Autovalore (riepilogo)

Le nozioni di autovettore , autovalore e autospazio si applicano agli endomorfismi (o operatori lineari), vale a dire mappe lineari di uno spazio vettoriale in sé. Sono intimamente legati e formano un pilastro della riduzione degli endomorfismi , parte dell'algebra lineare che mira a scomporre lo spazio nel modo più efficiente possibile in una somma diretta di sottospazi stabili .

Definizioni e proprietà

Nel seguito, consideriamo uno spazio vettoriale E su un campo commutativa K . Gli elementi di E sono i vettori e quelli di K sono gli scalari . In pratica, il campo K è spesso il campo ℂ dei complessi e lo spazio vettoriale è di dimensione finita . In ogni sezione verranno specificate eventuali restrizioni sul corpo o sulla taglia. Indichiamo con u un endomorfismo di E e $Id$ l' identità endomorfismo .

Valore proprio

Definizione - Uno scalare $λ$ è un autovalore di u se esiste un vettore x diverso da zero tale che u ( x ) = $λ$ x .

Gli autovalori di u sono quindi gli scalari $λ$ tali che u - $λId$ non è iniettiva (in altre parole il suo nucleo non è ridotto al vettore zero ).

Gli autovalori di una matrice quadrata A di dimensione n sono gli autovalori dell'endomorfismo di K n della matrice A nella base canonica .

Se E è di dimensione finita n , gli autovalori di u (o della sua matrice A in qualsiasi base ):

sono le radici del loro comune polinomio caratteristico , det ( X Id - u ) = det ( X I n - A );
sono tutti i valori spettrali di u (o di A ): gli elementi del loro spettro comune.

Esempi:

se u = $Id$ allora u ha un solo autovalore: 1.
se u è definito su ℝ 2 da allora u ha due autovalori: u(X1,X2)=(X1+6X2,X1+2X2){\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})} $u (x_ {1}, x_ {2}) = (x_ {1} + 6x_ {2}, x_ {1} + 2x_ {2})$
- 4 perché $u (2,1) = (8,4) = 4 (2,1)$
- –1 perché $u (-3,1) = (3, -1) = - 1 (-3,1)$
- nessun altro autovalore poiché la dimensione è 2.

Vettore pulito

Definizione - Sia x un vettore diverso da zero di E , x è un autovettore di u se esiste uno scalare $λ$ tale che u ( x ) = $λ$ x . Diciamo che x è un autovettore associato all'autovalore $λ$ .

Gli autovettori (associati ad un autovalore $λ$ ) di una matrice quadrata A di dimensione n sono gli autovettori (associati all'autovalore $λ$ ) della endomorphism di K n rappresentato da A .

Un autovettore non può essere associato a due diversi autovalori
Una famiglia di k autovettori associati a k diversi autovalori costituisce una famiglia libera .

Sottospazi puliti

Definizione - Sia λ un autovalore di u (risp. A ); quindi l'insieme formato dagli autovettori per l'autovalore λ e il vettore zero è detto autovalore di u (risp. A ) associato all'autovalore λ.

L'autovalore associato a un autovalore λ è il nucleo di u - λ $Id$ . È quindi un sottospazio vettoriale .
Per definizione di un autovalore, un autovalore non è mai ridotto al vettore zero.
Per una matrice quadrata A di dimensione n , troviamo il sottospazio autovalore associato ad un autovalore λ risolvendo il sistema (omogeneo) di n equazioni lineari con n incognite la cui scrittura della matrice è ( A - $λ$ I n ) v = 0.
Gli autospazi E i degli autovalori λ i formano una somma diretta di sottospazi vettoriali stabili da u .
Questa è una conseguenza del lemma del kernel , applicato ai polinomi X - λ i , che sono due a due primi tra loro.
Questa somma diretta di E i è uguale a E se e solo se l'endomorfismo è diagonalizzabile.
Se due endomorfismi u e v commutano , allora qualsiasi sottospazio proprio di u è stabile sotto v .

Polinomio caratteristico

Assumiamo qui che E sia di dimensione finita n .

Chiamiamo "polinomio caratteristico" dell'endomorfismo u , il polinomio det ( X $Id$ - u ) , e "polinomio caratteristico" di una matrice quadrata A di ordine n , il polinomio caratteristico dell'endomorfismo di K n canonicamente associato ad A , cioè il polinomio det ( XI n - A ), dove I n è la matrice identità n × n . Questo polinomio è di grado n , quindi ha al massimo n radici .

O a : E → F un isomorfismo di spazi vettoriali , cioè un biettivo lineare , allora u e aua -1 hanno lo stesso polinomio caratteristico e quindi gli stessi autovalori.
In effeti, ${\ displaystyle \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {F} -aua ^ {- 1}) = \ det (a (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u) a ^ {- 1}) = \ det (\ lambda {\ rm {Id}} _ {E} -u).}$
Il polinomio caratteristico di u è quindi uguale a quello della sua matrice A in qualsiasi base .
Le radici del polinomio caratteristico di u (o di A ) sono i suoi autovalori.
In effetti, un endomorfismo ha determinante zero se e solo se è non iniettivo.
Se K è chiuso algebricamente , o se K è R il campo dei numeri reali e n è dispari, allora u ha almeno un autovalore.
Dire che un campo è chiuso algebricamente, significa che ogni polinomio non costante ammette almeno una radice. Questa radice è necessariamente un autovalore, secondo il primo punto sopra. D'altra parte, un vero polinomio di grado dispari ha sempre una vera radice.

L'ordine di molteplicità algebrica di un autovalore λ è l'ordine di molteplicità della radice nel polinomio caratteristico. È quindi l'esponente di ( X - λ) nel polinomio caratteristico.

In un campo algebricamente chiuso:
- Il determinante è uguale al prodotto degli autovalori elevati al loro ordine di molteplicità algebrica;
- La traccia è uguale alla somma degli autovalori moltiplicata per il loro ordine di molteplicità algebrica.

Polinomio minimo

Ci collochiamo qui nel quadro di uno spazio vettoriale E di dimensione finita.

Chiamiamo "polinomio minimo" di u il polinomio unitario di grado minimo che annulla u . Il polinomio minimo fornisce una relazione di dipendenza lineare sulle potenze u 0 , u 1 , u 2 , ..., dell'endomorfismo, e reciprocamente una tale relazione di dipendenza lineare dà un polinomio annullante di u , il polinomio minimo minimizzando il grado e prendendo il coefficiente 1 per la massima potenza di u che si verifica.

Le radici del polinomio minimo sono gli autovalori di u .

Se il polinomio minimo è fattorizzato M = ( X - λ) Q , allora M ( u ) = ( u - λ

Id

) ∘ Q ( u ) è l'endomorfismo zero, mentre Q ( u ) non lo è (perché il grado di Q è troppo basso). Di conseguenza ci sono vettori diversi da zero nell'immagine di Q ( u ), che sono autovettori per λ.

Più in generale per ogni intero i ≥ 1, il polinomio minimo è divisibile per ( X - λ) i se e solo se il nucleo di ( u - λ $Id$ ) i è strettamente maggiore di quello di ( u - λ $Id$ ) i - 1 . Di conseguenza, la molteplicità m di λ come radice del polinomio minimo è uguale al più piccolo esponente tale per cui il nucleo di ( u - λ $Id$ ) m è uguale al sottospazio caratteristico associato all'autovalore λ. Si chiama molteplicità minima di λ.
Lasciare un essere un automorfismo di E , allora u e AUA -1 hanno lo stesso polinomio minimo (e quindi stessi autovalori). In altre parole, il polinomio minimo è una somiglianza invariante dell'endomorfismo.
Infatti, P ( AUA -1 ) uguale aP ( u ) è -1 , per qualsiasi polinomio P .
Su un campo algebricamente chiuso, il polinomio minimo (come ogni polinomio diverso da zero) è diviso , e quindi ha almeno una radice, che è l'autovalore di u (eccezione: se la dimensione di E è zero, il polinomio minimo è 1, proprio come il polinomio caratteristico, e u non ha autovalore).
Il teorema di Cayley-Hamilton ci permette di affermare che il polinomio minimo divide il polinomio caratteristico

Sottospazi caratteristici

Assumiamo che E sia di dimensione finita e che K sia chiuso algebricamente.

Se λ è un autovalore di u , il cui ordine di molteplicità è α λ , chiamiamo “sottospazio caratteristico” di u associato all'autovalore λ nucleo di ( u - λ $Id$ ) α λ . Indicheremo questo sottospazio caratteristico E λ .

E λ è anche il nucleo di ( u - λ $Id$ ) β λ dove β λ è l'ordine di molteplicità di λ nel polinomio minimo.
E λ è stabile per u .
dim ( E λ ) = α λ .
Lo spazio E è la somma diretta dei suoi sottospazi caratteristici.
la restrizione di u a E λ ha un polinomio minimo ( X - λ) β λ .

Riduzione dell'endomorfismo

Supponiamo che E sia di dimensione finita. Lo studio degli autovalori permette di trovare una forma più semplice di endomorfismi, questa è chiamata la loro riduzione.

Diagonalizzazione

L'endomorfismo è interamente determinato dai suoi autovettori e dai suoi autovalori associati se è diagonalizzabile, cioè se esiste una base di autovettori. Esempi numerici sono forniti nell'articolo “ Matrice diagonalizzabile ”. I seguenti criteri sono tutti condizioni necessarie e sufficienti affinché un endomorfismo di uno spazio vettoriale a dimensione finita sia diagonalizzabile:

C'è una base di autovettori
la somma degli autospazi è l'intero spazio
la somma delle dimensioni degli autospazi è uguale alla dimensione dell'intero spazio
il polinomio minimo è diviso su K e con radici singole. ( Prova nel polinomio di endomorfismo . )
ogni sottospazio proprio ha una dimensione uguale alla molteplicità algebrica dell'autovalore associato.
qualsiasi rappresentazione matriciale M di u è diagonalizzabile, cioè può essere scritta nella forma M = PDP −1 con P e D rispettivamente matrici invertibili e diagonali .

Oltre a queste proprietà equivalenti, ci sono le seguenti implicazioni:

Se esistono autovalori distinti dim ( E ), allora u è diagonalizzabile.
Se u è diagonalizzabile, il suo polinomio caratteristico viene diviso.

Nel caso in cui il campo è ℂ, questa proprietà è quasi ovunque vera nel senso della misura di Lebesgue . Inoltre, nello spazio topologico degli endomorfismi di E , il sottoinsieme di quelli che sono diagonalizzabili è quindi denso .

Decomposizione di Dunford

Se il polinomio minimo di u è diviso, allora u può essere scritto nella forma u = d + n con d diagonalizzabile e n nilpotente tale che dn = nd . Inoltre, d e n sono polinomi in u .

Rappresentanza della Giordania

Assumiamo che K sia chiuso algebricamente.

La rappresentazione di Jordan dimostra che quindi qualsiasi endomorfismo u di E è trigonalizzabile . Mostra che la restrizione di u al sottospazio caratteristico associato all'autovalore $λ$ ha una rappresentazione formata da blocchi della forma

J_ {k} (\ lambda) = {\ begin {pmatrix} \ lambda & 1 &&&& \\ & \ lambda & 1 && (0) & \\ && \ ddots & \ ddots && \ &&& \ ddots & \ ddots & \ \ & (0) &&& \ lambda & 1 \\ &&&&& \ lambda \\\ end {pmatrix}}

chiamati “blocchi di Jordan” e che l'endomorfismo ha una rappresentazione a matrice nella forma

{\ begin {pmatrix} J _ {{k_ {1}}} (\ lambda _ {1}) &&&& \\ & J _ {{k_ {2}}} (\ lambda _ {2}) &&& \\ && \ ddots && \\ &&& \ ddots & \\ &&&& J _ {{k_ {r}}} (\ lambda _ {r}) \\\ end {pmatrix}}

dove gli scalari $λ i$ (non necessariamente distinti) sono gli autovalori di u .

Vedi anche

Bibliografia

Serge Lang , Algebra [ dettaglio delle edizioni ]
Haïm Brezis , Analisi funzionale: teoria e applicazioni [ dettaglio delle edizioni ]
Walter Rudin , Analisi funzionale [ dettaglio delle edizioni ]
(en) Nelson Dunford e Jacob T. Schwartz (en) , Linear Operators, Part I General Theory , Wiley-Interscience, 1988