Tetraedro regolare

Tetraedro regolare


genere	Solido platonico
Tipo di viso	4 × {3}
Configurazione vertice	3.3.3
Facce	4
Bordi	6
Vertici	4
Caratteristica	2

Simbolo Schläfli	{3.3} s {2.2}
Simbolo di Wythoff	3 \| 2 3 \| 2 2 2
Diagramma di Coxeter-Dynkin
Tipo di viso	4 × {3}
Riferimenti di indicizzazione	U 01 , C 15 , W 1
Doppio	Doppio automatico
Gruppo di simmetria	T d
Angolo diedro	arccos (1/3) 70,529 °
Proprietà	Uniforme , convessa, deltaedro
3.3.3 ( Figura in alto )	Doppio automatico ( doppio )

Il tetraedro regolare è un tetraedro le cui 4 facce sono triangoli equilateri. Ha 6 bordi e 4 vertici . È uno dei cinque solidi di Platone . Ha una sfera circoscritta passante per i suoi 4 vertici e una sfera inscritta tangente alle sue 4 facce.

Poiché ha 3 vertici per faccia e 3 facce per vertice, il suo simbolo Schläfli è {3,3}.

Grandezze caratteristiche

Se $a$ è la lunghezza di un bordo:

la sua altezza è pari a :; ${\ displaystyle H = {\ sqrt {\ frac {2} {3}}} ~ a}$
il suo centro si trova, rispetto alla base, in :; ${\ displaystyle h = {\ frac {H} {4}} = {\ frac {a} {2 {\ sqrt {6}}}}}$
il raggio della sua sfera circoscritta è :; ${\ displaystyle R = {\ frac {3} {4}} H = {\ sqrt {\ frac {3} {8}}} a}$
il raggio della sua sfera inscritta è :; ${\ displaystyle r = {\ frac {1} {3}} R = {\ frac {a} {\ sqrt {24}}}}$
la sua area è :; ${\ displaystyle A = {\ sqrt {3}} a ^ {2}}$
il suo volume è :; ${\ displaystyle V = {\ frac {a ^ {3}} {6 {\ sqrt {2}}}}}$
l' angolo diedro è ; ${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) \ simeq 70,5288 ^ {\ circ}}$
vale il suo angolo centrale (cioè quello formato, a due a due, i quattro segmenti che partono dal centro verso i quattro vertici) ; ${\ displaystyle \ arccos \ left (- {\ frac {1} {3}} \ right) \ simeq 109,471 ^ {\ circ}}$
l' angolo solido di una faccia vista dal vertice opposto è steradianti ; ${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {23} {27}} \ right) \ simeq 0.55129}$
I 4 punti coordinati sono i vertici di un tetraedro regolare con bordo $a$ $= 2$ $\sqrt$ $2$ centrato all'origine, risultante da quattro vertici di un cubo. ${\ displaystyle (1,1,1), (1, -1, -1), (- 1,1, -1), (- 1, -1,1)}$

Proprietà varie

Le isometrie che lasciano il tetraedro regolare globalmente invariante formano un gruppo isomorfo al gruppo simmetrico S 4 . Il sottogruppo delle isometrie positive è isomorfo al gruppo alternato A 4 .

Il tetraedro regolare è il suo proprio duale , vale a dire che unendo i centri delle sue facce, si ottiene un tetraedro regolare simile.

Ha sezione quadrata , prendendo come piano di sezione il piano parallelo a due bordi ortogonali, passanti per la metà degli altri quattro bordi.

Questa forma viene utilizzata per realizzare dadi a quattro facce e modellare alcune molecole con geometria molecolare tetraedrica come il metano .

Platone lo associava all'elemento naturale "fuoco".

Vedi anche

Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo intitolato “ Tétraèdre ” (vedi elenco degli autori ) .
(it) Eric W. Weisstein , " Regular Tetrahedron " , su MathWorld
Robert Ferréol, " Tétraèdre " , su mathcurve