Universo (logica)
In matematica , e in particolare nella teoria degli insiemi e nella logica matematica , un universo è un insieme (o talvolta una vera e propria classe ) avente come elementi tutti gli oggetti che si desidera considerare in un dato contesto.
Teoria elementare degli insiemi e delle probabilità
In molti usi elementari della teoria degli insiemi, ci collochiamo effettivamente in un insieme generale U (a volte chiamato universo di riferimento ), e gli unici insiemi considerati sono gli elementi e i sottoinsiemi di U ; è questo punto di vista che ha portato Cantor a sviluppare la sua teoria partendo da U = R , l'insieme dei numeri reali. Ciò consente semplificazioni (ad esempio, la nozione di complemento di un insieme può essere resa "assoluta", definendo di default il complemento di A come l'insieme di x di U non appartenente ad A ; allo stesso modo, qualsiasi poiché l'unione di un vuoto family of sets è l'insieme vuoto, possiamo definire l'intersezione di una famiglia vuota come U intero), e si presta bene a tutte le attività usuali dei matematici: lo studio della topologia di R , ad esempio, non può essere fatto a U = R , ma è sufficiente per ottenere un cambiamento dell'universo, prendendo U in questo caso tutte le parti R . Questo punto di vista è stato sistematizzato da N. Bourbaki nella sua descrizione delle strutture matematiche .
È anche questo punto di vista che viene adottato nella maggior parte dei modelli di base della teoria della probabilità : siamo interessati a un insieme (chiamato universo ) su cui è definita una misura , e in tutti i suoi sottoinsiemi (misurabili), chiamati eventi.
Teoria assiomatica degli insiemi e teoria dei modelli
Da un punto di vista assiomatico, è possibile parlare di un "universo" in due sensi distinti:
- da un lato, possiamo considerare la classe (propria) di tutti gli insiemi, o una restrizione di quest'ultima agli insiemi considerati interessanti. È così ad esempio che viene costruito l'universo di von Neumann V degli insiemi della gerarchia cumulativa , o l'universo L degli insiemi costruibili , definito da Gödel .
- D'altra parte, possiamo limitare questa costruzione a un insieme "abbastanza grande". Ad esempio, se α è un ordinale sufficientemente grande, l'insieme ottenuto nella costruzione di von Neumann conterrà in pratica tutti gli oggetti di cui il matematico "ordinario" potrebbe aver bisogno. In questo senso, si parla spesso in teoria di modelli di un universo U per designare un insieme che è un modello della teoria considerata (il più delle volte ZFC ), cioè come i suoi elementi (e la relazione di appartenenza tra loro) verificare tutti gli assiomi della teoria. Tuttavia, a partire da Gödel, sappiamo che l'esistenza di un tale modello non può essere dimostrata in ZFC. La costruzione precedente richiede quindi, ad esempio, di prendere per α un ordinale così grande che la sua esistenza non può essere dimostrata in ZFC. Si dice che un tale ordinale sia inaccessibile .
Teoria delle categorie
Senza necessariamente voler entrare in tutti i dettagli tecnici precedenti, alcune discipline, come la teoria delle categorie , devono poter considerare nel suo insieme la classe di tutti gli oggetti che studiano. Grothendieck ha proposto di aggiungere a ZFC un nuovo assioma, l' assioma degli universi , che postula che ogni insieme appartenga a un universo di Grothendieck , cioè a un insieme stabile per le operazioni usuali definite dagli assiomi di ZFC, l'unione e tutti i parti. Questo assioma (che è strettamente legato alla nozione di cardinale inaccessibile ) consente poi in pratica di costruire piccole categorie (categorie i cui elementi, oggetti e frecce, insiemi di forme) contenenti tutti gli oggetti di cui si può aver bisogno: se U è un universo di Grothendieck , la categoria dei gruppi di elementi di U è una categoria piccola, con essenzialmente le stesse proprietà della categoria di tutti i gruppi, che è la sua classe.
Note e riferimenti
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato “ Universe (matematica) ” ( vedi l'elenco degli autori ) .- N. Bourbaki, Elementi di matematica , Libro I, cap. 4, Springer Structures (2006); la sua definizione porta a prendere come universo l'unione di insiemi ottenuta per prodotto cartesiano e per insieme di parti di insiemi già costruiti. Vedere Induzione strutturale per maggiori dettagli.
- Delahaye , Pour la Science , n o 397, novembre 2010 [ leggi online ] .
- Questa è una conseguenza del secondo teorema di incompletezza , ma un semplice argomento (anche se metamatematico) mostra che, assumendo la coerenza della teoria, ci sono tali modelli, e che ci sono anche tutte le cardinalità, inclusi i numerabili: questo è il Löwenheim- Teorema di Skolem .
- Questo è anche il caso della classe dei numeri surreali , sebbene in pratica gli utenti di numeri surreali facciano raramente uso di questa possibilità, perché generalmente lavorano solo entro restrizioni sui surreali "creati" prima di un ordinale fisso abbastanza grande; vedere John H. Conway , On Numbers and Games , p. 49 .