Teorema di Borel

In matematica , il teorema di Borel , o lemma di Borel , è il risultato dell'analisi , dell'esistenza di funzioni arbitrarie della serie di Taylor .

Fu dimostrato nel 1884 da Giuseppe Peano e nel 1895 da Émile Borel . In precedenza, nel 1876, Paul du Bois-Reymond aveva fornito un primo esempio di una serie di Taylor che divergeva in tutti i punti diversi da zero. Il teorema di Borel generalizza questo risultato.

Dichiarazione semplice

Per risultato di numeri complessi , esiste una funzione di classe , di una variabile reale e valori complessi, definiti vicino a 0, come (anon){\ displaystyle (a_ {n})} f{\ displaystyle f} VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}

∀non∈NONf(non)(0)=anon.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad f ^ {(n)} (0) = a_ {n}.}

Risultato

Una conseguenza di questo teorema è che ci sono funzioni diverse dalla loro serie di Taylor su ogni intorno di 0, è sufficiente prendere la funzione associata alla sequenza . f{\ displaystyle f}((non!)2){\ displaystyle \ sinistra ((n!) ^ {2} \ destra)}

Dichiarazione generale

Lasciate Essere un aperto di e un sequenza di valori complessi classe funzioni . Allora esiste una funzione di classe a valori complessi su , soluzione dell'equazione differenziale parziale  : U{\ displaystyle U}Rnon{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}(fnon){\ displaystyle (f_ {n})}VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}U{\ displaystyle U}F=F(t,X){\ displaystyle F = F (t, x)}VS∞{\ displaystyle C ^ {\ infty}}R×U{\ displaystyle \ mathbb {R} \ times U}

∀K∈NON∀X∈U∂KF∂tK(0,X)=fK(X).{\ Displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N} \ quad \ forall x \ in U \ qquad {\ frac {\ partial ^ {k} F} {\ partial t ^ {k}}} (0, x) = f_ {k} (x).}

Ci sono prove costruttiviste per questo risultato.

Note e riferimenti

1. Claude Sabbah , Distributions in the wake of Laurent Schwartz , ed. École Polytechnique, 2003, pag. 3 .
2. Jean-Michel Bony , Corso di analisi: teoria della distribuzione e analisi di Fourier , ed. École Polytechnique, 2001, pag. 76 .
3. Jacques Lafontaine, Introduzione alle varietà differenziali [ dettaglio delle edizioni ], 2010, pag. 88 .
4. Alain Chenciner , Curve algebriche piane , Springer, 2007, p. 74 .
5. Dany-Jack Mercier e Jean-Étienne Rombaldi, Annals of external CAPES 1999-2005: 15 fixed problems , Publibook, 2005, p. 127 .
6. Serge Alinhac e Patrick Gérard, Operatori pseudo-differenziali e teorema di Nash-Moser , EDP ​​Sciences , 1991, p. 31 .
7. (It) A. Genocchi, G. Peano, Calculo differenziale e principi di calcolo integrale , Fratelli Bocca, Roma, 1884, paragrafo 67 .
8. (in) Ádám Besenyei , "  La prova inosservata di Peano del teorema di Borel  " , Amer. Matematica. Mensile , vol.  121, n °  1,gennaio 2014, p.  69-72 ( leggi in linea ).
9. É. Borel, Su alcuni punti della teoria delle funzioni, Ann. Sci. Ec. Norma. Eccellente. 12 (1895) 9-55.
10. (da) P. du Bois-Reymond, Über den Gültigkeitsbereich der Taylorschen Reihenentwickelung, Sitzungsb. K. Bayer. Akad. Wiss., Math.-Phys. Klasse (1876) 225-237, o Math. Ann. 21 (1883) 107-119.
11. (in) Martin Golubitsky  (de) e Victor Guillemin , Stable mappings and Their singularities , New York, Springer , al.  "  GTM  " ( n o  14)1974, 3 e  ed. , 209  p. ( ISBN  978-0-387-90073-5 , LCCN  73018276 ).

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