Velocità di un'onda

Un onda è un disturbo che si muove in un mezzo. Ad esso è possibile associare due velocità d'onda , ovvero la velocità di fase e la velocità di gruppo che, a volte, non sono uguali:

• In un mezzo omogeneo, la propagazione in una data direzione di un'onda monocromatica (o sinusoidale) si traduce in una semplice traslazione della sinusoide a una velocità chiamata velocità di fase o celerità . In un mezzo non dispersivo , questa velocità non dipende dalla frequenza. Sovrapponendo onde monocromatiche di varie frequenze (o pulsazioni), si ottengono onde più complesse (vedi Analisi spettrale ). Quando la velocità di fase è indipendente dalla frequenza, anche l'onda risultante subisce una traslazione globale del suo profilo, questa senza deformazioni.
• In un mezzo dispersivo o quando le direzioni di propagazione sono diverse (in dimensione maggiore di 1), i rispettivi componenti si disperdono. In questo caso, è spesso possibile identificare pacchetti d'onda (o gruppi di onde) che si muovono a una velocità di gruppo diversa dalle velocità di fase dei componenti.

Velocità di fase

La velocità di fase di un onda è la velocità alla quale la fase dell'onda viaggia attraverso lo spazio. Selezionando un punto particolare dell'onda (ad esempio il picco), questo punto intangibile si sposta nello spazio alla velocità di fase. È espresso in funzione della pulsazione dell'onda ω e del numero di onde k  :

vϕ=ωRe(K){\ displaystyle v _ {\ phi} = {\ frac {\ omega} {\ mathrm {Re} (k)}}}

La notazione rappresenta la parte reale del complesso k . Poiché la parte immaginaria di k ha solo un effetto di attenuazione dell'ampiezza, deve essere presa in considerazione solo la parte reale del modulo d'onda. Supponiamo ora k reale. Partendo da un'onda monocromatica definita nello spazio e nel tempo da , si consideri una superficie d'onda composta da tutti i punti aventi lo stesso valore e quindi lo stesso valore della fase  : è il piano delle fasi . Se il piano delle fasi si trova nel tempo e nel tempo , allora: Re(K){\ displaystyle \ mathrm {Re} (k)}ψ(X,t)=ψ0cos⁡(ωt-KX+ϕ0){\ Displaystyle \ psi (x, t) = \ psi _ {0} \ cos (\ omega t-kx + \ phi _ {0}) \,}ψ{\ displaystyle \ psi \,}ϕ{\ displaystyle \ phi \,}ϕ{\ displaystyle \ phi \,}X{\ displaystyle x \,}t{\ displaystyle t \,}X+dX{\ displaystyle x + dx \,}t+dt{\ displaystyle t + dt \,}

ϕ=ωt-KX+ϕ0.{\ displaystyle \ phi = \ omega t-kx + \ phi _ {0} \,.} ϕ=ω(t+dt)-K(X+dX)+ϕ0.{\ Displaystyle \ phi = \ omega (t + dt) -k (x + dx) + \ phi _ {0} \,.}

Quindi, per differenza: es 0=ωdt-KdX,{\ displaystyle 0 = \ omega dt-kdx \ ,,}

vϕ=dXdt=ωK.{\ displaystyle v _ {\ phi} = {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {\ omega} {k}}.}

Caso delle onde elettromagnetiche

Nel vuoto , la velocità di fase di un'onda elettromagnetica è uguale a una costante che è la velocità della luce . In un mezzo trasparente, diminuisce di un fattore che, per definizione, è uguale all'indice di rifrazione n del mezzo: vs{\ displaystyle c}

non=vsvϕ{\ displaystyle n = {\ frac {c} {v _ {\ phi}}} \,}

Inoltre, essendo questo mezzo generalmente dispersivo, l'indice dipende dalla lunghezza d'onda , il che porta all'introduzione della nozione di velocità di gruppo che si noterà , questo quando l'onda osservata è una sovrapposizione o una combinazione lineare di onde monocromatiche di frequenze vicine . In effetti, in un dato momento, la sovrapposizione dei componenti è costruttiva in alcuni punti, ma distruttiva in altri. vg{\ displaystyle v_ {g} \,}

Velocità di gruppo

Da quanto sopra, la velocità di fase di un'onda monocromatica è uguale al rapporto tra la sua pulsazione e il suo numero d'onda (norma del vettore d' onda ).

Consideriamo il caso più semplice di un'onda costituita dalla sovrapposizione di due onde di pulsazioni vicine e di ampiezza unitaria (le fasi, che intervengono poco, vengono ignorate):

ψ(X,t)=cos⁡(ω1t-K1X)+cos⁡(ω2t-K2X).{\ Displaystyle \ psi (x, t) = \ cos (\ omega _ {1} t-k_ {1} x) + \ cos (\ omega _ {2} t-k_ {2} x). \,}

Usando una relazione classica in trigonometria secondo la quale una somma di coseni è uguale a un prodotto di coseni ( formule di Simpson ), si ottiene:

ψ(X,t)=2cos⁡(ω2+ω12t-K2+K12X)cos⁡(ω2-ω12t-K2-K12X).{\ Displaystyle \ psi (x, t) = 2 \ cos \ left ({\ frac {\ omega _ {2} + \ omega _ {1}} {2}} t - {\ frac {k_ {2} + k_ {1}} {2}} x \ right) \, \ cos \ left ({\ frac {\ omega _ {2} - \ omega _ {1}} {2}} t - {\ frac {k_ { 2} -k_ {1}} {2}} x \ right).}

Pertanto, l'onda considerata è costituita dal prodotto di 2 termini:

• La prima è un'onda monocromatica la cui velocità di fase è corrispondente ad una media pesata delle velocità di fase delle due componenti dai rispettivi vettori d'onda.vϕ=ω2+ω1K2+K1{\ displaystyle v _ {\ phi} = {\ frac {\ omega _ {2} + \ omega _ {1}} {k_ {2} + k_ {1}}}}
• La seconda è un'altra onda monocromatica la cui velocità di fase è . Agisce quindi come un modulatore di ampiezza del primo termine.vϕ=ω2-ω1K2-K1{\ displaystyle v _ {\ phi} = {\ frac {\ omega _ {2} - \ omega _ {1}} {k_ {2} -k_ {1}}}}

Si produce così un fenomeno di battito per cui una sinusoide con caratteristiche prossime a quelle delle due componenti viene modulata in ampiezza da una sinusoide di pulsazione inferiore. Per valori vicini ai due impulsi e ai due vettori d'onda dei componenti, la velocità del gruppo è approssimativamente uguale a vg=dωdK.{\ displaystyle v_ {g} = {\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} k}}.}

Nel caso generale della sovrapposizione di molte onde monocromatiche , questa velocità di gruppo riguarda un inviluppo più complesso di una sinusoide. È possibile generalizzare il precedente approccio ai pacchetti d'onda in uno spazio con diverse dimensioni.

La relazione che esprime la pulsazione in funzione del vettore d'onda è la relazione di dispersione . Quando la pulsazione è direttamente proporzionale al modulo del vettore d'onda e questi ultimi sono tutti collineari , la velocità di fase è indipendente dalla pulsazione e la velocità di gruppo è uguale a questa velocità di fase comune. Altrimenti, l'inviluppo dell'onda si deforma durante la propagazione.

Caso delle onde elettromagnetiche

Per un'onda elettromagnetica, la velocità di fase e la velocità di gruppo sono correlate per approssimazione (valido solo per le basse frequenze):

vgvϕ=vs2non2{\ displaystyle v_ {g} v _ {\ phi} = {\ frac {c ^ {2}} {n ^ {2}}}}

dov'è la velocità della luce nel vuoto e l'indice di rifrazione del mezzo. vs{\ displaystyle c}non{\ displaystyle n}

La dispersione che è alla base di una velocità di gruppo diversa dalla velocità di fase è un effetto importante di cui si tiene conto per la trasmissione di informazioni tramite fibre ottiche .

La velocità di gruppo è generalmente presentata come la velocità alla quale l'energia o le informazioni vengono trasportate da un'onda. Questa descrizione è generalmente valida, sebbene sia ancora possibile eseguire esperimenti in cui la velocità degli impulsi laser inviati in materiali specifici è maggiore della velocità di trasmissione del segnale.

Velocità delle informazioni

In determinate circostanze, la velocità di fase di un'onda elettromagnetica può essere maggiore della velocità della luce nel vuoto: questo è il caso in cui, per determinate frequenze, l'indice di rifrazione del mezzo è inferiore a 1 (osserviamo questo fenomeno per X- raggi). Tuttavia, una tale situazione non comporta il trasferimento di energia o informazioni a una velocità superiore a quella della luce.

La velocità dell'informazione, infatti, è limitata dalla minore delle due velocità, cioè che, dalla relazione sopra indicata, implica: vInformazioni=min(vϕ,vg){\ displaystyle v _ {\ text {info}} = \ min (v _ {\ phi}, v_ {g})}

vInformazioni≤vsnon.{\ displaystyle v _ {\ text {info}} \ leq {\ frac {c} {n}}.}

Per essere convinto di questo, supponiamo . In questo caso, le informazioni che sarebbero trasportate da alcune componenti dell'onda (in velocità ) scompariranno nel processo di modulazione perché quest'ultima periodicamente sovrascrive l'ampiezza di queste componenti. Pertanto, le informazioni possono essere trasmesse solo dal gruppo di onde. Possiamo sostenere un ragionamento simile quando . vg<vϕ{\ displaystyle v_ {g} <v _ {\ phi}}vϕ{\ displaystyle v _ {\ phi}}vg>vϕ{\ displaystyle v_ {g}> v _ {\ phi}}

Storico

La distinzione tra velocità di gruppo e velocità di fase fu introdotta per la prima volta nel 1880 da Georges Gouy .

Riferimenti

1. Émile Picard , “  Omaggio alla memoria di Georges Gouy  ”, Rapporti settimanali delle sessioni dell'Accademia delle Scienze , t.  182, n o  5,1 ° febbraio 1926, p.  293 ( leggi in linea )

Vedi anche

• Relazione di dispersione
• Indice di rifrazione
• Luce lenta
• Velocità della luce
• Velocità superluminale

Articoli Correlati

• Onda
• Propagazione delle onde
• Pacchetto di onde
• Direttività

link esterno

• Animazione su Futura-Sciences

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