezzo anisotropo, in generale, non si propagherà per lo stesso percorso della normale al fronte d'onda. ..." , Suono onde nei solidi di Pollard, 1977. link

Vedi anche