La teoria delle macchine rotanti costituisce una branca della meccanica solida , e più particolarmente della dinamica . Si occupa del comportamento delle masse rotanti, e trova applicazioni sia nei motori e nei reattori , sia nelle pompe , nei dischi rigidi o nel calcolo delle fondazioni .
La teoria delle macchine rotanti considera essenzialmente le vibrazioni generate da alberi supportati da cuscinetti o cuscinetti e influenzati da vari effetti parassiti. Queste vibrazioni dipendono dalla struttura del meccanismo. Qualsiasi difetto di costruzione o di montaggio rischia di peggiorare queste vibrazioni o di alterarne la firma (come si può vedere nelle instabilità di alcune turbomacchine ). Le vibrazioni causate da uno squilibrio sono uno degli argomenti principali della teoria delle macchine rotanti: devono essere prese in considerazione sin dalla fase di progettazione.
All'aumentare della velocità di rotazione, l'ampiezza della vibrazione passa generalmente per un massimo, che caratterizza la "pulsazione critica". Esistono infatti spesso più velocità critiche successive, tra le quali l'ampiezza delle vibrazioni è molto inferiore. Questa amplificazione risulta frequentemente da uno squilibrio delle masse rotanti: questo si manifesta quotidianamente con la pratica di equilibrare i motori e le ruote . L'ampiezza critica può avere conseguenze catastrofiche.
Tutte le macchine con assi motorizzati hanno una frequenza di vibrazione fondamentale , che dipende dalla distribuzione delle masse in movimento. La pulsazione critica di una macchina rotante può essere interpretata come la pulsazione che eccita questa frequenza.
Per limitare gli effetti dell'accoppiamento di risonanza , è essenziale distribuire le masse in modo tale da eliminare le reazioni trasversali sugli alberi, e quindi le forze parassite. Quando la velocità eccita vibrazioni risonanti , si sviluppano forze che possono portare alla rovina del meccanismo. Per evitare questo fenomeno è possibile: o evitare le velocità critiche di rotazione, oppure passare rapidamente alla fase di accelerazione o frenata. La mancata osservanza di queste precauzioni, si rischia di rovinare la macchina, favorire l'usura o la rovina dei componenti, provocando danni irreparabili o addirittura un incidente personale.
Su tutti i prototipi con velocità di rotazione apprezzabili, le frequenze di risonanza devono essere determinate per evitare rischi di accoppiamento; ma le dinamiche dettagliate delle macchine sono difficili da modellare e interpretare. I calcoli sono generalmente basati sulla definizione di modelli analogici semplificati che concentrano le caratteristiche di rigidità e inerzia dei vari componenti ( modelli massa-molla ). Le equazioni sono risolte numericamente: metodo Rayleigh - Ritz o metodo degli elementi finiti (FEM).
Le equazioni del moto di un albero rotante a velocità angolare costante Ω sono scritte, in forma matriciale ,
o:
M è la matrice di massa simmetrica
C è la matrice di smorzamento simmetrica
G è la matrice giroscopica antisimmetrica
K è la matrice di rigidità simmetrica dei cuscinetti o del cuscinetto
N è la matrice di deflessione giroscopica; permette di introdurre l'effetto delle forze centrifughe.
e dove q è il vettore delle coordinate generalizzate dell'albero nel sistema inerziale, e f è una funzione di eccitazione, che generalmente include lo squilibrio.
La matrice giroscopica G è proporzionale alla velocità angolare Ω. La soluzione generale di questo sistema coinvolge generalmente autovettori complessi che dipendono dalla velocità. Gli ingegneri specializzati in questo campo utilizzano il diagramma di Campbell per rappresentare queste soluzioni.
Un aspetto particolarmente interessante di queste equazioni è il ruolo dei termini incrociati (non diagonali) della matrice di rigidezza: traducono che una flessione provoca sia una reazione antagonista per compensare il carico sia una reazione nel senso di rotazione. Se questa reazione è sufficientemente ampia da compensare lo smorzamento, l'albero diventa instabile e deve essere immediatamente frenato per evitare di rovinare il meccanismo.
I principali coefficienti coinvolti nel sistema dinamico possono anche essere determinati mediante tecniche di identificazione modale .
Il diagramma di Campbell, o diagramma della frequenza di interferenza, rappresenta l'evoluzione degli impulsi naturali in funzione della velocità di rotazione. Il diagramma di un singolo albero è mostrato di fronte. La curva rosa rappresenta la modalità “rotazione inversa” (BW) e la curva blu la modalità “rotazione diretta” (FW): divergono all'aumentare della pulsazione. Quando le pulsazioni proprie sono uguali alla pulsazione dell'albero Ω, nei punti di intersezione A e B, l'ampiezza delle vibrazioni è massima: è la pulsazione critica .
Lo sviluppo delle dinamiche di vibrazione è scandito dall'avvicendamento tra teoria e pratica.
Fu Rankine a dare la prima interpretazione delle vibrazioni degli alberi rotanti nel 1869, ma il suo modello si rivelò inadeguato, poiché prediceva che gli impulsi supercritici non potevano essere raggiunti: già nel 1895 Dunkerley pubblicò i risultati di esperimenti che mostravano come ha superato gli impulsi risonanti. L'ingegnere svedese di Laval aveva anche spinto una turbina a vapore oltre l'impulso critico nel 1889
August Föppl conferma l'esistenza di impulsi supercritici stabili nel 1895 e Kerr dimostra l'esistenza di impulsi critici secondari nel 1916.
La meccanica delle vibrazioni e la teoria delle instabilità conobbero uno sviluppo spettacolare nel periodo tra le due guerre, in particolare dopo l' incidente di Tacoma Narrows ; culminano con il modello di Myklestad e MA Prohl che annuncia il metodo delle matrici di trasferimento ; tuttavia, era il metodo degli elementi finiti che avrebbe sconvolto la disciplina.
La sofisticazione degli algoritmi non cancella però le difficoltà dell'analisi: secondo Dara Childs, “la qualità delle previsioni di un codice di calcolo informatico dipende essenzialmente dalla validità del modello analogico e dal buon senso dell'analista ( ...) I migliori algoritmi non compenseranno mai i modelli errati o la scarsa capacità di giudizio di un ingegnere. "